1、2.2 函数的单调性 【考纲要求】1、理解函数的单调性、最大值、最小值及其几何意义。【基础知识】1、一般地，设函数的定义域为如果对于定义域内某个区间上的任意两个自变量的值，当时，若都有，那么就说函数在区间上单调递增，若都有，那么就说函数在区间上单调递减。2、如果函数在区间上是增函数或减函数，那么就说函数在这一区间具有严格的单调性，区间叫做的单调区间。3、判断证明函数单调性的一般方法：单调四法，导数定义复合图像（1）定义法 用定义法证明函数的单调性的一般步骤是设，且；作差；变形（合并同类项、通分、分解因式、配方等）判断的正负符号；根据定义下结论。（2）复合函数分析法设，都是单调函数，则在上也是单
2、调函数，其单调性由“同增异减”来确定，即“里外”函数增减性相同，复合函数为增函数，“里外”函数的增减性相反，复合函数为减函数。如下表：增增增增减减减增减减减增（3）导数证明法设在某个区间内有导数，若在区间内，总有，则在区间上为增函数（减函数）；反之，若在区间内为增函数（减函数），则。（4）图像法 一般通过已知条件作出函数图像的草图，从而得到函数的单调性。4、求函数的单调区间：单调四法，导数定义复合图像（1）定义法 （2）复合函数法 （3）导数法 先求函数的定义域，然后求导，再解不等式 ,分别和求交集，得函数的递增（减）区间 （4）图像法4、温馨提示（1）判断证明函数单调性的一般方法：单调四法，
3、导数定义复合图像（见前面的基础知识）。（2）求函数的单调区间：单调四法，导数定义复合图像（见前面的基础知识）。（3）求函数的最值的方法：最值六法，三“数”三“不”三“数”：函数、导数、数形结合 三“不”：不等式性质、基本不等式、绝对值不等式。（4）一些重要的有用的结论 奇函数在其对称区间上的单调性相同，如函数、和；偶函数在其对称区间上的单调性相减，如函数。 在公共的定义域内，增函数+增函数是增函数，减函数+减函数是减函数。其他的如增函数增函数不一定是增函数，函数和函数都是增函数，但是它们的乘积函数不是增函数。 已知函数的单调增（减）区间，则在上恒成立；求函数的单调增（减）区间，把不等式解集和定
4、义域求交集。 求函数的单调区间，必须先求函数的定义域，即遵循“函数问题定义域优先的原则”。 单调区间必须用区间来表示，不能用集合或不等式，单调区间一般写成开区间，不必考虑端点问题。 在多个单调区间之间不能用“或”和“”连接，只能用逗号隔开。【例题精讲】例1 证明函数在区间是增函数。【解析】设， 函数在区间是增函数。例2 定义在1，1上的函数yf(x)是减函数，且是奇函数，若f(a2a1)f(4a5)0，求实数的取值范围.【解析】 2.2函数的单调性强化训练【基础精练】1、下列函数中，在各自定义域内为增函数的是（ ） (A) (B) (C) (D) 2、奇函数f（x）在3，7上单调递增且最小值为
5、5，那么在7，3上（ ） (A)递增，最小-5 (B)递减，最小5 (C)递增，最大5 (D)递减，最大5 3、已知是上的减函数，那么的取值范围是（ ） A（0，1） B（0，） C D4、函数的单调区间是 。5、已知定义域为的函数在区间上单调递减，对任意的实数，都有，那么的大小关系由小到大排列为 。 6、设函数在区间上的最大值和最小值之差为则 。7、若函数在是增函数，则实数的取值范围是 。8、求下列函数的单调区间：（1） （2） （3） 9、证明函数在区间是增函数。10、定义在1，1上的函数yf(x)是减函数，且是奇函数，若f(a2a1)f(4a5)0，求实数a的取值范围.【拓展提高】1、已知函数的定义域是的一切实数，对定义域内的任意，都有，且当时，（1）求证是偶函数；（2）在上时增函数；（3）解不等式2、已知是定义在区间上的奇函数，且，若时，有。（1）解不等式（2）若对所有恒成立，求实数的取值范围。【基础精练参考答案】4.【解析】直接由反比例函数的图像可知。5.【解析】由得函数的对称轴为，所以函数在单调递增， 6.4【解析】由题得7.【解析】由复合函数的单调性得8.（1）【解析】（2）【解析】（3）【解析】9.【解析】设， 函数在区间是增函数。10.【解析】【拓展提高参考答案】1.【解析】 2.【解析】