1、 掌握基本不等式，会用基本不等式解决简单的最大（小）值问题.2222_.()2_(=)()()_)_.(12abababababab为实数写当仅当来积积别条满R如果，那么，注意也可成基本 均值 不等式：如果，那么且取“”注：基本 均值 不等式可以用求最值定和小，和定大，特要注意基本 均值 不等式件需足：222221_0(“”)2_22_()11().22abababbaababababababababab推广：当且仅当时取；推广：，当且仅当仅当时取“”即平方平均数算术平均数几何平均数调和平均数注意关于的两种变形，R2222ababababab；一“正”、二“定”、三“相等”；【指南】要点 1.
2、在下列各函数中，最小值等于 2 的函数是()Ayx1xBycosx 1cosx(0 x0，b0，且 a2b20，则 ab 的最大值为()A.12B1C2D4【解析】由已知得 a2b2，又因为 a0，b0，所以 2a2b2 2ab，所以 ab12，当且仅当 a2b 时取“”3.(2011上海卷)若 a、bR，且 ab0，则下列不等式中恒成立的是()Aa2b22abBab2 abC.1a1b 2abD.baab2【解析】由基本不等式的条件“一正二定三相等”求最值，易知只有 D 全满足 4.(2011浙江卷)若实数 x、y 满足 x2y2xy1，则 xy 的最大值为 2 33 .【解析】由题意 x2
3、y2xy(xy)2xy1，即(xy)21xy(xy2)2，所以(xy)243，所以 xy2 33.当且仅当 xy 33 时取等号 5.当 x1 时，函数 f(x)x 1x1有最 小 值为 3.【解析】因为 f(x)(x1)1x112x1 1x113，当且仅当x1 1x1x1，即 x2 时有最小值为 3.一 利用基本不等式求最值【例 1】(1)设 0 x0，y0，且 xy1，求8x2y的最小值【分析】(1)属“积大”问题，可直接应用基本不等式；(2)属“和小”问题，要分拆，使积一定，即 3a4a3a4(a4)4.(3)注意逆代因为 1xy，所以8x2y(8x2y)(xy)【解析】(1)因为 0
4、x2，所以 03x20，所以 y 3x83x3x83x2824.当且仅当 3x83x，即 x43时，取等号所以当 x43时，y 3x83x的最大值是 4.(2)显然 a4.当 a4 时，a40，所以 3a4a 3a4(a4)423a4a442 34，当且仅当 3a4a4，即 a4 3时取等号 当 a4 时，a40，y0，且 xy1，所以8x2y(8x2y)(xy)108yx 2xy1028yx 2xy18.当且仅当8yx 2xy，即 x2y 时等号成立所以，当 x23，y13时，8x2y有最小值 18.【点评】(1)合理拆分或配凑因式是常用的技巧，而拆与凑的目标在于使等号成立，且每项为正值，必
5、要时需出现积为定值或和为定值(2)当多次使用基本不等式时，一定要注意每次是否能保证等号成立，并且要注意取等号的条件的一致性，否则就会出错，因此在利用基本不等式处理问题时，列出等号成立的条件不仅是解题的必要步骤，而且也是检验转换是否有误的一种方法(3)对于基本不等式，不仅要记住原始公式，而且还要掌握它的几种常见的变形形式及公式的逆运用等如2abab abab2 a2b22(a0，b0)若 x0,1，求函数 y 3x83x的最大值素材1【解析】由例 1(1)的解答知，当 x0,1时，函数的最大值不能用基本不等式因 为 y 9x224x 9x43216(x 0,1)，所以函数在0,1上单调递增，所以
6、当 x=1 时，所ymax 15.二 利用基本不等式证明不等式 【例 2】(2010铜陵模拟)已知 a0，b0，且 ab1，求证：(1)ab14；(2)1a1b 1ab8.【分析】条件不等式，关键要尽快恰当使用条件，构造基本不等式，利用基本不等式证明要注意考察等号成立的条件【证明】(1)因为 a0，b0，且 ab1，所以 ab(ab2)214，当且仅当 ab，即 ab12时，等号成立所以原不等式成立(2)由(1)知 ab14且 ab0，所以 1ab4，所以1a1b 1ab21ab 1ab2 448，当且仅当 ab12时取等号，所以原不等式成立【点评】利用基本不等式证明不等式是综合法证明不等式的
