1、高 考 总 复 习 艺考生山东版数学 第7节 抛物线第七章 平面解析几何最新考纲核心素养考情聚焦1.了解抛物线的实际背景，了解抛物线在刻画现实世界和解决实际问题中的作用2.掌握抛物线的定义、几何图形、标准方程及简单几何性质1.抛物线的定义及其应用，达成直观想象和数学建模的素养2.抛物线的标准方程与几何性质掌握与应用，增强直观想象、逻辑推理和数学运算的素养3.直线与抛物线的位置关系的判断与应用，提升逻辑推理、数学抽象和数学运算的素养抛物线的定义、标准方程、几何性质近年高考命题的热点常与圆、椭圆、双曲线、直线、导数等知识交汇考查，考查学生的分析问题解决问题的能力三种题型都有可能出现，选择题、填空题
2、一般为中低档题型，解答题为中高档题做题时要充分利用函数与方程思想、转化与化归思想、数形结合等数学思想的运用1抛物线的定义(1)平面内与一个定点F和一条定直线l(Fl)的距离 相等 的点的轨迹叫做抛物线点 F 叫做抛物线的焦点，直线 l 叫做抛物线的 准线.(2)其数学表达式：|MF|d(其中 d 为点 M 到准线的距离)2抛物线的标准方程与几何性质y22px(p0)y22px(p0)x22py(p0)x22py(p0)标准方程p 的几何意义：焦点 F 到准线 l 的 距离 图形顶点 O(0,0)对称轴 y0 x0 焦点 Fp2，0 Fp2，0 F0，p2 F0，p2 离心率e 1 准线方程 x
3、p2 xp2 yp2 yp2 范围x0，yRx0，yR y0，xR y0，xR开口方向向 右 向 左 向 上 向 下 焦半径(其中 P(x0，y0)|PF|x0p2|PF|x0p2|PF|y0p2|PF|y0p2 与焦点弦有关的常用结论(以下图为依据)(1)y1y2p2，x1x2p24.(2)|AB|x1x2p 2psin2(为 AB 的倾斜角)(3)1|AF|1|BF|为定值2p.(4)以 AB 为直径的圆与准线相切(5)以 AF 或 BF 为直径的圆与 y 轴相切思考辨析 判断下列说法是否正确，正确的在它后面的括号里打“”，错误的打“”(1)平面内与一个定点 F 和一条定直线 l 的距离相
4、等的点的轨迹一定是抛物线()(2)抛物线 y24x 的焦点到准线的距离是 4.()(3)若直线与抛物线只有一个交点，则直线与抛物线一定相切()(4)方程 yax2(a0)表示的曲线是焦点在 x 轴上的抛物线，且其焦点坐标是a4，0，准线方程是 xa4.()(5)若 一 抛 物 线 过 点 P(2,3)，其 标 准 方 程 可 写 为 y2 2px(p0)()(6)过抛物线的焦点与抛物线对称轴垂直的直线被抛物线截得的线段叫做抛物线的通径，那么抛物线 x22ay(a0)的通径长为2a.()答案：(1)(2)(3)(4)(5)(6)小题查验1坐标平面内到定点 F(1,0)的距离和到定直线 l：x1
5、的距离相等的点的轨迹方程是()Ay22x By22xCy24xDy24x解析：D 由抛物线的定义知，点的轨迹是开口向左的抛物线，且 p2，其方程为 y22px4x.2(2019南昌市一模)已知抛物线 y24x 的焦点为 F，准线 l 与 x轴的交点为 K，抛物线上一点 P，若|PF|5，则PKF 的面积为()A4 B5 C8 D10解析：A F(1,0)，K(1,0)，准线方程为 x1.设 P(x0，y0)，则|PF|x015，即 x04，.不妨设 P 在第一象限，则 P(4,4)，SPK F12|FK|y0|12244.故选 A.3(2019西宁市模拟)已知点 P 是抛物线 y24x 上的一
6、点，F 为抛物线的焦点，若|PF|5，则点 P 的横坐标为()A1 B2 C3 D4解析：D 如图，抛物线 y24x 的焦点 F(1,0)，准线方程为 x1.由|PF|5，得 xP15，则 xP4.即点 P 的横坐标为 4.故选D.4(2018北京卷)已知直线 l 过点(1,0)且垂直于 x 轴，若 l 被抛物线 y24ax 截得的线段长为 4，则抛物线的焦点坐标为 _.解析：由题可得：点 P(1,2)在抛物线上，将 P(1,2)代入 y24ax 中解得：a1，y24x.由抛物线方程可得：2p4，p2，p21焦点坐标为(1,0)答案：(1,0)5(人教 A 版教材例题改编)已知抛物线的顶点是原
