1、四川省棠湖中学2019-2020学年高二数学下学期第一次在线月考试题 理（含解析）注意事项：1答卷前，考生务必将自己的姓名和准考证号填写在答题卡上.2回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡对应题目的答案标号涂黑.如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其它答案标号.回答非选择题时，将答案写在答题卡上.写在本试卷上无效.第I卷 选择题（60分）一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分.在每小题给的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1.直线的倾斜角是（）A. B. C. D. 【答案】C【解析】【分析】根据直线方程得出直线的斜率，进而可得出直线的倾斜角.【详解】直线的斜率为，该直线的倾
2、斜角为.故选：C.【点睛】本题考查直线倾斜角的计算，求出直线的斜率是关键，考查计算能力，属于基础题.2.命题“所有奇数的立方是奇数”的否定是（ ）A. 所有奇数的立方不是奇数B. 不存在一个奇数，它立方是偶数C. 存在一个奇数，它的立方是偶数D. 不存在一个奇数，它的立方是奇数【答案】C【解析】【分析】利用全称命题的否定解答即可.【详解】由于命题“所有奇数的立方是奇数”是一个全称命题，所以命题“所有奇数的立方是奇数”的否定是“存在一个奇数，它的立方是偶数”.故选：C【点睛】本题主要考查全称命题的否定，意在考查学生对这些知识的理解掌握水平.3.椭圆的焦距为 （ ）A. 5B. 3C. 4D. 8
3、【答案】D【解析】因为根据的方程可知，a=5,b=3,c=4,故焦距为2c=8，选 D4.命题“，”的否定是（ ）A. ，B. ，C. ，D. ，【答案】C【解析】【分析】根据全称命题的否定为特称命题，写出答案即可.【详解】命题“，”的否定是，.故选：C.【点睛】全程命题：，它的否定：，.5.直线被圆截得的弦长为（ ）A. B. C. D. 【答案】C【解析】【分析】由圆的方程求出圆心和半径，求出圆心到直线的距离d，再根据弦长公式求得弦长.【详解】解：由圆，可得圆心，半径为，可得圆心到直线的距离，故弦长为，故选：C.【点睛】本题主要考查直线与圆相交的性质，点到直线的距离公式，弦长公式的应用，属
4、于中档题.6.已知直线和平面内两条直线，则“”是“且”的（ ）A. 充要条件B. 必要不充分条件C. 充分不必要条件D. 既不充分也不必要条件【答案】C【解析】【分析】根据线面垂直的判定与性质分别检验命题的充分性与必要性，可得答案.【详解】解：由直线和平面内的两条直线，可得：充分性：因为“”，所以必垂直于平面内的所以直线，所以“且”；必要性：由“且”，若，则不一定垂直与平面，综上可得, “”是“且”的充分不必要条件，故选:C.【点睛】本题主要考查线面垂直判定与性质和充要条件的判断，属于基础题型.7.已知直线与平面，则下列说法正确的是（ ）A. 若，则B. 若，则C. 若，则D. 若，则【答案】
5、D【解析】【分析】结合空间中点、线、面的位置关系，对四个选项逐个分析，即可选出答案.【详解】A、B选项中，直线都可以在平面内，故错误；C选项中，内要有两条相交直线均与平行，才有，故错误；D选项中，内有一条直线与垂直，则.故选：D.【点睛】本题考查点、线、面的位置关系，考查学生的空间想象能力，属于基础题.8.已知分别为直线与上的两个动点，则线段的长度的最小值为（ ）A. B. 1C. D. 2【答案】B【解析】【分析】易得直线与平行，当的长度为两平行线间的距离时最短，利用两平行线间的距离公式计算可得答案.详解】解：由直线与，可得直线与平行，当的长度为两平行线间的距离时，线段的长度的最小值，可得与
6、的距离为：，即线段的长度的最小值为1，故选：B.【点睛】本题主要考查两平行线间的距离公式，相对简单.9.不等式组表示的平面区域的面积为（）A. B. C. D. 【答案】A【解析】【分析】作出不等式组表示的平面区域为直角三角形及其内部的部分，求得、各个点的坐标，可得直角三角形的面积【详解】不等式组表示的平面区域为直角三角形及其内部的部分，联立，解得，可得点，同理可得，点到直线的距离为，的面积为.因此，不等式组表示的平面区域的面积为.故选：A.【点睛】本题主要考查二元一次不等式组表示平面区域，体现了数形结合思想的应用，属于基础题10.甲、乙两人在一次射击比赛中各射靶5次，两人成绩的条形统计图如图
