1、2020-2021学年广东省中山市高二（上）期末数学试卷一、选择题（共8小题）.1已知0x1，0y1，记Mxy，Nx+y1，则M与N的大小关系是（）AMNBMNCMNDM与N的大小关系不确定2在ABC中，角A，B，C的边长分别是a，b，c，若a2，A45，B60，则b（）ABC1D23在等差数列an中，若a4+a5+a615，则a2+a8（）A6B10C7D54音乐与数学有着密切的联系，我国春秋时期有个著名的“三分损益法”：以“宫”为基本音，“宫”经过一次“损”，频率变为原来的，得到“徵”；“徵”经过一次“益”，频率变为原来的，得到“商”；依次损益交替变化，获得了“宫、徵、商、羽、角”五个音阶
2、据此可推得（）A“宫、商、角”的频率成等比数列B“宫、徵、商”的频率成等比数列C“商、羽、角”的频率成等比数列D“徵、商、羽”的频率成等比数列5已知双曲线的一条渐近线方程为y2x，且经过点，则该双曲线的标准方程为（）ABCD6测量河对岸某一高层建筑物AB的高度时，可以选择与建筑物的最低点B在同一水平面内的两个观测点C和D，如图，测得BCD15，BDC30，CD30m，并在C处测得建筑物顶端A的仰角为60，则建筑物AB的高度为（）A30mB15mC5mD15m7如图，正三棱柱ABCA1B1C1中，AB1，AA12，D是BB1的中点，则AD与平面AA1C1C所成角的正弦值等于（）ABCD8已知平面
3、向量满足：，则的最小值为（）ABCD二、选择题（共4小题）.9已知向量，则下列结论不正确的是（）ABCD10下列式子，可以是x21的一个充分不必要条件的有（）Ax1B0x1C1x1D1x011设an是等差数列，Sn是其前n项的和，且S5S6，S6S7S8，则下列结论正确的是（）Ad0BS6与S7是Sn的最大值CS9S5Da7012下列函数中，最小值为的有（）ABCyex+2exDylog2x+2logx2三、填空题（共4小题）.13命题xR，x22x+40的否定为 14抛物线yx2的准线方程是 15已知关于x的不等式（mxm26）（x+4）0（其中mR）的解集为A，若满足AZB（其中Z为整数集
4、），则使得集合B中元素个数最少时m取值范围是 16把半椭圆：和圆弧：（x1）2+y2a2（x0）合成的曲线称为“曲圆”，其中点F（1，0）是半椭圆的右焦点，A1，A2分别是“曲圆”与x轴的左、右交点，B1，B2分别是“曲圆”与y轴的上、下交点，已知B1FB2120，过点F的直线与“曲圆”交于P，Q两点，则半椭圆方程为 （x0），A1PQ的周长的取值范围是 四、解答题（共6小题）.17已知函数f（x）mx2mx12（1）当m1时，解不等式f（x）0；（2）若不等式f（x）0的解集为R，求实数m的取值范围18已知点P（2，m）是抛物线C：y22px（p0）上的点，F为抛物线的焦点，且|PF|4，直
5、线l：yk（x2）与抛物线C相交于不同的两点A，B（1）求抛物线C的方程；（2）若|AB|16，求k的值19已知数列an的前n项和为Sn，且满足bn为等差数列，其前n项和为Tn，如图_，Tn的图象经过A，B两个点（1）求数列an的通项公式；（2）求数列anbn的前n项和Rn.从图，图，图中选择一个适当的条件，补充在上面问题中并作答20在ABC中，角A，B，C的对边分别为a，b，c，已知（1）若a，b，c成等差数列，求cosB的值；（2）是否存在ABC满足B为直角？若存在，求sinA的值；若不存在，请说明理由21如图，在四棱锥PABCD中，PAB是正三角形，BCAB，BCCD2，ABAD2（1）
6、若PB3BE，求证：AE平面PCD；（2）若PC4，求二面角APCB的正弦值22已知数列an满足：anan1+2anan10，（n2，nN），a11，前n项和为Sn的数列bn满足：b11，bn（n2，nN），又cn（n2，nN）（1）求数列an的通项公式；（2）证明：（n2，nN）参考答案一、选择题（共8小题）.1已知0x1，0y1，记Mxy，Nx+y1，则M与N的大小关系是（）AMNBMNCMNDM与N的大小关系不确定解：MNxyxy+1x（y1）（y1）（x1）（y1），0x1，0y1，x10，y10，MN0，MN故选：B2在ABC中，角A，B，C的边长分别是a，b，c，若a2，A45，B
