1、数学（理A）试题一、选择题：本大题共10个小题,每小题5分,共50分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1.设集合，集合，则（ ）A B C D2.已知，则下列不等式中恒成立的是（ ）A B C D3. 为不重合的直线，为不重合的平面，则下列说法正确的是（ ）A，则 B ，则C，则 D，则4.在复平面内，复数对应的点位于（ ）A第一象限 B第二象限 C第三象限 D第四象限5.三棱锥的三视图中俯视图是等腰直角三角形，三棱锥的外接球的体积记为，俯视图绕斜边所在直线旋转一周形成的几何体的体积记为，则（ ）A B C12 D6.已知点在由不等式组确定的平面区域内，则点所在平面区域的面
2、积是（ ）A1 B2 C4 D87.已知是双曲线上的不同三点，且关于坐标原点对称，若直线的斜率乘积，则该双曲线的离心率等于（ ）A B C D8.如图，在棱长为1的正方体中，点分别是棱的中点，是椭圆内一点，若平面，则线段长度的取值范围是（ ）A B C D9.如图，是双曲线的左、右焦点，过的直线与双曲线的左右两支分别交于点若为等边三角形，则双曲线的离心率为（ ）A4 B C D10.设函数是函数的导函数，且，则的解集为（ ）A B C D二、填空题（本大题共5个小题，每小题5分，满分25分，将答案填在答题纸上）11.过抛物线的焦点作直线，交抛物线于两点，交其准线于点，若，则直线的斜率为_12.
3、已知是双曲线的左焦点，是双曲线右支上的动点的最小值为_13.若函数与有相同的最小值，则不等式的解集为_14.半径为的球中有一内接圆柱，当圆柱的侧面积最大时，圆柱的侧面积与球的表面积之比是_15.设，若，则的最大值为_三、解答题 （本大题共6小题，共75分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.） 16.（本题满分12分）已知命题函数的定义域为，命题关于的方程的两个实根均大于3，若“或”为真，“且”为假，求实数的取值范围17.（本题满分12分）如图，在梯形中，四边形为矩形，平面平面，（1）求证：平面；（2）点在线段上运动，设平面与平面所成二面角的平面角为，试求的取值范围18.（本题满分12分）
4、等差数列中，其前项和为，等比数列中各项均为正数，且，数列的公比（1）求数列与的通项公式；（2）证明：19.（本题满分12分）首届世界低碳经济大会在南昌召开，本届大会以“节能减排，绿色生态”为主题，某单位在国家科研部门的支持下，进行技术攻关，采用了新式艺，把二氧化碳转化为一种可利用的化工产品，已知该单位每月的处理量最少为300吨，最多为600吨，月处理成本（元）与月处理量（吨）之间的函数关系可近似地表示为，且每处理一吨二氧化碳得到可利用的化工产品价值为200元（1）该单位每月处理量为多少吨时，才能使每吨的平均处理成本最低？（2）该单位每月能否获利？如果获利，求出最大利润；如果不获利，则需要国家至
5、少补贴多少元才能使该单位不亏损？20.（本题满分13分）已知动圆与圆相切，且与圆相内切，记圆心的轨迹为曲线；设为曲线上的一个不在轴上的动点，为坐标原点，过点作的平行线交曲线于两个不同的点（1）求曲线的方程；（2）试探究和的比值能否为一个常数？若能，求出这个常数，若不能，请说明理由；（3）记的面积为，的面积为，令，求的最大值21.（本题满分14分）已知函数（1） 若曲线在和处的切线互相平行，求的值；（2） 求的单调区间；（3） 设，若对任意，均存在，使得，求的取值范围参考答案一、 选择题题号12345678910答案CDDBBCDCBB二、 填空题11 129 13 141：2 15三、解答题1
6、6解：若真，则，2分若真，令，则应满足4分6分又由题意可得真假或假真7分（1） 若真假，则，无解9分17.解：（1）证明：在梯形中，2分，4分平面平面，平面平面，平面，平面6分（2） 由（1）可建立分别以直线为轴，轴，轴，建立如图所示的空间直角坐标系，令，则，设为平面的一个法向量，由，联立得，联，则8分是平面的一个法向量，10分，当时，有最小值，当时，有最大值12分18.解：（1）由于，可得2分解得：或（舍去）3分4分5分6分（2）证明：由，得7分9分，11分故12分19解：（1）由题意可知，二氧化碳每吨的平均处理成本为4分当且仅当，即时等号成立，5分故该单位月处理量为300吨时，才能使每吨的
7、平均处理成本最低，最低成本为100元6分（2）获利，设该单位每月获利为元，则，9分因为，所以11分故该单位每月获利，最大利润为35000元12分20解：（1）设圆心的坐标为，半径为，由于动圆一圆相切，且与圆相内切，所以动圆与圆只能内切2分圆心的轨迹为以为焦点的椭圆，其中，故圆心的轨迹4分（2）设，直线，则直线，由可得：，4分由可得：，8分和的比值为一个常数，这个常数为9分（3），的面积的面积，到直线的距离，11分令，则，（当且仅当，即，亦即时取等号）当时，取最大值13分21解：1分（1）由题意知，即，解得，3分（2）4分当时，在区间上，；在区间上，故的单调递增区间是，单调递减区间是5分当时，在区间和上，；在区间上，故的单调递增区间是和，单调递减区间是6分当时，故的单调递增区间是，7分当时，在区间和上，；在区间上，故的单调递增区间是和，单调递减区间是8分（3）由题意知，在上有，9分由已知得，由（2）可知，当时，在上单调递增，故，所以，解得，故11分当时，在上单调递增；在的单调递减，故，由可知，所以，即，所以，13分所以，综上所述，14分