1、掌握平面向量在解析几何、三角函数及数列等方面的综合应用.平面向量是中学数学知识的一个交汇点，成为多项内容的媒介，本讲主要梳理平面向量与三角函数、解析几何、数列的交汇，突出培养学生运用向量工具综合解决问题的能力.1.向量中“数与形”转化化归思想向 量 既 有 大 小，又 有 方 向，兼 备“数”“形”双重特点.向量运算均有相应的几何性质，因此有关几何性质的问题可通过向量或其运算转化化归为代数问题分析、探究.2.向量的工具性作用线段的长,直线的夹角,有向线段的分点位置，图形的平移变换均可用向量形式表示,从而向量具有工具性作用.可以用向量来研究几何问题,利用其运算可以研究代数问题.3.向量载体的意义
2、函数、三角函数、数列、解析几何问题常常由向量形式给出，即以向量为载体，通过向量的坐标运算转化化归为相应的函数、三角函数、数列、解析几何问题，这就是向量载体的意义.这类问题情境新颖，处在知识的交汇点，需要综合应用向量、函数、三角函数、数列、解析几何知识分析、解决问题.1.在ABC 中，有命题：ABACBC；ABBCCA0；若(ABAC)(ABAC)0，则ABC 为等腰三角形；若ABAC0，则ABC 为锐角三角形上述命题正确的是()ABCD【解析】在ABC 中，ABACCB，故错；由闭合向量和为零向量可知，正确；中(AB AC)(ABAC)AB 2AC 20，则 ABAC，故为等腰三角形，故正确；
3、若ABAC0，则A(0,90)，但B，C 不一定为锐角，故不一定为锐角三角形，故选 C.2.已知一物体在共点力 F1(lg2，lg2)，F2(lg5，lg2)的作用下产生位移 s(2lg5,1)，则共点力对物体做的功 W为()Alg2Blg5C1D2【解析】F1F2(1,2lg2)，W(F1F2)s2lg22lg52，故选 D.3.已知 A、B、C 是ABC 的三个顶点，AB 2ABACABCBBCCA，则ABC 的形状为()A锐角三角形B直角三角形C等边三角形D等腰直角三角形【解析】AB 2AB(ACCB)BCCAAB 2BCCA所以BCCA0，即 BCAC.4.已知向量 a(3sin，1)
4、，b(1，cos)，则 ab的最大值为 2.【解析】ab 3sincos2sin(6)2，故 ab的最大值为 2.5.设 F 为抛物线 y24x 的焦点，A、B、C 为该抛物线上三点，若FAFBFC0，则|FA|FB|FC|6.【解析】设 F 为抛物线 y24x 的焦点，A、B、C为该抛物线上三点，若FAFBFC0，则 F 为ABC的重心，所以 A、B、C 三点的横坐标的和为 F 点横坐标的 3 倍，即等于 3，所以|FA|FB|FC|(xA1)(xB1)(xC1)6，故填 6.易错点：不能从FAFBFC0 得出 F 为ABC 的重心，造成计算量增大，甚至失去解题方向 一 用向量解决平面几何问
5、题【例 1】如图所示，若点 D 是三角形 ABC 内一点，并且满足 AB2CD2AC2BD2，求证：ADBC.【分析】要证明 ADBC，则只需证明AD BC0，可设AD m，ABc，ACb，通过向量的运算解决【证明】设ABc，ACb，AD m，则BD AD ABmc，CD AD ACmb.因为 AB2CD2AC2BD2，所以 c2(mb)2b2(mc)2，即 c2m22mbb2b2m22mcc2，即 2m(cb)0，即AD(ABAC)0，所以AD CB0，所以 ADBC.【点评】(1)一般情况下，用向量解决平面几何问题，要用不共线的向量表示题目所涉及的所有向量，再通过向量的运算法则和性质解决问
6、题(2)用向量方法解决平面几何问题的“三步曲”建立平面几何与向量的联系，用向量表示问题中涉及的几何元素，将平面几何问题转化为向量问题通过运算，研究几何元素之间的关系，如距离、夹角等问题把运算结果“翻译”成几何关系已知向量 m(sinA，sinB)，n(cosB，cosA)，mnsin2C，且 A、B、C 分别为ABC 的三边 a、b、c 所对的角(1)求角 C 的大小；(2)若 sinA，sinC，sinB 成等差数列，且CA(ABAC)18，求 c 边的长素材1【解析】(1)mnsinAcosBsinBcosAsin(AB)，对于ABC，ABC,0C0，所以 yt12t在12，1上递增所以
7、ymax1 12112，ymin12 121212.(2)由|kab|3|akb|有(kab)23(akb)2，即 k2a2b22kab3(a22kabk2b2)，又|a|b|1，所以 k212kab3(1k22kab)，所以 ab1k24k.由 abcos2，0，3有12ab1，所以121k24k 1.所以1k24k 1201k24k 10k124k0k24k14k0 k1或k0k0或2 3k2 3k1 或 2 3k2 3.综上所述，k 的取值范围为k|k1 或 2 3k2 3【点评】平面向量与三角函数的整合是高考命题的热点之一，一般根据向量的运算性质(如数量积)将向量特征转化为三角问题 已
8、知向量 a(sin，cos2sin)，b(1,2)(1)若 ab，求 tan 的值；(2)若|a|b|,0，求 的值素材3【解析】(1)因为 ab，所以 2sincos2sin，于是4sincos，故 tan14.(2)由|a|b|知，sin2(cos2sin)25，所以 12sin24sin25.从而2sin22(1cos2)4，即 sin2cos21，于是 sin(24)22.又由 0 知，42494，所以 2454 或 2474.因此 2或 34.备选例题设 x、yR，向量 a(x 3，y)，b(x 3，y)，且|a|b|4.(1)求点 M(x，y)的轨迹 C 的方程；(2)过点 P(0
9、,2)作直线 l 交曲线 C 于 A、B 两点，又 O为坐标原点，若OA OB 125，求直线 l 的倾斜角【解析】(1)由已知得：x 32y2 x 32y24.设 F1(3，0)，F2(3，0)，则有|MF1|MF2|4，又|F1F2|2 3，所以|MF1|MF2|F1F2|，轨迹 C 是以 F1、F2 为焦点，长轴长为 4 的椭圆，所以曲线 C 的方程是x24y21.(2)过点 P 的直线若垂直于 x 轴，则OA OB 1，不符合要求，故可设 l：ykx2，代入x24y21，整理可得(14k2)x216kx120，由(16k)248(14k2)0，得 k234.设 A(x1，y1)，B(x
10、2，y2)，则 x1x2 16k14k2，x1x21214k2，所以 y1y2(kx12)(kx22)k2x1x22k(x1x2)4k21214k22k(16k14k2)44k2414k2，又OA OB 125，即 x1x2y1y2125，亦即1214k24k2414k2 125，解得 k21，k1.所以直线 l 的倾斜角为4或34.1由于向量具有“数”“形”双重身份，加之向量的工具性作用，向量经常与函数、三角函数、数列、解析几何知识相结合，综合解决相关问题2利用化归思想将共线、平行、垂直、平移变换及定比分点向向量的坐标运算方向转化，线段的长、夹角向向量数量运算转化，建立几何与代数之间互相转化的桥梁
