1、2016-2017学年广东省云浮市罗定市高三（上）11月月考数学试卷（理科）一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，满分60分1已知a，bR，i是虚数单位，若a+i与2bi互为共轭复数，则=（）A +iB +iCiDi2已知集合A=x|x22x30，B=x|log2（x1）2，则（RA）B=（）A（1，3）B（1，3）C（3，5）D（1，5）3已知随机变量x服从正态分布N（3，2），且P（x4）=0.84，则P（2x4）=（）A0.84B0.68C0.32D0.164我国古代数学名著数书九章中有“天池盆测雨”题：下雨时，用一个圆台形的天池盆接雨水天池盆盆口直径为28寸，盆底直径为12寸，盆深
2、18寸若盆中积水深9寸，则平地降雨量是（）寸（注：平地降雨量等于盆中积水体积除以盆口面积）A1B2C3D45执行如图所示的程序框图，输出S的值是（）A0BCD6已知sin（）cos=，则cos（2+）=（）ABCD7变量x，y满足约束条件，则x2+y2的取值范围是（）A0，9B5，+）CD8已知曲线C：y2=1的左右焦点分别为F1F2，过点F2的直线与双曲线C的右支相交于P，Q两点，且点P的横坐标为2，则PF1Q的周长为（）AB5CD49函数f（x）=Asin（x+）（其中）的图象如图所示，为了得到的图象，只需将f（x）的图象（）A向左平移个长度单位B向右平移个长度单位C向左平移个长度单位D向
3、右平移个长度单位10若曲线y=ex（a0）上任意一点切线的倾斜角的取值范围是，），则a=（）ABCD311某实心钢质工件的三视图如图所示，其中侧视图为等腰三角形，俯视图是一个半径为3的半圆，现将该工件切削加工成一个球体，则该球体的最大体积为（）ABCD12已知f（x）=|xex|，方程f2（x）+tf（x）+1=0（tR）有四个实数根，则t的取值范围为（）A（，+）B（，）C（，2）D（2，）二、填空题：本大题共4小题，每小题5分，满分20分13已知=（3，4），=3，则向量在向量的方向上的投影是14椭圆C的中心为原点，焦点在y轴上，离心率，椭圆上的点到焦点的最短距离为，则椭圆的标准方程为15
4、某台风中心位于A港口东南方向的B处，且台风中心与A港口的距离为400千米预计台风中心将以每小时40千米的速度向正北方向移动，离台风中心500千米的范围都会受到台风影响，则A港口从受到台风影响到影响结束，将持续小时16将三项式（x2+x+1）n展开，当n=0，1，2，3，时，得到以下等式：（x2+x+1）0=1（x2+x+1）1=x2+x+1（x2+x+1）2=x4+2x3+3x2+2x+1（x2+x+1）3=x6+3x5+6x4+7x3+6x2+3x+1观察多项式系数之间的关系，可以仿照杨辉三角构造如图所示的广义杨辉三角形，其构造方法为：第0行为1，以下各行每个数是它头上与左右两肩上3数（不足
5、3数的，缺少的数计为0）之和，第k行共有2k+1个数若在（1+ax）（x2+x+1）5的展开式中，x7项的系数为75，则实数a的值为三、解答题：本大题共5小题，满分60分17设数列an的前n项和为Sn，an是Sn和1的等差中项（）求数列an的通项公式；（）设数列bn=anlog2an+1，求bn的前n项和Tn18班主任为了对本班学生的考试成绩进行分折，决定从本班24名女同学，18名男同学中随机抽取一个容量为7的样本进行分析（I）如果按照性别比例分层抽样，可以得到多少个不同的样本？（写出算式即可，不必计算出结果）（）如果随机抽取的7名同学的数学，物理成绩（单位：分）对应如表：学生序号i 1 2
6、3 4 5 6 7 数学成绩xi 60 6570 7585 8790 物理成绩yi 7077 8085 9086 93（i）若规定85分以上（包括85分）为优秀，从这7名同学中抽取3名同学，记3名同学中数学和物理成绩均为优秀的人数为，求的分布列和数学期望；（ii）根据上表数据，求物理成绩y关于数学成绩x的线性回归方程（系数精确到0.01）；若班上某位同学的数学成绩为96分，预测该同学的物理成绩为多少分？附：回归直线的方程是：，其中b=，a= 7683 81252619如图，已知四棱锥PABCD的底面ABCD为菱形，且ABC=60，AB=PC=2，PA=PB=（）求证：平面PAB平面ABCD；（
