1、专题四 立体几何第1讲 几何体的表面积与体积、线面位置关系的判断 高考总复习大二轮 数 学(新高考)考情考向高考导航1“立体几何”在高考中一般会以“两小一大”或“一小一大”的命题形式出现，这“两小”或“一小”主要考查三视图，与球有关的组合体、几何体的表面积与体积，空间点、线、面的位置关系(特别是平行与垂直)2考查一个小题时，本小题一般会出现在第 67 题的位置上，难度中档考查两个小题时，其中一个小题难度中低档，另一小题难度稍高，一般会出现在第 911 题的位置上，有时也出现在压轴小题的位置上真题体验1(全国卷)体积为 8 的正方体的顶点都在同一球面上，则该球的表面积为()A12 B.323 C
2、8 D4解析：A 由正方体的体积为 8 可知，正方体的棱长 a2.又正方体的体对角线是其外接球的一条直径，即 2R 3a(R 为正方体外接球的半径)，所以 R 3，故所求球的表面积 S4R212.故选A.2(2018全国卷)已知圆柱的上、下底面的中心分别为 O1，O2，过直线 O1O2 的平面截该圆柱所得的截面是面积为 8 的正方形，则该圆柱的表面积为()A12 2 B12C8 2 D10解析：B 圆柱的轴截面是面积为 8 的正方形，设圆柱的底面半径为 R，高为 h，则(2R)28，R 2，h2R2 2.该圆柱的表面积为 2R22Rh2(2)22 22 212.3(2019江苏卷)如图，长方体
3、 ABCD-A1B1C1D1 的体积是 120，E 为 CC1 的中点，则三棱锥 EBCD 的体积是_解析：本题蕴含“整体和局部”的对立统一规律在几何体面积或体积的计算问题中，往往需要注意理清整体和局部的关系，灵活利用“割”与“补”的方法解题因为长方体 ABCDA1B1C1D1 的体积为 120，所以 ABBCCC1120，因为 E 为 CC1 的中点，所以 CE12CC1，由长方体的性质知 CC1底面 ABCD，所以 CE 是三棱锥 EBCD 的底面 BCD 上的高，所以三棱锥 EBCD 的体积 V1312ABBCCE1312ABBC12CC1 11212010.答案：104(2018全国卷
4、)已知圆锥的顶点为 S，母线 SA，SB 互相垂直，SA 与圆锥底面所成角为 30，若SAB 的面积为 8，则该圆锥的体积为_解析：如图SAO30，设圆锥的底面圆半径为 R，则 SORtan 30 33 R，SARcos 302 33 R，又SASB，SAB 的面积 S12SASB122 33 R 28.R2 3，圆锥的体积为 V13R2SO 39R3 39(2 3)38.答案：8主干整合1棱柱、棱锥(1)棱柱的性质侧棱都相等，侧面是平行四边形；两个底面与平行于底面的截面是全等的多边形；过不相邻的两条侧棱的截面是平行四边形；直棱柱的侧棱长与高相等且侧面与对角面是矩形(2)正棱锥的性质侧棱相等，
5、侧面是全等的等腰三角形，斜高(侧面等腰三角形底边上的高)相等；棱锥的高、斜高和斜高在底面内的射影构成一个直角三角形；棱锥的高、侧棱和侧棱在底面内的射影也构成一个直角三角形；某侧面上的斜高、侧棱及底面边长的一半也构成一个直角三角形；侧棱在底面内的射影、斜高在底面内的射影及底面边长的一半也构成一个直角三角形2几何体与球的切接问题(1)解决球的内接长方体、正方体、正四棱柱等问题的关键是把握球的直径即是棱柱的体对角线(2)解决柱、锥的内切球问题的关键是找准切点位置，化归为平面几何问题3直线、平面平行的判定及其性质(1)线面平行的判定定理：a，b，aba.(2)线面平行的性质定理：a，a，bab.(3)
6、面面平行的判定定理：a，b，abP，a，b.(4)面面平行的性质定理：，a，bab.4直线、平面垂直的判定及其性质(1)线面垂直的判定定理：m，n，mnP，lm，lnl.(2)线面垂直的性质定理：a，bab.(3)面面垂直的判定定理：a，a.(4)面面垂直的性质定理：，l，a，ala.热点一 空间几何体的表面积与体积直观想象素养直观想象三视图中体现的核心素养直观想象即通过几何直观和空间想象感知几何体的形状与变化本例通过几何体的三视图直观感知几何体的形状与相关度量，想象几何体的结构特征.例 1(1)(2019全国卷)学生到工厂劳动实践，利用 3D 打印技术制作模型如图，该模型为长方体 ABCDA
