1、高 考 总 复 习 艺考生山东版数学 第6节 正弦定理和余弦定理及其应用第三章 三角函数、解三角形最新考纲核心素养考情聚焦1.掌握正弦定理、余弦定理，并能解决一些简单的三角形度量问题2.能够运用正弦定理、余弦定理等知识和方法解决一些与测量和几何计算有关的实际问题1.正、余弦定理的应用，提升数学抽象和数学运算素养2.利用正弦、余弦定理判定三角形的形状，增强逻辑推理和数学运算素养3.和三角形面积有关的问题，提升逻辑推理和数学运算素养4.解三角形的实际应用，增强直观想象和数学运算素养正弦定理和余弦定理是历年高考的必考内容，选择题、填空题主要考查利用正弦定理、余弦定理解三角形及三角形面积公式的应用、解
2、三角形实际应用中的距离问题、高度问题，解答题常与三角函数的图象与性质及三角恒等变换相结合，属于中低档题1正、余弦定理在ABC 中，若角 A，B，C 所对的边分别是 a，b，c，R 为ABC 外接圆半径，则定理正弦定理余弦定理公式asin A bsin B csin C 2Ra2 b2c22bccos A；b2 c2a22cacos B；c2 a2b22abcos C；常见变形(1)a2Rsin A，b2Rsin B，c 2Rsin C；(2)sin A a2R，sin B b2R，sin C c2R；(3)abc sin Asin Bsin C；(4)asin Bbsin A，bsin Ccs
3、in B，asin Ccsin Acos A b2c2a22bc；cos B c2a2b22ac；cos C a2b2c22ab2.SABC12absin C12bcsin A12acsin Babc4R 12(abc)r(r 是三角形内切圆的半径)，并可由此计算 R，r.3在ABC 中，已知 a，b 和 A 时，解的情况如下：A 为锐角A 为钝角或直角图形关系式absin Absin Aabab解的个数 一解 两解 一解 一解 无解 在ABC 中，常有以下结论(1)ABC.(2)在三角形中大边对大角，大角对大边(3)任意两边之和大于第三边，任意两边之差小于第三边(4)sin(AB)sin C
4、；cos(AB)cos C；tan(AB)tan C；sinAB2cosC2；cosAB2sinC2.(5)tan Atan Btan Ctan Atan Btan C.(6)ABabsin Asin Bcos Asin B，则 AB.()(3)在ABC 的六个元素中，已知任意三个元素可求其他元素()(4)俯角是铅垂线与视线所成的角，其范围为0，2.()(5)方位角与方向角其实质是一样的，均是确定观察点与目标点之间的位置关系()(6)方位角大小的范围是0,2)，方向角大小的范围一般是0，2.()答案：(1)(2)(3)(4)(5)(6)小题查验1(2019全国卷)ABC 的内角 A，B，C 的
5、对边分别为 a，b，c.若 b6，a2c，B3，则ABC 的面积为_解析：由余弦定理得：36c24c22c2ccos3，解得 c2 3，ABC 的面积 S12c2csin312212 32 6 3.答案：6 32在ABC 中，内角 A、B、C 的对边分别为 a、b、c，且 2c22a22b2ab，则ABC 是()A钝角三角形B直角三角形C锐角三角形D等边三角形解析：A 2c22a22b2ab，a2b2c212ab，cos Ca2b2c22ab140，即 90C0，sin A1，A2，故ABC 为直角三角形子题 1 本例条件不变，若abcos Bcos A，判断ABC 的形状解：由abcos B
6、cos A，得sin Asin Bcos Bcos A，sin Acos Acos Bsin B，sin 2Asin 2B.A、B 为ABC 的内角，2A2B 或 2A2B，AB 或 AB2，ABC 为等腰三角形或直角三角形子题 2 本例条件不变，若 a2bcos C，判断ABC 的形状解：法一：因为 a2bcos C，所以由余弦定理得 a2ba2b2c22ab，整理得 b2c2，则此三角形一定是等腰三角形法二：sin A2sin Bcos C，sin(BC)2sin Bcos C，sin(BC)0.BC，BC0，BC，则此三角形定是等腰三角形子题 3 本例条件不变，若cbcos A，判断AB
7、C 的形状解：依题意得sin Csin Bcos A，sin Csin Bcos A，所以 sin(AB)sin Bcos A.即 sin Bcos Acos Bsin Asin Bcos A0.所以 cos Bsin A0，于是有 cos B0，B 为钝角，所以ABC 是钝角三角形判定三角形形状的两种常用途径(1)通过正弦定理和余弦定理，化边为角，利用三角变换得出三角形内角之间的关系进行判断(2)利用正弦定理、余弦定理化角为边，通过代数恒等变换，求出边与边之间的关系进行判断提醒：在判断三角形形状时一定要注意解是否唯一，并注重挖掘隐含条件另外，在变形过程中要注意角 A，B，C 的范围对三角函数
8、值的影响考点三 与三角形面积有关的问题(师生共研)典例(2017全国卷)ABC 的内角 A，B，C 的对边分别为 a，b，c，已知 sin A 3cos A0，a2 7，b2.(1)求 c；(2)设 D 为 BC 边上一点，且 ADAC，求ABD 的面积思维导引 由已知条件 sin A 3cos A0，先求角 A，再由余弦定理求边 c；先求ABC 的面积，再利用ABD 面积与ACD 面积的比值求ABD 的面积解析(1)由已知得 tan A 3，所以BAC23在ABC 中，由余弦定理得，284c24c cos23，即 c22c240，解得 c6(舍去)，c4.(2)由题设可得CAD2，所以BAD
9、BACCAD6，故ABD 面积与ACD 面积的比值为12ABADsin612ACAD1，又ABC 的面积为1242sin BAC2 3，所以ABD 的面积为 3.三角形面积公式的应用原则(1)对于面积公式 S12absin C12acsin B12bcsin A，一般是已知哪一个角就使用哪一个公式(2)与面积有关的问题，一般要用到正弦定理或余弦定理进行边和角的转化跟踪训练(2019全国卷)ABC 的内角 A，B，C 的对边分别为 a，b，c.已知 asinAC2bsin A.(1)求 B；(2)若ABC 为锐角三角形，且 c1，求ABC 面积的取值范围解：(1)由题设及正弦定理得 sin Asin AC2sin Bsin A.因为 sin A0，所以 sin AC2sin B.由 ABC180，可知 sin AC2cos B2，故 cos B22sin B2cos B2.因为 cos B20，故 sin B212，因此 B60.(2)由题设及(1)知ABC 的面积 SABC 34 a，由正弦定理得 acsin Asin C sin120Csin C32tan C12.由于ABC 为锐角三角形，故 0A90，0C90.由(1)知AC120，所以 30C90，故12a2，从而 38 SABC 32.因此，ABC 面积的取值范围是38，32.