7、）设H是PB上的动点，求CH与平面PAB所成最大角的正切值20过抛物线C：y2=2px（p0）的焦点F的直线交抛物线于A，B两点，且线段AB的最小长度为4（）求抛物线C的方程；（）已知点D的坐标为（4，0），若过D和B两点的直线交抛物线C的准线于P点，证明直线AP与x轴交于一定点并求出该定点坐标21函数f（x）=lnx，g（x）=x2xm，（）若函数F（x）=f（x）g（x），求函数F（x）的极值（）若f（x）+g（x）x2（x2）ex在x（0，3）恒成立，求实数m的取值范围第22至23题为选做题，请任选其中一题作答，答题前请将所选的题号填在答题卡相应位置，并用铅笔将相应的题号框涂黑，同时选做
8、两题者，以选做的第一题给分选修4-4：坐标系与参数方程坐标22在直角坐标系xOy中，以O为极点，x轴正半轴为极轴建立极坐标系，且两个坐标系取相同的单位长度，已知圆C1：=2cos，曲线（t为参数）（）求圆C1和曲线C2的普通方程；（）过圆C1的圆心C1且倾斜角为的直线l交曲线C2于A，B两点，求圆心C1到A，B两点的距离之积选修4-5：不等式选讲23已知a，b，c（0，+），且a+b+c=1，求证：（1）（1）（1）（1）8； （2）+2016-2017学年广东省云浮市罗定市高三（上）11月月考数学试卷（理科）参考答案与试题解析一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，满分60分1已知a，bR
9、，i是虚数单位，若a+i与2bi互为共轭复数，则=（）A +iB +iCiDi【考点】复数代数形式的乘除运算【分析】a+i与2bi互为共轭复数，可得a=2，1=（b），解得a，b再利用复数的运算法则即可得出【解答】解：a+i与2bi互为共轭复数，a=2，1=（b），解得a=2，b=1则=，故选：C2已知集合A=x|x22x30，B=x|log2（x1）2，则（RA）B=（）A（1，3）B（1，3）C（3，5）D（1，5）【考点】交、并、补集的混合运算【分析】由已知可得RA=x|x22x30，解不等式求出RA，和集合B，结合集合交集运算的定义，可得答案【解答】解：集合A=x|x22x30，RA=
10、x|x22x30=（1，3），又B=x|log2（x1）2=x|0x14=（1，5），（RA）B=（1，3），故选：A3已知随机变量x服从正态分布N（3，2），且P（x4）=0.84，则P（2x4）=（）A0.84B0.68C0.32D0.16【考点】正态分布曲线的特点及曲线所表示的意义【分析】根据对称性，由P（x4）=0.84的概率可求出P（x2）=P（x4）=0.16，即可求出P（2x4）【解答】解：P（x4）=0.84，P（x4）=10.84=0.16P（x2）=P（x4）=0.16，P（2x4）=P（x4）P（x2）=0.840.16=0.68故选B4我国古代数学名著数书九章中有“天池
11、盆测雨”题：下雨时，用一个圆台形的天池盆接雨水天池盆盆口直径为28寸，盆底直径为12寸，盆深18寸若盆中积水深9寸，则平地降雨量是（）寸（注：平地降雨量等于盆中积水体积除以盆口面积）A1B2C3D4【考点】旋转体（圆柱、圆锥、圆台）；棱柱、棱锥、棱台的体积【分析】由题意求得盆中水的上地面半径，代入圆台体积公式求得水的体积，除以盆口面积得答案【解答】解：如图，由题意可知，天池盆上底面半径为14寸，下底面半径为6寸，高为18寸积水深9寸，水面半径为（14+6）=10寸，则盆中水的体积为9（62+102+610）=588（立方寸）平地降雨量等于=3（寸）故选：C5执行如图所示的程序框图，输出S的值是
