1、高考资源网（） 您身边的高考专家 10.3二项式定理【考纲要求】1、能用计数原理证明二项式定理.2、会用二项式定理解决与二项展开式有关的简单问题.【基础知识】1、二项式定理：二项式的展开式有项，而不是项。2、二项式通项公式： （） （1）它表示的是二项式的展开式的第项，而不是第项（2）其中叫二项式展开式第项的二项式系数，而二项式展开式第项的系数是字母幂前的常数。（3）注意3、二项式展开式的二项式系数的性质（1）对称性：在二项展开式中，与首末两项“等距离”的两项的二项式系数相等。即=（2）增减性和最大值：在二项式的展开式中，二项式系数先增后减，且在中间取得最大值，如果二项式的幂指数是偶数，中间一
2、项的二项式系数最大；如果二项式的幂指数是奇数，中间两项的二项式系数相等且最大。（3）所有二项式系数的和等于，即奇数项的二项式系数和与偶数项的二项式系数和相等，即4.二项展开式的系数的性质：对于，5、证明组合恒等式常用赋值法。【例题精讲】例1 若求（）+（）+（）解：对于式子：令x=0，便得到：=1令x=1，得到=1又原式：（）+（）+（）=原式：（）+（）+（）=2004例2. 已知二项式，（nN）的展开式中第5项的系数与第3项的系数的比是10：1，（1）求展开式中各项的系数和（2）求展开式中系数最大的项以及二项式系数最大的项解：（1）第5项的系数与第3项的系数的比是10：1，解得n=8令x=
3、1得到展开式中各项的系数和为(1-2)=1(2) 展开式中第r项, 第r+1项,第r+2项的系数绝对值分别为,若第r+1项的系数绝对值最大,则必须满足： 并且 ，解得5r6；所以系数最大的项为T=1792；二项式系数最大的项为T=1120 10.3二项式定理强化训练【基础精练】1在二项式(x2)5的展开式中，含x4的项的系数是 ()A10B10C5 D52(2009北京高考)若(1)5ab(a，b为有理数)，则ab ()A45 B55 C70 D803在( )n的展开式中，所有奇数项的系数之和为1 024，则中间项系数是()A330 B462 C682 D7924如果n的展开式中含有非零常数项
4、，则正整数n的最小值为 ()A10 B6 C5 D3 5在5的展开式中，系数大于1的项共有 ()A3项 B4项 C5项 D6项6二项式的展开式中，系数最大的项是 ()A第2n1项 B第2n2项 C第2n项 D第2n1项和第2n2项7若(x2)n展开式的各项系数之和为32，则其展开式中的常数项是_8（ x)5的展开式中x2的系数是_；其展开式中各项系数之和为_(用数字作答)9若9的展开式的第7项为，则x_.10已知()n的展开式中，前三项系数的绝对值依次成等差数列(1)证明：展开式中没有常数项；(2)求展开式中所有有理项11设(2x1)5a0a1xa2x2a5x5，求：(1)a0a1a2a3a4
5、；(2)|a0|a1|a2|a3|a4|a5|；(3)a1a3a5；(4)(a0a2a4)2(a1a3a5)2.【拓展提高】1在(3x2y)20的展开式中，求：(1)二项式系数最大的项；(2)系数绝对值最大的项；(3)系数最大的项【基础精练参考答案】1.B【解析】：Tk1Cx2(5k)(x1)k(1)kCx103k(k0,1，5)，由103k4得k2.含x4的项为T3，其系数为C10.2.C【解析】：由二项式定理得：(1)51CC()2C()3C()4C()515202020 44129，a41，b29，ab70.3.B【解析】：二项式的展开式的所有项的二项式系数和为2n，而所有偶数项的二项式
6、系数和与所有奇数项的二项式系数和相等由题意得，2n11 024，n11，展开式共有12项，中间项为第六项、第七项，系数为CC462.4.C【解析】：Tk1C(3x2)nkk(1)kC3nk2kx2n5k，由题意知2n5k0，即n，nN*， kN，n的最小值为5.5.B【解析】：5的展开式共有6项，其中3项(奇数项)的系数为正，大于1；第六项的系数为C2051，故系数大于1的项共有4项6.A【解析】：由二项展开式的通项公式Tk1 (x)k(1)kxk，可知系数为(1)k，与二项式系数只有符号之差，故先找中间项为第2n1项和第2n2项，又由第2n1项系数为(1)2n，第2n2项系数为(1)2n10
7、，故系数最大项为第2n1项7.10【解析】：展开式中各项系数之和为SCCC2n32，n5. Tk1 ()k ，展开式中的常数项为T3C10.8. 10253【解析】：Tk1Cx5k()kCx53k2k，由53k2，k1，x2的系数为10.令x1得系数和为35243.9. 【解析】：由T7C23x6，x.10.【解析】依题意，前三项系数的绝对值是1，C()，C()2，且2C1C()2，即n29n80，n8(n1舍去)，展开式的第k1项为C()8k()k ()kCxx(1)kx. (1)证明：若第k1项为常数项，当且仅当0，即3k16，kZ，这不可能，展开式中没有常数项(2)若第k1项为有理项，当
8、且仅当为整数，0k8，kZ，k0,4,8，即展开式中的有理项共有三项，它们是：T1x4，T5x，T9x2.11.【解析】设f(x)(2x1)5a0a1xa2x2a5x5，则f(1)a0a1a2a51，f(1)a0a1a2a3a4a5(3)5243.(1)a52532，a0a1a2a3a4f(1)3231.(2)|a0|a1|a2|a5|a0a1a2a3a4a5f(1)243.(3)f(1)f(1)2(a1a3a5)，a1a3a5122.(4)(a0a2a4)2(a1a3a5)2(a0a1a2a3a4a5)(a0a1a2a3a4a5)f(1)f(1)243.【拓展提高参考答案】 (3)由于系数为正的项为奇数项，故可设第2k1项系数最大，于是来源:化简得 又k为不超过11的正整数，可得k5，即第2519项系数最大，T9C31228x12y8.高考资源网版权所有，侵权必究！