7、60，则b（）ABC1D2解：由正弦定理知：，从而b2故选：D3在等差数列an中，若a4+a5+a615，则a2+a8（）A6B10C7D5解：由等差数列的性质可得：a4+a6a2+a82a5所以a4+a5+a615，即3a515，a55，故a2+a82a52510，故选：B4音乐与数学有着密切的联系，我国春秋时期有个著名的“三分损益法”：以“宫”为基本音，“宫”经过一次“损”，频率变为原来的，得到“徵”；“徵”经过一次“益”，频率变为原来的，得到“商”；依次损益交替变化，获得了“宫、徵、商、羽、角”五个音阶据此可推得（）A“宫、商、角”的频率成等比数列B“宫、徵、商”的频率成等比数列C“商、
8、羽、角”的频率成等比数列D“徵、商、羽”的频率成等比数列解：设“宫”的频率为a，由题意经过一次“损”，可得“徵”的频率为a，“徵”经过一次“益”，可得“商”的频率为a，“商”经过一次“损”，可得“羽”频率为a，最后“羽”经过一次“益”，可得“角”的频率是a，由于a，a，a成等比数列，所以“宫、商、角”的频率成等比数列，故选：A5已知双曲线的一条渐近线方程为y2x，且经过点，则该双曲线的标准方程为（）ABCD解：根据题意，双曲线的一条渐近线方程为y2x，则可以设其方程方程为x2m，又由其过点，则有4m，解可得m1，则其方程为：x21，其标准方程为：x21，故选：B6测量河对岸某一高层建筑物AB的
9、高度时，可以选择与建筑物的最低点B在同一水平面内的两个观测点C和D，如图，测得BCD15，BDC30，CD30m，并在C处测得建筑物顶端A的仰角为60，则建筑物AB的高度为（）A30mB15mC5mD15m解：由题意，在BCD中，BCD15，BDC30，CBD135，又CD30m，由正弦定理得 ，BC15；在ABC中，ABC90，ACB60，ABBCtan601515；则建筑物高AB为15m故选：B7如图，正三棱柱ABCA1B1C1中，AB1，AA12，D是BB1的中点，则AD与平面AA1C1C所成角的正弦值等于（）ABCD解：以C为坐标原点，在平面ABC中，过C作CB的垂线为x轴，CB为y轴
10、，CC1为z轴建立空间直角坐标系，因为AB1，AA12，则有，故，设平面AA1C1C的法向量为，则有，取x1，则，设直线AD与平面AA1C1C所成的角为，则故选：B8已知平面向量满足：，则的最小值为（）ABCD解：，所以可建立平面直角坐标系如图所示，使（1，0），（1，0），（0，1），（x，y），由椭圆定义知，P点轨迹是以F1，F2为焦点的椭圆，2a4a2，c1，b，所以|BP|+|PF2|BP|+4|PF1|4（|PF1|BP|）4|BF1|4，当P运动到P时等号成立，所以 的最小值为4故选：A二、选择题：本大题共4小题，每小题5分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得5
11、分，有选错的得0分，部分选对的得3分.9已知向量，则下列结论不正确的是（）ABCD解：向量，（10，5，2），故A正确；（2，1，6），故B错误；24+6822，故C错误；|6，故D正确故选：BC10下列式子，可以是x21的一个充分不必要条件的有（）Ax1B0x1C1x1D1x0解：对于A，x1时，x2有可能大于1，比如31，（3）21，故A错误；对于B，0x1x21，故B正确；对于C，1x1x21，故C错误对于D，1x0x21，故D正确；故选：BD11设an是等差数列，Sn是其前n项的和，且S5S6，S6S7S8，则下列结论正确的是（）Ad0BS6与S7是Sn的最大值CS9S5Da70解：设
12、an是等差数列，Sn是其前n项的和，且S5S6，S6S7S8，则由S5S6得a1+a2+a3+a5a1+a2+a5+a6，即a60，又S6S7，a1+a2+a6a1+a2+a6+a7，a70，故D正确；同理由S7S8，得a80，da7a60，故A正确；而C选项S9S5，即a6+a7+a8+a90，可得2（a7+a8）0，由结论a70，a80，显然C是错误的S5S6，S6S7S8，S6与S7均为Sn的最大值，故B正确；故选：ABD12下列函数中，最小值为的有（）ABCyex+2exDylog2x+2logx2【解答】解；对于A：yx+22，当且仅当x时，即x取等号，此时取得最小值2，故A成立；对