12、（）A0BCD【考点】程序框图【分析】模拟执行程序，可得程序框图的功能是计算并输出S=tan+tan+tan+tan+tan的值，利用正切函数的周期性即可计算求值【解答】解：模拟执行程序，可得程序框图的功能是计算并输出S=tan+tan+tan+tan+tan的值，由于：tan+tan+tan=0，kZ，且：2016=3672，所以：S=（tan+tan+tan）+（tan+tan+tan）=0+0+0=0故选：A6已知sin（）cos=，则cos（2+）=（）ABCD【考点】两角和与差的正弦函数；两角和与差的余弦函数【分析】由条件利用两角和差的正弦公式求得sin（+）=，再利用二倍角的余弦公
13、式求得cos（2+）的值【解答】解：sin（）cos=cossincos=sin（+）=，sin（+）=，则cos（2+）=12sin2（+）=，故选：C7变量x，y满足约束条件，则x2+y2的取值范围是（）A0，9B5，+）CD【考点】简单线性规划【分析】作平面区域，且x2+y2的几何意义是点（0，0）与点（x，y）的两点的距离的平方，从而利用数形结合求解【解答】解：作约束条件的平面区域如下，x2+y2的几何意义是点（0，0）与点（x，y）的两点的距离的平方，且大圆的半径为3，小圆的半径为0，故0x2+y29，故选：A8已知曲线C：y2=1的左右焦点分别为F1F2，过点F2的直线与双曲线C的
14、右支相交于P，Q两点，且点P的横坐标为2，则PF1Q的周长为（）AB5CD4【考点】双曲线的简单性质【分析】求出双曲线的a，b，c，求得焦点，判断三角形PF1Q为等腰三角形，PQx轴，令x=2，求得|PQ|，再由勾股定理，求得|PF1|，即可求得周长【解答】解：双曲线C：y2=1的a=，b=1，c=2，则F1（2，0），F2（2，0），由于点P的横坐标为2，则PQx轴，令x=2则有y2=1=，即y=即|PF2|=，|PF1|=则三角形PF1Q的周长为|PF1|+|QF1|+|PQ|=+=故选：A9函数f（x）=Asin（x+）（其中）的图象如图所示，为了得到的图象，只需将f（x）的图象（）A向
15、左平移个长度单位B向右平移个长度单位C向左平移个长度单位D向右平移个长度单位【考点】函数y=Asin（x+）的图象变换【分析】根据图象求出的值，再由“左加右减”法则判断出函数图象平移的方向和单位长度【解答】解：由函数图象可得：A的值为1，周期T=4（）=，=2，又函数的图象的第二个点是（，0），2+=，于是=，则f（x）=sin（2x+）=sin2（x+），g（x）=cos（2x）=sin2x，为了得到g（x）=cos（2x）的图象，只需将f（x）的图象向右平移个单位即可故选：D10若曲线y=ex（a0）上任意一点切线的倾斜角的取值范围是，），则a=（）ABCD3【考点】利用导数研究曲线上某点
16、切线方程【分析】求导f（x）=ex+，从而由f（x）=ex+，求解【解答】解：f（x）=ex+，f（x）=ex在任一点处的切线的倾斜角的取值范围是，），f（x）=ex+，f（x）min，而由a0知，ex+2；（当且仅当ex=时，等号成立），故2=，故a=故选：C11某实心钢质工件的三视图如图所示，其中侧视图为等腰三角形，俯视图是一个半径为3的半圆，现将该工件切削加工成一个球体，则该球体的最大体积为（）ABCD【考点】由三视图求面积、体积【分析】由三视图知几何体为半个圆锥，根据三视图的数据求底面面积与高，求出其轴截面的内切球的半径，代入公式计算即可【解答】解：由题目所给三视图可得，该几何体为圆锥
17、的一半，圆锥的底面半径为3，高为4，所以母线长为5，设其轴截面的内切球的半径为r，则，r=1，该球体的最大体积为，故选A12已知f（x）=|xex|，方程f2（x）+tf（x）+1=0（tR）有四个实数根，则t的取值范围为（）A（，+）B（，）C（，2）D（2，）【考点】利用导数研究函数的单调性；函数的零点与方程根的关系【分析】化简f（x）=|xex|=，从而求导以确定函数的单调性，从而作出函数的简图，从而解得【解答】解：f（x）=|xex|=，易知f（x）在0，+）上是增函数，当x（，0）时，f（x）=xex，f（x）=ex（x+1），故f（x）在（，1）上是增函数，在（1，0）上是减函数；