7、一种情况，是指从已证不等式和问题的已知条件出发，借助不等式的性质和有关定理，经过逐步的逻辑推理，最后转化为所求问题，其特征是以“已知”看“可知”，逐步推向“未知”a、b、cR，且 abc1，求证：1a1b1c9.素材2【证明】1a1b1c1a(abc)1b(abc)1c(abc)3bacaabcbacbc3(baab)(caac)(cbbc)32229.当且仅当 abc13时取等号注意：三个基本不等式等号成立的条件同时成立，“迭加法”是证不等式的常用方法三 基本不等式的实际应用【例 3】围建一个面积为 360 m2 的矩形场地，要求矩形场地的一面利用旧墙(利用的旧墙需维修)，其他三面围墙要新建
8、在旧墙对面的新墙上要留一个宽度为 2 m 的进出口，如图所示已知旧墙的维修费用为 45 元/m，新墙的造价为 180 元/m.设利用的旧墙长度为 x(单位：m)，修建此矩形场地围墙的总费用为 y(单位：元)(1)将 y 表示为 x 的函数；(2)试确定 x，使修建此矩形场地围墙的总费用最小，并求出最小总费用【分析】(1)y旧墙维修费新建墙费；(2)列出目标函数关系式，利用基本不等式求最值(3)确定取得最值的条件，作出问题的结论【解析】如图，设矩形的另一边长为 a m，修建此矩形场地费用为 y，则 y45x180(x2)1802a225x360a360，(1)由已知 xa360，得 a360 x
9、，所以 y225x3602x 360(x0)(2)因为 x0，所以 225x3602x 2 225360210800，所以 y225x3602x 36010440，当且仅当 225x3602x 时，等号成立即当 x24 m 时，修建围墙的总费用最小，最小总费用是 10440 元【点评】应用基本不等式解决实际问题的步骤是：(1)仔细阅读题目，透彻理解题意；(2)分析实际问题中的数量关系，引入 未知数，并用它表示其他的变量，把要求最值的变量设为函数；(3)应用基本不等式求出函数的最值；(4)还原实际问题，作出解答备选例题(2010安庆模拟)某国际化妆品生产企业为了占有更多的市场份额，拟在 2012
10、 年英国伦敦奥运会期间进行一系列促销活动，经过市场调查和测算，化妆品的年销量 x 万件与年促销费 t 万元之间满足 3x 与 t1成反比例，如果不搞促销活动，化妆品的年销量只能是 1 万件已知 2012 年生产化妆品的设备折旧、维修等固定费用为 3 万元，每生产 1 万件化妆品需再投入32 万元的生产费用，若将每件化妆品的售价定为其生产成本的 150%与平均每年促销费的一半之和，则当年生产的化妆品正好能销完(1)将 2012 年的利润 y(万元)表示为促销费 t(万元)的函数；(2)该企业 2012 年的促销费投入多少万元时，企业的年利润最大？(注：利润销售收入生产成本促销费，生产成本固定费用
11、生产费用)【解析】(1)由题意可设 3x kt1，将 t0，x1 代入，得 k2，所以 x3 2t1.当年生产 x 万件时，因为年生产成本年生产费用年固定费用，所以年生产成本为 32x332(3 2t1)3，当销售 x(万件)时，年销售收入为 150%32(3 2t1)312t.由题意，生产 x 万件化妆品正好销完由年利润年销售收入年生产成本促销费，得年利润 yt298t352t1(t0)(2)yt298t352t150(t12 32t1)502t12 32t1502 1642(万件)当且仅当t12 32t1，即 t7 时，ymax42.所以当促销费定在 7 万元时，年利润最大 1须满个条为时积积为时 利用基本不等式求最值必足一正、二定、三相等三件，并且和定值，有最大值，定值，和有最小值200(0)(0)00(0)(0)000)(0()()00()byaxabxababbbbaaabababyaxx 时号应单调数当时数数当时数减数当时数减数数当时变来决问使用基本不等式求最值，若等不成立，改用性法一般地，函，函在，上是增函；，函在，上是函；，函在，上是函，在，上是增函；，可作如下形：解最值题