7、点，对称轴为坐标轴，并且经过点 P(2，4)，则该抛物线的标准方程为 _.解析：很明显点 P 在第三象限，所以抛物线的焦点可能在 x 轴负半轴上或 y 轴负半轴上当焦点在 x 轴负半轴上时，设方程为 y22px(p0)，把点 P(2，4)的坐标代入得(4)22p(2)，解得 p4，此时抛物线的标准方程为 y28x；当焦点在 y 轴负半轴上时，设方程为 x22py(p0)，把点 P(2，4)的坐标代入得(2)22p(4)，解得 p12，此时抛物线的标准方程为 x2y.综上可知，抛物线的标准方程为 y28x 或 x2y.答案：y28x 或 x2y考点一 抛物线的标准方程与几何性质(自主练透)题组集
8、训1(2019泉州市模拟)如图，过抛物线 y22px(p0)的焦点 F 的直线依次交抛物线及准线于点 A，B，C，若|BC|2|BF|，且|AF|3，则抛物线的方程为()Ay232x By23xCy292xDy29x解析：B 如图，分别过点 A，B 作准线的垂线，分别交准线于点 E，D，设|BF|a，则由已知得|BC|2a.由定义得：|BD|a，故BC D 30.在直角三角形 A C E 中，因为|A F|3，|A C|33a，又 2|A E|A C|，所以 33a6，从而得 a1.因为 BD FG，所以1p23，求得 p32，因此抛物线方程为 y23x.故选 B.2(2019全国卷)若抛物线
9、 y22px(p0)的焦点是椭圆x23py2p1 的一个焦点，则 p()A2 B3 C4 D8解析：D 由椭圆x23py2p1，知半焦距 c 3pp 2p，2pp2，p8.3(2017高考全国卷)已知 F 是抛物线 C：y28x 的焦点，M是 C 上一点，FM 的延长线交 y 轴于点 N.若 M 为 FN 的中点，则|FN|_.解析：抛物线 C：y28x 的焦点为 F(2,0)，准线 l：x2，如图，M 为 FN 的中点，故易知线段 BM 为梯形 AFMC 的中位线|CN|2，|AF|4，|MB|3.又由定义|MB|MF|，且|MN|MF|，|NF|NM|MF|6.答案：61求抛物线的标准方程
10、的方法(1)求抛物线的标准方程常用待定系数法，因为未知数只有 p，所以只需一个条件确定 p 值即可(2)因为抛物线方程有四种标准形式，因此求抛物线方程时，需先定位，再定量2确定及应用抛物线性质的技巧(1)利用抛物线方程确定及应用其焦点、准线等性质时，关键是将抛物线方程化为标准方程(2)要结合图形分析，灵活运用平面几何的性质以图助解考点二 抛物线的定义及其应用(多维探究)命题角度 1 到焦点与定点距离之和最小问题 1已知抛物线的方程为 x28y，F 是焦点，点 A(2,4)，在此抛物线上求一点 P，使|PF|PA|的值最小，则点 P 的坐标为_.直观想象、逻辑推理数学运算抛物线的定义及其应用中的
11、核心素养以抛物线的简单几何性质的相关知识为基础，借助抛物线及其他平面图形的几何性质和数量关系建立有关的方程及不等式，通过解方程式不等式求距离和最小值，增强直观想象、逻辑推理和数学运算的核心素养信息提取信息解读直观想象、逻辑推理和数学运算抛物线的方程为x28y，F 是焦点，点 A(2,4)点 A(2,4)在抛物线 x28y 的内部在此抛物线上求一点 P，使|PF|PA|的值最小根据抛物线的定义，|PF|等于点 P 到抛物线的准线为 l 的距离直观想象：画出符合题意的图形逻辑推理：数形结合，利用抛物线的定义以及三角形三边关系定理，过点 A 作准线 l 的垂线，垂线与抛物线的交点即为点 P.数学运算
12、：点 P 的横坐标就是点A 的横坐标，将其代入抛物线的方程即可求出点 P 的纵坐标解析：(2)20，解得：k0)的焦点为 F，抛物线 C 与直线 l1：yx 的一个交点的横坐标为 8.(1)求抛物线 C 的方程；(2)不过原点的直线 l2 与 l1 垂直，且与抛物线交于不同的两点 A，B，若线段 AB 的中点为 P，且|OP|PB|，求FAB 的面积解：(1)易知直线与抛物线的交点坐标为(8，8)，(8)22p8，2p8，抛物线方程为 y28x.(2)直线 l2 与 l1 垂直，故可设直线 l2xym，A(x1，y1)，B(x2，y2)，且直线 l2 与 x 轴的交点为 M.由y28x，xym，得 y28y8m0，6432m0，m2.y1y28，y1y28m，x1x2y21y2264 m2.由题意可知 OAOB，即 x1x2y1y2m28m0，m8 或 m0(舍)，直线 l2xy8，M(8,0)故 SFABSFMBSFMA12|FM|y1y2|3 y1y224y1y224 5.(1)有关直线与抛物线的弦长问题，要注意直线是否过抛物线的焦点，若过抛物线的焦点，可直接使用公式|AB|x1x2p，若不过焦点，则必须用一般弦长公式(2)涉及抛物线的弦长、中点、距离等相关问题时，一般利用根与系数的关系采用“设而不求”“整体代入”等解法(3)涉及弦的中点、斜率时，一般用“点差法”求解