18、作其图象如下，且f（1）=；故若方程f2（x）+tf（x）+1=0（tR）有四个实数根，则方程x2+tx+1=0（tR）有两个不同的实根，且x1（0，），x2（，+）0，故，或1=0解得，t（，），故选：B二、填空题：本大题共4小题，每小题5分，满分20分13已知=（3，4），=3，则向量在向量的方向上的投影是【考点】平面向量数量积的运算【分析】根据平面向量投影的定义，利用数量积与模长计算即可【解答】解： =（3，4），=3，|=5，向量在向量的方向上的投影是|cos，=|=故答案为：14椭圆C的中心为原点，焦点在y轴上，离心率，椭圆上的点到焦点的最短距离为，则椭圆的标准方程为=1【考点】椭圆
19、的标准方程【分析】根据题意建立关于a、c的方程组，解出a=，c=1，从而得到b2=a2c2=1，可得椭圆的方程【解答】解：，椭圆上的点到焦点的最短距离为，=，ac=1，解得a=，c=1，b2=a2c2=1，由此可得椭圆的方程为=1，故答案为=115某台风中心位于A港口东南方向的B处，且台风中心与A港口的距离为400千米预计台风中心将以每小时40千米的速度向正北方向移动，离台风中心500千米的范围都会受到台风影响，则A港口从受到台风影响到影响结束，将持续15小时【考点】解三角形的实际应用【分析】过A作AC垂直BC，垂足为点C，则BC=AC=400千米，在BC线上取点D使得AD=500千米进而根据
20、勾股定理求得DC，进而乘以2，再除以速度即是 A港口受到台风影响的时间【解答】解：由题意AB=400千米，过A作AC垂直BC，垂足为点C，则BC=AC=400千米台风中心500千米的范围都会受到台风影响 所以在BC线上取点D使得AD=500千米 因为AC=400千米，AD=500千米DCA是直角 根据勾股定理 DC=300千米 因为500千米的范围内都会受到台风影响所以影响距离是3002=600千米 T=15（小时）故答案为：1516将三项式（x2+x+1）n展开，当n=0，1，2，3，时，得到以下等式：（x2+x+1）0=1（x2+x+1）1=x2+x+1（x2+x+1）2=x4+2x3+3
21、x2+2x+1（x2+x+1）3=x6+3x5+6x4+7x3+6x2+3x+1观察多项式系数之间的关系，可以仿照杨辉三角构造如图所示的广义杨辉三角形，其构造方法为：第0行为1，以下各行每个数是它头上与左右两肩上3数（不足3数的，缺少的数计为0）之和，第k行共有2k+1个数若在（1+ax）（x2+x+1）5的展开式中，x7项的系数为75，则实数a的值为1【考点】归纳推理【分析】由题意可得广义杨辉三角形第5行为1，5，15，30，45，51，45，30，15，5，1，所以（1+ax）（x2+x+1）5的展开式中，x7项的系数为30+45a=75，即可求出实数a的值【解答】解：由题意可得广义杨辉三
22、角形第5行为1，5，15，30，45，51，45，30，15，5，1，所以（1+ax）（x2+x+1）5的展开式中，x7项的系数为30+45a=75，所以a=1故答案为：1三、解答题：本大题共5小题，满分60分17设数列an的前n项和为Sn，an是Sn和1的等差中项（）求数列an的通项公式；（）设数列bn=anlog2an+1，求bn的前n项和Tn【考点】数列的求和；数列递推式【分析】（）通过等差中项的性质可知2an=Sn+1，并与2an1=Sn1+1（n2）作差，进而整理可知数列an是首项为1、公比为2的等比数列，计算即得结论；（）求解得出bn=anlog2an=n2n1，利用错位相减法求解