13、于B：由0x可得0sinx1，令tsinx（0，1，yt+在（0，1上单调递减，当t1时取得最小值3，故B不成立；对于C：令tex，则t0，则yt+22，当且仅当t时，即t取等号，此时取得最小值2，C成立；对于D，由于log2xR，所以设log2xt，当t0时，ylog2x+2logx2log2x+t+2，当且仅当t时，即t取等号，此时取得最小值2；当t0时，ylog2x+2logx2t+（）2，当且仅当t时，即t取等号，此时取得最大值2综上述y2或y2，故D不成立故选：AC三、填空题：本大题共4小题，每小题5分，满分20分，将答案填在答题纸上.13命题xR，x22x+40的否定为xR，x22
14、x+40解：根据全称命题的否定是特称命题，命题xR，x22x+44的否定是：xR，x22x+40故答案是xR，x22x+4414抛物线yx2的准线方程是y1解：由题意，抛物线的标准方程为x24y，p2，开口朝上，准线方程为y1，故答案为：y115已知关于x的不等式（mxm26）（x+4）0（其中mR）的解集为A，若满足AZB（其中Z为整数集），则使得集合B中元素个数最少时m取值范围是2，3解：对m分类讨论：若m0，不等式化为：x+40，解得x4A（4，+）此时满足AZB的B有无数个元素若m0，不等式化为：（x）（x+4）0，无论与4的大小关系如何，此时满足AZB的B有无数个元素若m0，不等式化
15、为：（x）（x+4）0，解得4x，此时满足AZB的B有有限个元素由f（m），f（m）1，可得m时，f（m）取得极小值即最小值，此时B中只含有8个元素，令5，解得m2，32m3综上可得：使得集合B中元素个数最少时m取值范围是2，3故答案为：2，316把半椭圆：和圆弧：（x1）2+y2a2（x0）合成的曲线称为“曲圆”，其中点F（1，0）是半椭圆的右焦点，A1，A2分别是“曲圆”与x轴的左、右交点，B1，B2分别是“曲圆”与y轴的上、下交点，已知B1FB2120，过点F的直线与“曲圆”交于P，Q两点，则半椭圆方程为（x0），A1PQ的周长的取值范围是（6，8解：由（x1）2+y2a2（x0），令y
16、0，可得x1a以及A1（1a，0），再由椭圆的方程及题意可得A2（a，0），B2（0，b），B1（0，b），由B1FB2120，可得，由F（1，0）可得，所以a2，所以半椭圆及圆弧的方程分别为（x0），（x1）2+y24（x0），所以，可得A1相当于椭圆的左焦点，A1PQ的周长为PF+PA1+A1Q+QF，当P从A2（不包括A2）向B2运动时，PA+PF2a4，当Q在y轴右侧时，A1Q+QF2a4，所以这时三角形的周长为8，当P从B2向A1运动时，Q在第四象限，则A1Q+QF2a4，PF+PA12r+A1B22+a4，这时三角形的周长小于8，当P运动到A1时，Q在A2处，不构成三角形，三角形的
17、周长接近2A1A26，由曲圆的对称性可得P运动到x轴下方时，与前面的一样，综上所述，A1PQ的周长的取值范围为（6，8故答案为：；（6，8四、解答题：本大题共6个小题，共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.17已知函数f（x）mx2mx12（1）当m1时，解不等式f（x）0；（2）若不等式f（x）0的解集为R，求实数m的取值范围解：（1）函数f（x）mx2mx12当m1时，解不等式f（x）0；即x2x120因式分解得：（x4）（x+3）0解得：3x或x4不等式的解集为x|3x或x4（2）当m0时，此时f（x）12，不等式f（x）0的解集为R，恒成立当m0时，要使不等式f（x）0的解
18、集为R，则m0，b24acm2+48m0，解得：48m0综上可得，实数m的取值范围是（48，018已知点P（2，m）是抛物线C：y22px（p0）上的点，F为抛物线的焦点，且|PF|4，直线l：yk（x2）与抛物线C相交于不同的两点A，B（1）求抛物线C的方程；（2）若|AB|16，求k的值解：（1）由抛物线的定义知，|PF|2+4，p4，抛物线C的方程为y28x（2）抛物线C的方程为y28x，F（2，0），直线l过点F，设A、B两点的横坐标分别为x1，x2，联立，得k2x2（4k2+8）x+4k20，x1+x24+，|AB|x1+x2+44+416，解得k119已知数列an的前n项和为Sn，