7、1B1C1D1，挖去四棱锥 OEFGH 后所得的几何体其中 O 为长方体的中心，E，F，G，H 分别为所在棱的中点，ABBC6 cm，AA14 cm.3D 打印所用原料密度为 0.9 g/cm3，不考虑打印损耗，制作该模型所需原料的质量为_g.解析 由题知挖去的四棱锥的底面是一个菱形，对角线长分别为 6 cm 和 4 cm，故 V 挖去的四棱锥131246312(cm3)又 V 长方体664144(cm3)，所以模型的体积为V 长方体V 挖去的四棱锥14412132(cm3)，所以制作该模型所需原料的质量为 1320.9118.8(g)答案 118.8(2)如图，四棱锥 PABCD 的底面 A
8、BCD 为平行四边形，NB2PN，则三棱锥 NPAC 与三棱锥 DPAC 的体积比为()A12 B18C16 D13解析 D 通解：设点 P，N 在平面 ABCD 内的投影分别为点P，N，则 PP平面 ABCD，NN平面 ABCD，所以 PPNN，则在BPP中，由 BN2PN 得NNPP23.V 三棱锥 NPACV 三棱锥 PABCV 三棱锥 NABC13SABCPP13SABCNN13SABC(PPNN)13SABC13PP19SABCPP，V 三棱锥 DPACV 三棱锥 PACD13SACDPP，又因为四边形 ABCD 是平行四边形，所以 SABCSACD，所以V三棱锥NPACV三棱锥DP
9、AC13.优解：两三棱锥同底，体积比等于点 N 与点 D 到平面 PAC 的距离比，点 D 到面 PAC 的距离等于点 B 到面 PAC 的距离因为距离比为 13，故体积比也为 13.求解几何体的表面积及体积的技巧(1)求几何体的表面积及体积问题，可以多角度、多方位地考虑，熟记公式是关键所在求三棱锥的体积，等体积转化是常用的方法，转换原则是其高易求，底面放在已知几何体的某一面上(2)求不规则几何体的体积，常用分割或补形的思想，将不规则几何体转化为规则几何体以易于求解(1)如图所示，在直三棱柱 A1B1C1ABC 中，ACBC，AC4，BCCC12.若用平行于三棱柱 A1B1C1ABC 的某一侧
10、面的平面去截此三棱柱，使得到的两个几何体能够拼接成长方体，则长方体表面积的最小值为_解析：由题意知，拼接后的长方体有两种情形：一是长方体的高为 2，底面是边长为 2 的正方形；二是长方体的高为 2，底面是长为4，宽为 1 的矩形所以其表面积分别为 24,28，故长方体表面积的最小值为 24.答案：24(2)(2019天津卷)已知四棱锥的底面是边长为 2的正方形，侧棱长均为 5.若圆柱的一个底面的圆周经过四棱锥四条侧棱的中点，另一 个 底 面 的 圆 心 为 四 棱 锥 底 面 的 中 心，则 该 圆 柱 的 体 积 为_解析：圆柱的底面半径是棱锥底面对角线长度的一半、不是底边棱长的一半四棱锥的
11、高为 512，故圆柱的高为 1，圆柱的底面半径为12，故其体积为 12214.答案：4热点二 与球有关的组合体例 2(1)(2019全国卷)已知三棱锥 PABC 的四个顶点在球O 的球面上，PAPBPC，ABC 是边长为 2 的正三角形，E，F分别是 PA，AB 的中点，CEF90，则球 O 的体积为()A8 6 B4 6C2 6 D.6审题指导 由CEF90，可得 EC，利用余弦定理可求 PAPBPC 2PAPBPC，利用外接球的直径是由该几何体补成的正方体的体对角线求 R，可得球体积解析 D 设 PAPBPC2a，则 EFa，FC 3，EC23a2.在PEC 中，cosPECa23a22a