23、数列的和【解答】解：（）an是Sn和1的等差中项，2an=Sn+1，2an1=Sn1+1（n2），两式相减得：2an2an1=an，即an=2an1，又2a1=S1+1，即a1=1，数列an是首项为1、公比为2的等比数列，an=2n1；（）由（）知，an=2n1bn=anlog2an+1=n2n1Tn=120+221+322+（n1）2n2+n2n1，2Tn=121+222+323+（n1）2n1+n2n，得出：Tn=1+（21+22+23+2n1）n2n=1+n2n=（n）2n，Tn=（n）2n18班主任为了对本班学生的考试成绩进行分折，决定从本班24名女同学，18名男同学中随机抽取一个容量
24、为7的样本进行分析（I）如果按照性别比例分层抽样，可以得到多少个不同的样本？（写出算式即可，不必计算出结果）（）如果随机抽取的7名同学的数学，物理成绩（单位：分）对应如表：学生序号i 1 2 3 4 5 6 7 数学成绩xi 60 6570 7585 8790 物理成绩yi 7077 8085 9086 93（i）若规定85分以上（包括85分）为优秀，从这7名同学中抽取3名同学，记3名同学中数学和物理成绩均为优秀的人数为，求的分布列和数学期望；（ii）根据上表数据，求物理成绩y关于数学成绩x的线性回归方程（系数精确到0.01）；若班上某位同学的数学成绩为96分，预测该同学的物理成绩为多少分？附
25、：回归直线的方程是：，其中b=，a= 7683 812526【考点】离散型随机变量的期望与方差；线性回归方程；离散型随机变量及其分布列【分析】（）根据分层抽样的定义建立比例关系即可得到结论（）（i）的取值为0，1，2，3，计算出相应的概率，即可得的分布列和数学期望（ii）根据条件求出线性回归方程，进行求解即可【解答】（）解：依据分层抽样的方法，24名女同学中应抽取的人数为名，18名男同学中应抽取的人数为18=3名，故不同的样本的个数为（） （）解：7名同学中数学和物理成绩均为优秀的人数为3名，的取值为0，1，2，3P（=0）=，P（=1）=，P（=2）=，P（=3）=，的分布列为0123PE=
26、0+1+2+3=（）解：b=0.65，a=830.6575=33.60线性回归方程为=0.65x+33.60当x=96时， =0.6596+33.60=96可预测该同学的物理成绩为96分19如图，已知四棱锥PABCD的底面ABCD为菱形，且ABC=60，AB=PC=2，PA=PB=（）求证：平面PAB平面ABCD；（）设H是PB上的动点，求CH与平面PAB所成最大角的正切值【考点】直线与平面所成的角；平面与平面垂直的判定【分析】（I）取AB中点O，连结PO、CO，由PA=PB可得POAB，利用特殊三角形的性质计算PO，OC，PC，可证POOC，于是PO平面ABCD，故平面PAB平面ABCD；（
27、II）由面面垂直的性质可知CHO为CH与平面PAB所成的角，故当OH最小值，tanCHO=取得最大值【解答】（）证明：取AB中点O，连结PO、CO，PA=PB=，AB=2，PAB为等腰直角三角形，PO=1，POAB，AB=BC=2，ABC=60，ABC为等边三角形，又PC=2，PO2+CO2=PC2，POCO，又ABCO=O，AB平面ABCD，CO平面ABCD，PO平面ABC，又PO平面PAB，平面PAB平面ABCD（）解：平面PAB平面ABCD，平面PAB平面ABCD=AB，OCAB，OC平面ABCD，OC平面PAB，CHO为CH与平面PAB所成的角tanCHO=，当OHPB时，OH取得最小
28、值，此时tanCHO取得最大值当OHPB时，OH=tanCHO=20过抛物线C：y2=2px（p0）的焦点F的直线交抛物线于A，B两点，且线段AB的最小长度为4（）求抛物线C的方程；（）已知点D的坐标为（4，0），若过D和B两点的直线交抛物线C的准线于P点，证明直线AP与x轴交于一定点并求出该定点坐标【考点】抛物线的简单性质【分析】（）由题意2p=4，求出p，即可求抛物线C的方程；（）设A（x1，y1），B（x2，y2），设直线AB的方程为x=my+1，联立方程组，表示出直线BD的方程，与抛物线C的准线方程构成方程组，解得P的坐标，求出直线AP的斜率，得到直线AP的方程，求出交点坐标即可【解答
