1、1了解合情推理的含义，能利用归纳和类比等进行简单的推理，了解合情推理在数学发现中的作用 2了解演绎推理的重要性，掌握演绎推理的基本模式，并能运用它们进行一些简单推理 1由某类事物的部分对象具有某些特征，推出该类事物的全部对象具有这些特征的推理，或者由个别事实概括出一般结论的推理，称为归纳推理归纳推理是由部分到整体，由个别到一般的推理显然归纳的个别情况越多，越具有代表性，推广的一般性命题也就越可靠，应用归纳推理可以获得新归纳推理的结论2由两类对象具有某些类似特征和其中一类对象的某些已知特征，推出另一类对象也具有这些特征的推理称为类比推理类比推理是由特殊到特殊的推理类比的结论不一定为真，在一般情况
2、下，如果类比的相似性越多，相似性之间越相关，那么类比得到的结论也就越类比推理可靠 13.从一般性的原理出发，推出某个特殊情况下的结论的推理方法叫做演绎推理，它是一种由一般到特殊的推理过程，是一种必然性推理，演绎推理的前提与结论之间有蕴涵关系，因而，只要前提是真实的，推理的形式是正确的，那么结论必定是真实的，但是错误的前提可能导致错误演绎推理的结论 2()()()“三段论”是演绎推理的一般模式，包括：大前提已知的一般原理；小前提所研究的特殊情况；结论根据一般原理，对特殊情况做出判断 1.利用归纳推理推断，当 n 是自然数时，18(n21)1(1)n的值()A一定是零B不一定是整数C一定是偶数D是
3、整数但不一定是偶数【解析】当 n1 时，值为 0；当 n2 时，值为 0；当 n3 时，值为 2；当 n4 时，值为 0；当 n5 时，值为 6.2.(2012合肥模拟)给出下列三个类比结论：(ab)nanbn 与(ab)n 类比，则有(ab)nanbn；loga(xy)logaxlogby 与 sin()类比，则有sin()sinsin；(ab)2a22abb2与(ab)2类比，则有(ab)2a22abb2.其中结论正确的个数是()A0B1C2D3【解析】与根据常识可知，都为错误的，只有正确 3.(教材改编题)已知数列an的第 1 项 a12，且an1an1an(n1,2,3，)，则数列an
4、的通项公式为()Aan1nBan nn1Can22n1Dan12n1【解法 1】因为 an1 an1an，所以 1an1 1an1，所以 1an是以 1a112为首项，以 d1 为公差的等差数列，所以 1an2n12，故 an22n1.【解法 2】取 n1，得1n1，nn112，22n12，12n11，故 A、B、D 不正确 4.(教材改编题)“两条直线平行，同时和第三条直线相交，内错角相等，A 和B 是内错角，则AB”，该证明过程的大前提是 两直线平行内错角相等，小前提是 A和B是内错角，结论是 AB.5.(2012杭州模拟)在ABC 中，若 ACBC，ACb，BCa，则ABC 的外接圆半径
5、 r a2b22.将此结论拓展到空间，可得出的正确结论是：在四面体 SABC 中，若 SA，SB，SC 两两垂直，SAa，SBb，SCc，则四面体 SABC 的外接球半经 Ra2b2c22.一 归纳推理及应用【例 1】(2011黄山市模拟)已知 f(x)bx1ax12(x1a，a0)，且 f(1)log162，f(2)1.(1)求函数 f(x)的表达式；(2)已知数列xn的项满足 xn1f(1)1f(2)1f(n)，试求 x1，x2，x3，x4；(3)猜想数列xn的通项公式【分析】(1)先由 f(1)，f(2)的值求出 a，b 的值；(2)通过计算 x1，x2，x3，x4 归纳出通项公式【解析
6、】(1)因为 f(1)log16214，f(2)1，所以可得 b1a12142b112a21，整理得4b4a22a12b14a24a1，解得a1b0，于是 f(x)1x12(x1)(2)x11f(1)11434，x234(119)23，x323(1 116)58，x458(1 125)35.(3)这里因为偶数项的分子、分母作了约分，所以规律不明显，若变形为34，46，58，610，猜想 xn n22n1.【点评】由数列的前几项猜测其通项，要细致地观察项的各个细微组成部分(比如分子、分母)如何随项数 n 变化，尝试用项数表示相关部分(比如34 12122，46 22222等)，然后大胆地猜测出一
7、个结论，若规律不明显可多算几项，猜出结论后亦可再取几个特殊值验证一下 观察下列两式：sin220cos250sin20cos5034；sin215cos245sin15cos4534.分析上面的两式的共同特点，写出反映一般规律的等式，并证明你的结论素材1【解析】推广结论：sin2cos2(30)sincos(30)34.证明如下：sin2cos2(30)sincos(30)34sin2cos(30)12sin234sin2(coscos30sinsin3012sin)234sin234cos234.二类比推理及应用 【例 2】在 RtABC 中，ABAC，ADBC 于 D，求证：1AD2 1A