12、22a 3a2.在AEC 中，cosAECa23a242a 3a2.PEC 与AEC 互补，34a21，a 22，故 PAPBPC 2.又ABBCAC2，PAPBPC，外接球的直径 2R 22 22 22 6，R 62，V43R343623 6.故选 D.(2)(全国卷)在封闭的直三棱柱 ABCA1B1C1 内有一个体积为V 的球若 ABBC，AB6，BC8，AA13，则 V 的最大值是()A4 B.92C6 D.323解析 B 由 ABBC，AB6，BC8，得 AC10.要使球的体积 V 最大，则球与直三棱柱的部分面相切若球与三个侧面相切，设底面ABC 的内切圆的半径为 r，则126812(
13、6810)r，所以 r2,2r43，不合题意球与三棱柱的上、下底面相切时，球的半径 R 最大由 2R3，即 R32.故球的最大体积 V43R392.故选 B.多面体、旋转体与球接、切问题的求解策略(1)过球心及多面体中的特殊点(一般为接、切点)或线作截面，把空间问题转化为平面问题(2)利用平面几何知识寻找几何体元素间的关系，或只画内切、外接的几何体的直观图，确定球心的位置，弄清球的半径(直径)与该几何体已知量的关系，列方程(组)求解(3)若球面上四点 P，A，B，C 构成的三条线段 PA，PB，PC 两两互相垂直，且 PAa，PBb，PCc，一般把有关元素“补形”成为一个球内接长方体，用 4R
14、2a2b2c2 求解(2017全国卷)已知三棱锥SABC的所有顶点都在球O的球面上，SC 是球 O 的直径，若平面 SCA平面 SCB，SAAC，SBBC，三棱锥 SABC 的体积为 9，则球 O 的表面积为_解析：取 SC 的中点 O，连接 OA，OB(图略)，因为 SAAC，SBBC，所以 OASC，OBSC，因为平面 SCA平面 SCB，所以 OA平面 SBC，设 OAr，VASBC13SSBCOA13122rrr13r3，所以13r39r3，所以球的表面积为 S4r236.答案：36热点三 空间线面位置关系的判断例 3(1)(2019武昌三模)已知 m，n 为异面直线，m平面，n平面.
15、直线 l 满足 lm，ln，l，l，则()A 且 lB 且 lC 与 相交，且交线垂直于 lD 与 相交，且交线平行于 l解析 D 通解：若，则 mn，这与 m、n 为异面直线矛盾，所以 A 不正确将已知条件转化到正方体中，易知 与 不一定垂直，但 与 的交线一定平行于 l，从而排除 B、C.故选 D.优解：构造图形如图所示，知 D 项正确(2)(2019北京卷)已知 l，m 是平面 外的两条不同直线给出下列三个论断：lm；m；l.以其中的两个论断作为条件，余下的一个论断作为结论，写出一个正确的命题：_.解析 已知 l，m 是平面 外的两条不同直线，由lm 与m，不能推出l，因为 l 可以与
16、平行，也可以相交不垂直；由lm 与l 能推出m；由m 与l 可以推出lm.故正确的命题是或.答案 或判断与空间位置关系有关的命题真假的方法1借助空间线面平行、面面平行、线面垂直、面面垂直的判定定理和性质定理进行判断2借助空间几何模型，如从长方体模型、四面体模型等模型中观察线面位置关系，结合有关定理，进行判断(1)(2020江西八校联考)设有两条直线 m，n 和三个平面，.给出下面四个命题：m，nmn，n；，m，mm；，mm；，.其中正确命题的个数是()A1 B2C3 D4解析：B 中：m，nm 不能得出 n，n.因为 n可能在 或 内，故错误；，m，m，根据直线与平面平行的判定，可得 m，故正确；，m，根据面面平行的性质定理可得 m，故正确；，则 与 可能平行也可能相交，故错误(2)(2019大庆二模)已知，是两个不同的平面，l，m，n 是不同的直线，下列命题不正确的是()A若 lm，ln，m，n，则 lB若 lm，l，m，则 lC若，l，m，ml，则 mD若，m，n，是 mn解析：A 若 lm，ln，m，n，不能推出 l，缺少条件 m 与 n 相交，故不正确