29、】解：（）由题意2p=4，p=2，抛物线C的方程为y2=4x；（）证明：设A（x1，y1），B（x2，y2），设直线AB的方程为x=my+1与抛物线的方程联立，得y24my4=0，y1y2=4，依题意，直线BD与x轴不垂直，x2=4直线BD的方程可表示为，y=（x4）抛物线C的准线方程为，x=1由，联立方程组可求得P的坐标为（1，）P的坐标可化为（1，），kAP=，直线AP的方程为yy1=（xx1），令y=0，可得x=x1=直线AP与x轴交于定点（，0）21函数f（x）=lnx，g（x）=x2xm，（）若函数F（x）=f（x）g（x），求函数F（x）的极值（）若f（x）+g（x）x2（x2）e
30、x在x（0，3）恒成立，求实数m的取值范围【考点】利用导数求闭区间上函数的最值；利用导数研究函数的极值【分析】（）求出F（x）的导数，注意定义域，列表表示F（x）和导数的关系，以及函数的单调区间，即可得到极大值，无极小值；（）f（x）+g（x）x2（x2）ex在（0，3）恒成立，整理为：m（x2）ex+lnxx在x（0，3）恒成立；设h（x）=（x2）ex+lnxx，运用导数求得h（x）在（0，3）的最大值，即可得到m的取值范围【解答】解：（）F（x）=lnxx2+x+m，定义域（0，+），F（x）=2x+1=，F（x）=0，可得x=1，x（0，1）1（1，+）F（x）+0F（x）递增极大值递
31、减则F（x）的极大值为F（1）=m，没有极小值；（）f（x）+g（x）x2（x2）ex在（0，3）恒成立；整理为：m（x2）ex+lnxx在x（0，3）恒成立；设h（x）=（x2）ex+lnxx，则h（x）=（x1）（ex），x1时，x10，且exe，1，即h（x）0； 0x1时，x10，设u=ex，u=ex+0，u在（0，1）递增，x0时，+，即u0，x=1时，u=e10，即x0（0，1），使得u0=0，x（0，x0）时，u0；x（x0，1）时，u0，x（0，x0）时，h（x）0；x（x0，1）时，h（x）0函数h（x）在（0，x0）递增，（x0，1）递减，（1，3）递增，h（x0）=（x0
32、2）+lnx0x0=（x02）2x0=12x0，由x0（0，1），2，h（x0）=12x012x01，h（3）=e3+ln330，即x（0，3）时，h（x）h（3），即mh（3），则实数m的取值范围是（e3+ln33，+）第22至23题为选做题，请任选其中一题作答，答题前请将所选的题号填在答题卡相应位置，并用铅笔将相应的题号框涂黑，同时选做两题者，以选做的第一题给分选修4-4：坐标系与参数方程坐标22在直角坐标系xOy中，以O为极点，x轴正半轴为极轴建立极坐标系，且两个坐标系取相同的单位长度，已知圆C1：=2cos，曲线（t为参数）（）求圆C1和曲线C2的普通方程；（）过圆C1的圆心C1且倾斜
33、角为的直线l交曲线C2于A，B两点，求圆心C1到A，B两点的距离之积【考点】参数方程化成普通方程【分析】（）圆C1：=2cos，即2=2cos，利用互化公式可得圆C1的普通方程由曲线（t为参数），利用平方关系可得：曲线C2的普通方程（）由（）可知：C1（1，0）则直线l的参数方程代入=1，有，圆心C1到A，B两点的距离之积为|t1t2|【解答】解：（）圆C1：=2cos，即2=2cos，直角坐标方程为（x+1）2+y2=1，曲线（t为参数），消去参数可得=1（）过圆C1的圆心C1且倾斜角为的直线l的方程为y=（x+1），则直线l的参数方程为：（t为参数），将其代入=1，有，所以圆心C1到A，B两点的距离之积为|t1t2|=选修4-5：不等式选讲23已知a，b，c（0，+），且a+b+c=1，求证：（1）（1）（1）（1）8； （2）+【考点】不等式的证明【分析】利用基本不等式，即可证明结论【解答】证明：（1）a，b，c（0，+），a+b2，b+c2，c+a2，（1）（1）（1）=8（2）a，b，c（0，+），a+b2，b+c2，c+a2，2（a+b+c）2+2+2，两边同加a+b+c得3（a+b+c）a+b+c+2+2+2=（+）2又a+b+c=1，（+）23，+2017年4月19日