1、高 考 总 复 习 艺考生山东版数学 第4节 直线与圆、圆与圆的位置关系第七章 平面解析几何最新考纲核心素养考情聚焦1.能根据给定直线、圆的方程判断直线与圆的位置关系；能根据给定两个圆的方程判断两圆的位置关系2.能用直线和圆的方程解决一些简单的问题3.初步了解用代数方法处理几何问题的思想1.直线与圆的位置关系判定，达成数学建模和数学抽象的素养2.直线与圆相交、相切问题的研究，增强数学抽象、逻辑推理和数学运算的素养3.圆与圆的位置关系的判定，增强数学抽象、逻辑推理和数学运算的素养本部分作为2020年高考的重点内容，主要涉及直线与圆的位置关系、弦长问题、最值问题等常与椭圆、双曲线、抛物线交汇考查，
2、有时也与对称性等性质结合考查题型以选择题、填空题为主，有时也以解答题形式出现，一般难度不会太大，属中低档题型，解答时要正确利用图形及性质，合理转化1直线与圆的位置关系设圆 C：(xa)2(yb)2r2，直线 l：AxByC0，圆心 C(a，b)到直线 l 的距离为 d，由xa2yb2r2，AxByC0消去 y(或 x)，得到关于 x(或 y)的一元二次方程，其判别式为.方法位置关系 几何法代数法相交d0相切dr0相离dr0，所以直线 l 与圆 C 相交故选 A.法二：因为圆心(0,1)到直线 l 的距离 d|m|m211 5，故直线l 与圆相交，选 A.法三：直线 l：mxy1m0 过定点(1
3、,1)，因为点(1,1)在圆 C：x2(y1)25 的内部，所以直线 l 与圆 C 相交故选 A.2“a3”是“直线 yx4 与圆(xa)2(y3)28 相切”的()A充分不必要条件B必要不充分条件C充要条件D既不充分也不必要条件解析：A 若直线 yx4 与圆(xa)2(y3)28 相切，则有|a34|22 2，即|a1|4，所以 a3 或5.但当 a3 时，直线 yx4 与圆(xa)2(x3)28 一定相切，故“a3”是“直线 yx4 与圆(xa)2(y3)28 相切”的充分不必要条件3圆 x2y21 与直线 ykx2 没有公共点的充要条件是_解析：法一：将直线方程代入圆方程，得(k21)x
4、24kx30，直线与圆没有公共点的充要条件是 16k212(k21)0，解得3k 3.法二：圆心(0,0)到直线 ykx2 的距离 d2k21，直线与圆没有公共点的充要条件是 d1，即2k21 1，解得 3k 3.答案：3k 3判断直线与圆的位置关系时，若两方程已知或圆心到直线的距离易表达，则用几何法；若方程中含有参数，或圆心到直线的距离的表达较繁琐，则用代数法能用几何法，尽量不用代数法考点二 直线与圆相交、相切问题(多维探究)命题角度 1 求弦长或由弦长求直线(圆)的方程 1(经典高考)过三点 A(1,3)，B(4,2)，C(1，7)的圆交 y 轴于 M，N 两点，则|MN|()A2 6 B
5、8 C4 6 D10解析：C 设圆的方程为 x2y2D xEyF0，将点 A，B，C 代入，得 D 3EF100，4D 2EF200，D 7EF500，解得 D 2，E4，F20.则圆的方程为 x2y22x4y200.令 x0，得 y24y200，设 M(0，y1)，N(0，y2)，则 y1，y2是方程 y24y200 的两根，由根与系数的关系，得 y1y24，y1y220，故|M N|y1y2|y1y224y1y2168046.故选 C.弦长的两种求法(1)代数方法：将直线和圆的方程联立方程组，消元后得到一个一元二次方程在判别式 0 的前提下，利用根与系数的关系，根据弦长公式求弦长(2)几何
6、方法：若弦心距为 d，圆的半径长为 r，则弦长 l2 r2d2.提醒 代数法计算量较大，我们一般选用几何法命题角度 2 由弦长求参数取值(范围)2(2019南充市一模)已知直线 xym0 与圆 x2y24 交于不同的两点 A，B，O 是坐标原点若圆周上存在一点 C，使得ABC为等边三角形，则实数 m 的值为 _.解析：根据题意画出图形，连接 OA，OB，作 OD 垂直于 AB 于D 点因为ABC 为等边三角形，所以AOB120.由余弦定理得|AB|2 3，|BD|3，|OD|1，O(0,0)到直线 AB 的距离|m|21，解得 m 2.答案：2解决与弦长有关参数或取值范围问题，一般是找到与弦长
7、公式 l2 r2d2有关的方程或不等式，解方程或不等式即可命题角度 3 求切线方程(切线长)3已知点 A(1，a)，圆 x2y24.若过点 A 的圆的切线只有一条，则切线方程为 _.解析：由于过点 A 的圆的切线只有一条，则点 A 在圆上，故 12a24，a 3.当 a 3时，A(1，3)，切线方程为 x 3y40；当 a 3时，A(1，3)，切线方程为 x 3y40，答案：x 3y40 或 x 3y404(2019武汉市模拟)已知直线 l：mxy10(mR)是圆 C：x2y24x2y10 的对称轴，过点 A(2，m)作圆 C 的一条切线，切点为 B，则|AB|为()A4 B2 5 C4 2