19、且满足bn为等差数列，其前n项和为Tn，如图_，Tn的图象经过A，B两个点（1）求数列an的通项公式；（2）求数列anbn的前n项和Rn.从图，图，图中选择一个适当的条件，补充在上面问题中并作答解：（1）由，可得n1时，a1S12，n2时，anSnSn12n+12（2n2）2n，上式对n1也成立，所以数列an的通项公式为an2n，nN*；（2）设等差数列bn的公差为d，选图，可得T11，T33，即有b11，31+32d3，解得d2，则bn12（n1）32n，anbn（32n）2n，Rn12+（1）22+（3）23+（32n）2n，2Rn122+（1）23+（3）24+（32n）2n+1，两式相
20、减可得Rn22（22+23+2n）（32n）2n+122（32n）2n+1，化简可得Rn（52n）2n+110；选图，可得T11，T36，即有b11，31+32d6，解得d1，则bn1+（n1）n，anbnn2n，Rn12+222+323+n2n，2Rn122+223+324+n2n+1，两式相减可得Rn2+22+23+2nn2n+1n2n+1，化简可得Rn（n1）2n+1+2；选图，可得T13，T30，即有b13，3（3）+32d0，解得d3，则bn3+3（n1）3n6，anbn（3n6）2n，Rn（3）2+022+323+（3n6）2n，2Rn（3）22+023+324+（3n6）2n+1
21、，两式相减可得Rn6+3（22+23+2n）（3n6）2n+16+3（3n6）2n+1，化简可得Rn（3n9）2n+1+1820在ABC中，角A，B，C的对边分别为a，b，c，已知（1）若a，b，c成等差数列，求cosB的值；（2）是否存在ABC满足B为直角？若存在，求sinA的值；若不存在，请说明理由解：（1）若a，b，c成等差数列，所以a+c2b，由于所以cosB，由于，所以（2）假设B为直角，则sinB1，sinCcosA，由于，根据正弦定理（sinA+sinC）sinB，即sinA+cosA，上式两边平方得：，所以（9sin2A+5）（4sin2A5）0，由于0sin2A1，所以9si
22、n2A+50，4sin2A50，与（9sin2A+5）（4sin2A5）0矛盾，故不存在ABC满足B为直角21如图，在四棱锥PABCD中，PAB是正三角形，BCAB，BCCD2，ABAD2（1）若PB3BE，求证：AE平面PCD；（2）若PC4，求二面角APCB的正弦值【解答】（1）证明：如图，作EFPC，交BC于F，连接AF因为PB3BE，所以E是PB的三等分点，可得因为ABAD2，ACAC，所以ABCADC，因为BCAB，所以ABC90，因为，所以ACBACD30，所以BCD60，因为，所以AFB60，所以AFCD，因为AF平面PCD，CD平面PCD，所以AF平面PCD又EFPC，EF平面
23、PCD，PC平面PCD，所以EF平面PCD因为AFEFF，AF、EF平面AEF，所以平面AEF平面PCD，所以AE平面PCD（2）解：因为PAB是等边三角形，AB2，所以PB2又因为PC4，所以PC2PB2+BC2，所以BCPB又BCAB，AB，PB平面PAB，ABPBB，所以BC平面PAB因为BC平面ABCD，所以平面PAB平面ABCD在平面PAB内作Bz平面ABCD以B点为坐标原点，分别以BC，BA，Bz所在直线为x，y，z轴，建立如图所示的空间直角坐标系Bxyz，则，A（0，2，0），所以，设（x1，y1，z1）为平面BPC的法向量，则，即，令z11，可得设（x2，y2，z2）为平面AP
24、C的法向量，则，即，令z21，可得所以则，所以二面角APCB的正弦值为22已知数列an满足：anan1+2anan10，（n2，nN），a11，前n项和为Sn的数列bn满足：b11，bn（n2，nN），又cn（n2，nN）（1）求数列an的通项公式；（2）证明：（n2，nN）解：（1）由条件得anan1+2anan10an12an+anan1，易知an0，两边同除以anan1得，又，故（nN*），（2）因为：（n2，nN），所以，故只需证，由条件（n2，nN）一方面：当n2时当n3，nN时，Snb1+b2+bn，另一方面：当n2，nN时，bn0所以Snb1+b2+bn1+12所以当n2，nN时