1、1了解直接证明的两种基本方法分析法和综合法；了解分析法和综合法的思考过程、特点 2了解间接证明的一种基本方法反证法，了解反证法的思考过程、特点 112231 .NPQPQQQQQQQ一般的，利用已知条件和某些数学定义、定理、公理等，经过一系列的推理论证，最后推导出所要证明的结论成立，这种证明方法叫做综合法用 表示已知条件、已有的定义、定理、公理等，表示所要证明的结论，则综合法可用框图表示为：综合法11223().2QQPPPPP一般的，从要证明的结论出发，逐步寻求使它成立的充分条件，直至最后，把要证明的结论归纳为判定一个明显成立的条件 已知条件、定理、定义、公理等 这种证明的方法叫做分析法用
2、表示要证明的结论，则分析法可用框图表示为：得到一个明显成分析法立的条件 123定义：一般的，假设原命题的结论不成立，经过正确的推理，最后得出矛盾，因此说明假设错误，从而证明了原命题成立，这样的证明方法叫做反证法用反证法导出的矛盾主要有：与假设矛盾；与数学公理、定理、定义、公式或与已被证明了的结论矛盾；与公认的简单事反证法实矛盾4.QPPQ在解决问题时，经常把综合法和分析法结合起来使用：根据条件的结构特点去转化结论，得到中间结论；根据结论的特点去转化条件，得到中间结论 若由可以推出 成立，就可以证明结论成立在证明一个问题时，如果不容易从条件到结论证明时，可采取分析的方法或者是间接证明的方法反证法
3、有时证明一道题需多应用法并用 1.已知函数 f(x)lg1x1x.若 f(a)b，则f(a)等于()AaBbC.1bD1b【解析】易证 f(x)lg1x1x是奇函数，所以 f(a)f(a)b.2.若 a，bR，且 ab，有下列四个式子a2ab2b2;a5b5a3b2a2b3；a2b22(ab1);abba2.其中一定成立的有()A4 个B3 个C2 个D1 个【解析】因为 a2b22a2b2(a1)2(b1)20，所以 a2b22a2b2，一定成立，均可找到反例 3.用反证法证明命题“三角形的内角中至少有一个不大于 60”时，假设正确的是()A假设三内角都不大于 60B假设三内角都大于 60C
4、假设三内角至多有一个大于 60D假设三内角至多有两个大于 60【解析】“至少有一个不大于的否定”为“都大于”4.分析法是从要证明的结论出发，逐步寻找使结论成立的()A充分条件B必要条件C充要条件D等价条件【解析】分析法是寻找结论成立的充分条件，故选 A.5.在整数集 Z 中，被 5 除所得余数为 k 的所有整数组成一个“类”，记为k，即k5nk|nZ，k0,1,2,3,4.给出如下四个结论：20111；33；Z01234；整数 a，b 属于同一“类”的充要条件是“ab0”其中，正确结论的个数为()A1B2C3D4【解析】2011540211，所以正确；35(1)23，所以不正确；Z01234，
5、正确；若整数 a，b 属于同一“类”，则 a5mk，b5nk，k0,1,2,3,4，则 ab5(mn)00，所以正确由以上，正确，故选 C.一 用综合法证明【例 1】已知点 P 是直角三角形 ABC 所在平面外的一点，O 是斜边 AB 的中点，并且 PAPBPC，求证：PO平面 ABC.【分析】要证明 PO平面 ABC，也就是要证明 PO 垂直于平面 ABC 内的两条相交直线【证明】连接 OC，OP，如图所示，因为 AB 是 RtABC 的斜边，O 是 AB 的中点，所以 OAOBOC.又因为 PAPBPC，所以POAPOBPOC，所以POAPOBPOC.因为POAPOB180，所以POAPO
6、B90，所以POC90.即 POOA，POOC，且 AOOCO，所以 PO平面 ABC.【点评】综合法证明立体几何问题，以立体几何的公理、定理、定义为基础，以递推的性质为依据进行推理论证，因此，关键是找到与要证结论相匹配的公理、定理、判定定理及其性质同时综合法必须保证前提是正确的，推理形式合乎逻辑，才能保证结论成立 已知 a，b，c 为正实数，abc1.求证：a2b2c213.素材1【证明】方法 1：a2b2c21313(3a23b23c21)133a23b23c2(abc)213(3a23b23c2a2b2c22ab2ac2bc)13(ab)2(bc)2(ca)20.所以 a2b2c213.