8、D3解析：A 圆 C：x2y24x2y10，即(x2)2(y1)2 4，表示以 C(2，1)为圆心、半径等于 2 的圆由题意可得，直线 l：m xy10 经过圆 C 的圆心(2，1)，故有 2m 110，m 1，点 A(2,1)A C 20，C BR 2，切线的长|A B|2044.故选 A.1求过一点的圆的切线方程时，首先要判断此点与圆的位置关系，若点在圆内，无解；若点在圆上，有一解，利用点斜式直接求解；若点在圆外，有两解设切线的点斜式方程，用待定系数法求解，注意，需考虑无斜率的情况2切线长问题，利用圆心到定点的距离，半径，切线长三者之间的勾股定理来解决命题角度 4 圆的最值问题 5在平面直
9、角坐标系 xOy 中，以点(1,0)为圆心且与直线 mxy2m10(mR)相切的所有圆中，半径最大的圆的标准方程为 _.解析：解法一：设 A(1,0)，由 m xy2m 10，得 m(x2)(y1)0，则直线过定点 P(2，1)，即该方程表示所有过定点 P 的直线系方程 当直线与 A P 垂直时，所求圆的半径最大 此时，半径为|A P|2121022.故所求圆的标准方程为(x1)2y22.解法二：设圆的半径为 r，根据直线与圆相切的关系得 r|m 1|1m2m22m 1m2112mm21，当 m 0 时，12mm21 0 时，m212m(当且仅当 m 1 时取等号)所以 r112，即 rm a
10、x2，故半径最大的圆的方程为(x1)2y22.答案：(x1)2y22对于圆的最值问题，一般是根据条件列出关于所求目标的式子函数关系式，然后根据函数关系式的特征选用参数法、配方法、判别式法等，应用不等式的性质求出最值考点三 圆与圆的位置关系(子母变式)母题 已知圆 C1：(xa)2(y2)24 与圆 C2：(xb)2(y2)21 相外切，则 ab 的最大值为()A.62 B.32 C.94 D2 3解析 C 由圆 C1 与圆 C2 相外切，可得ab2222213，即(ab)29，根据基本不等式可知 abab2294，当且仅当 ab 时等号成立故选 C.子题 1 本例条件中“外切”变为“内切”，则
11、 ab 的最大值为 _.解析：由 C 1与 C 2内切得ab22221.即(ab)21，又 abab2214，当且仅当 ab 时 等号成立，故 ab 的最大值为14.答案：14子题 2 本例条件“外切”变为“相交”，则公共弦所在的直线方程为 _.解析：由题意得，把圆 C1，圆 C2 的方程都化为一般方程圆C1：x2y22ax4ya20，圆 C2：x2y22bx4yb230，由得(2a2b)x3b2a20，即(2a2b)x3b2a20 为所求公共弦所在直线方程答案：(2a2b)x3b2a20子题 3 本例条件“外切”变为“若两圆有四条公切线”，则直 线 x y 1 0 与 圆(x a)2 (y
12、b)2 1 的 位 置 关 系 是 _.解析：由两圆存在四条切线，故两圆外离，ab22223.(ab)29.即 ab3 或 ab1，直线 xy10 与圆(xa)2(yb)21 相离答案：相离1处理两圆位置关系多用圆心距与半径和或差的关系判断，一般不采用代数法2若两圆相交，则两圆公共弦所在直线的方程可由两圆的方程作差得到提醒：判断两圆位置关系时常用几何法，利用两圆组成的方程组解的个数，不能判断内切与外切，外离与内含跟踪训练1(2016高考山东卷)已知圆 M：x2y22ay0(a0)截直线 xy0 所得线段的长度是 2 2，则圆 M 与圆 N：(x1)2(y1)21的位置关系是()A内切B相交 C
13、外切D相离解析：B 圆 Mx2(ya)2a2，圆心坐标为 M(0，a)，半径 r1 为 a，圆心 M 到直线 xy0 的距离 d|a|2，由几何知识得|a|22(2)2a2，解得 a2.M(0,2)，r12.又圆 N 的圆心坐标 N(1,1)，半径 r21，|MN|102122 2，r1r23，r1r21.r1r2|MN|r1r2，两圆相交，故选 B.2若圆 x2y24 与圆 x2y22ay60(a0)的公共弦的长为2 3，则 a _.解析：两圆的方程相减，得公共弦所在的直线方程为(x2y22ay6)(x2y2)40y1a，又 a 0，结合图形，利用半径、弦长的一半及弦心距所构成的直角三角形，可知1a22321a1.答案：1