8、B2 1AC2，那么在四面体 ABCD 中，类比上述结论，你能得到怎样的猜想，并说明理由【分析】首先利用综合法证明结论正确，然后依据直角三角形与四面体之间形状的对比猜想结论，并予以证明【解析】如图所示，由射影定理AD2BDDC，AB2BDBC，AC2BCDC.所以 1AD2BC2BDBCDCBCBC2AB2AC2.又 BC2AB2AC2，所以 1AD2AB2AC2AB2AC2 1AB2 1AC2，所以 1AD2 1AB2 1AC2，类比 ABAC，ADBC 猜想：四面体 ABCD中，AB、AC、AD 两两垂直，AE平面 BCD，则 1AE2 1AB2 1AC2 1AD2.如图所示，连接 BE
9、并延长交 CD 于 F，连接 AF.因为 ABAC，ABAD所以 AB平面 ACD.而 AF平面 ACD，所以 ABAF.在 RtABF 中，AEBF，所以 1AE2 1AB2 1AF2在 RtACD 中，AFCD，所以 1AF2 1AC2 1AD2所以 1AE2 1AB2 1AC2 1AD2，故猜想正确【点评】类比推理是获取新知识的重要手段之一在学习中要注意通过类比去发现、探索新问题 设ABC 的三边长分别为 a、b、c，ABC 的面积为 S，内切圆半径为 r，则 r2Sabc；类比这个结论可知，四面体 ABCD 的四个面的面积分别为 S1、S2、S3、S4，四面体ABCD 的 体 积 为
10、V，内 切 球 半 径 为 R，则 R 3VS1S2S3S4.素材2【解析】设四面体 ABCD 的内切球球心为 O，连接 OA、OB、OC、OD，则 VVOABCVOBCDVOCDAVOABD13S1R13S2R13S3R13S4R13R(S1S2S3S4)所以 R3VS1S2S3S4.三演绎推理及其应用【例 3】已知函数 f(x)x22bxc(cb1)若函数 f(x)的一个零点为 1，且函数 yf(x)1 有零点(1)证明：3c1 且 b0.(2)若 m 是函数 yf(x)1 的一个零点，判断 f(m4)的正负并加以证明【解析】(1)证明：因为 f(x)的一个零点为 1，所以 f(1)0，即
11、 12bc0，即 bc12.又因为 cb1，于是 cc12 1，得3c13.函数 yf(x)1 有零点，即方程 x22bxc10 有实根，故 4b24(c1)0c3 或 c1.又3c13，所以3c1.由 bc12，知 b0.(2)f(x)x22bxcx2(c1)xc(xc)(x1)因为 m 是函数 yf(x)1 的一个零点，所以 f(m)1.从而 f(m)(mc)(m1)0，所以 cm1，所以 c4m430，即 f(m4)的符号为正【点评】“三段论”式的演绎推理在高考中是常考点，也是证明题的常用方法，一定要保证大前提正确，且小前提是大前提的子集关系，这样经过正确推理，才得到正确结论；常见易错点
12、是“凭空想象、思维定势、想当然、凭空捏造”大前提，从而出错，或者小前提与大前提“不兼容”“不包容”“互补”而出错 已知函数 f(x)aax a(a0 且 a1)证明：函数yf(x)的图象关于点(12，12)对称素材3【证明】函数 f(x)的定义域为全体实数，任取一点(x，y)，它关于点(12，12)对称的点的坐标为(1x，1y)由已知得 yaax a，则1y1aax aaxax a，f(1x)aa1x aaaax aaaxa aaxaxax a，所以1yf(1x)即函数 yf(x)的图象关于点(12，12)对称备选例题(2011辽宁卷)设函数 f(x)xax2blnx，曲线yf(x)过 P(1
13、,0)，且在 P 点处的切斜线率为 2.(1)求 a，b 的值；(2)证明：f(x)2x2.【解析】(1)f(x)12axbx.由已知条件得f10f 12 a1b3.(2)证明：因为 f(x)的定义域为(0，)，由(1)知 f(x)xx23lnx.设 g(x)f(x)(2x2)2xx23lnx，则 g(x)12x3xx12x3x.当 0 x0；当 x1 时，g(x)0 时，g(x)0，即 f(x)2x2.1归纳推理的一般步骤：通过观察一系列情形发现某些相同的性质；从已知的相同的性质中推出一般性命题 2类比推理的一般步骤：找出两类事物之间的相似性或一致性；用一类事物的性质去推测另一类事物的性质，得出一个明确的结论 注：归纳推理与类比推理都属于合情推理，两种推理所得的结论未必是正确的(例如费马猜想就被大数学家欧拉推翻了)，但它们对于发现新的规律和事实却是十分有用的 3“三段论”推理是演绎推理的一般模式，它包括：大前提：已知的一般性原理；小前提：所研究的特殊情况；结论：根据一般原理，对特殊情况做出的判断也可表示为：大前提：M是P，小前提：S是M，结论：S是P.用集合的知识可以理解为：若集合M的所有元素都具有性质P，S是M的子集，那么S中所有元素都具有性质P.