7、方法 2：因为(abc)2a2b2c22ab2ac2bca2b2c2a2b2a2c2b2c2，所以 3(a2b2c2)(abc)21，所以 a2b2c213.方法 3：设 a13，b13，c13.因为 abc1，所以 0.所以 a2b2c2(13)2(13)2(13)21323()2221322213.所以 a2b2c213.二用分析法证明 【例 2】已知 abc，且 abc0，求证：b2ac 3a.【分析】本例可从结果入手，执果索因，逐步推证出恒成立的条件【证明】要证 b2ac 3a，只需证 b2ac3a2，只需证 b2a(ab)0，只需证(ab)(2ab)0，只需证(ab)(ac)0.因为
8、 abc，所以 ab0，ac0，所以(ab)(ac)0，显然成立，故原不等式成立【点评】当所证命题不知从何入手时，有时可以运用分析法获得解决，特别是对于条件简单而结论复杂的题目，往往行之有效，对含有根式的证明问题要注意分析法的使用 若 a、b、c 是不全相等的正数，请用分析法证明：lgab2 lgbc2 lgca2 lgalgblgc.素材2【证明】要证 lgab2 lgbc2 lgca2 lgalgblgc成立即证 lg(ab2 bc2 ca2)lg(abc)成立，只需证明ab2 bc2 ca2 abc 成立因为ab2 ab0，bc2 bc0，ca2 ca0，所以ab2 bc2 ca2 ab
9、c0(*)成立又因为 a、b、c 是不全相等的正数所以(*)式等号不成立，所以原不等式成立三用反证法证明【例 3】若 a，b，c 均为实数，且 ax22y2，by22z3，cz22x6.求证：a，b，c 中至少有一个大于 0.【证明】假设 a，b，c 都不大于 0，即 a0，b0，c0.因为 ax22y2，by22z3，cz22x6，所以 x22y2y22z3z22x6(x1)2(y1)2(z1)2(3)0.又因为(x1)2(y1)2(z1)20，30，所以(x1)2(y1)2(z1)2(3)0.式与式矛盾，所以假设不成立，即 a，b，c 中至少有一个大于 0.【点评】(1)反证法证明问题的一
10、般步骤是：(1)反设：假设所要证明的结论不成立，也就是假设在已知条件下，存在与要证明的结论相反的情形；(2)归谬：由反设出发，结合已知条件，通过正确的逻辑推理，推得矛盾；(3)存真：由所得的矛盾断言反设不真，从而肯定原命题的正确性 求证：三条抛物线 ycx22axb，yax22bxc，ybx22cxa(a、b、c 为非零实数)中至少有一条与 x 轴有交点素材3【证明】假设三条抛物线与 x 轴均无交点，则方程 cx22axb0 的判别式 14a24bc0.同理，24b24ac0，34c24ab0，则 1234a24b24c24ab4bc4ac0，所以 2(ab)22(bc)22(ca)20，这与
11、 2(ab)22(bc)22(ca)20 相矛盾，故假设不成立所以三条抛物线中至少有一条与 x 轴有交点 备选例题(2011淮南模拟)在ABC 中，三个内角 A、B、C 的对边分别为 a、b、c，若 1ab 1bc3abc，试问：A，B，C 是否成等差数列，若不成等差数列，请说明理由；若成等差数列，请给出证明【解析】A，B，C 成等差数列，下面用综合法给出证明因 为1ab 1bc 3abc，所 以 abcababcbc 3，所以 cab abc1，所以 c(bc)a(ab)(ab)(bc)，所以 b2a2c2ac.在ABC 中，由余弦定理，得 cosBa2c2b22ac ac2ac12.因为 0B180，所以 B60，所以 AC2B120，所以 A、B、C 成等差数列1综合法的特点：从“已知”看“可知”，逐步推向“未知”，其逐步推理，实际上寻找它的必要条件 2分析法的特点：从“未知”看“需知”，逐步靠拢“已知”，其逐步推理，实际上是寻找它的充分条件 3反证法的步骤：分清命题的条件和结论；作出命题结论不成立的假设；由假设出发，应用正确的推理方法，推理出矛盾的结果；否定假设，从而间接的证明结论