7、所示，则以下四种说法中正确的个数为（ ） 甲的成绩的平均数等于乙的成绩的平均数 甲的成绩的中位数大于乙的成绩的中位数甲的成绩的方差小于乙的成绩的方差 甲的成绩的极差等于乙的成绩的极差A. 1B. 2C. 3D. 4【答案】D【解析】【分析】根据条形统计图，结合平均数、方差的计算公式，再根据中位数、极差的定义进行判断即可.【详解】，故甲的成绩的平均数等于乙的成绩的平均数；甲的成绩的中位数为6，乙的成绩的中位数为5，故甲大于乙；甲的成绩的方差为，乙的成绩的方差为；正确，甲的成绩的极差为4，乙的成绩的极差等于4，正确.故选：D【点睛】本题考查了平均数、方差的计算公式，考查了中位数和极差的定义，考查了
8、数学运算能力.11.已知，若不等式对已知的，及任意实数恒成立，则实数的取值范围是（ ）A. B. C. D. 【答案】D【解析】【分析】利用基本不等式求得的最小值，再利用参变分离将问题转化为恒成立问题，从而求得答案.【详解】，当且仅当时等号成立，即，.故选：D【点睛】本题考查基本不等式求最值、一元二次函数的最值，考查函数与方程思想、转化与化归思想，考查逻辑推理能力和运算求解能力，求解时注意参变分离法的运用.12.已知是椭圆上两个不同点，且满足，则的最大值为（ ）A. B. 4C. D. 【答案】C【解析】【分析】设,设,O为坐标原点，可得，,可得两点均在圆的圆上，且，为等边三角形，且,可得根据
9、点到直线的距离公式可得的最大值，可得答案.【详解】解：已知是椭圆上两个不同点,可得，设，设,O为坐标原点，可得，,可得，且，可得两点均在圆的圆上，且，可得为等边三角形，且,根据点到直线的距离公式可知：为点两点到直线的距离之和，设的中点为,到直线的距离，则,可得的最大值为；可得，可得的最大值为，故选：C.【点睛】本题主要考查直线与圆的位置关系及点到直线的距离，综合性大，属于难题.第II卷 非选择题（90分）二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分.13.已知双曲线的一条渐近线方程为，则该双曲线的离心率为_.【答案】【解析】【分析】根据双曲线的标准方程写出渐近线方程，对比已知所给的渐近线方程
10、，可以求出的值，最后求出双曲线的离心率.【详解】渐近线方程为，所以，故离心率为.故答案为：【点睛】本题考查了双曲线的渐近线方程，考查了双曲线的离心率公式，考查了数学运算能力.14.求过点，并且在两轴上的截距相等的直线方程_【答案】或【解析】【分析】当直线经过原点时，直线的方程可直接求出；当直线不经过原点时，设直线的截距式为，把点的坐标代入即可得出【详解】当直线经过原点时，设直线的方程为，将点的坐标代入得，解得，此时，直线的方程为，即；当直线不经过原点时，设直线的截距式方程为，把点的坐标代入得，此时，直线的方程为.综上所述，所求直线的方程为或.故答案为：或.【点睛】本题考查了直线的截距式方程、分
11、类讨论的思想方法，属于基础题15.已知三棱锥中，两两相互垂直，且，则三棱锥外接球的表面积为_.【答案】【解析】【分析】由，两两垂直，可将三棱锥补成长方体，此长方体的外接球即为三棱锥的外接球，体对角线即为外接球的直径，求解即可.【详解】由，两两垂直，可将三棱锥补成如图所示的长方体，此长方体的外接球即为三棱锥的外接球，外接球直径为：，所以三棱锥外接球的表面积为.故答案为：.【点睛】本题考查空间几何体的外接球，考查学生的空间想象能力与计算求解能力，属于基础题.16.已知为坐标原点，为抛物线：焦点，直线：与抛物线交于，两点，点在第一象限，若，则的值为_.【答案】【解析】【分析】设，利用焦半径的公式代入
12、，并与抛物线方程联立，求得点的坐标，再代入斜率公式求得的值.【详解】设，直线过抛物线的焦点，所以，由，得，.故答案为：.【点睛】本题考查抛物线的焦半径、直线与抛物线的位置关系、斜率公式，考查函数与方程思想、转化与化归思想，考查逻辑推理能力和运算求解能力，求解时注意焦半径公式的运用.三、解答题：共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.17.已知，命题：，命题：.（1）当时，若命题为真，求的取值范围；（2）若是的充分条件，求的取值范围.【答案】（1）；（2）【解析】【分析】（1）由命题为真，可知都是真命题，结合对应的的范围，可求出答案；（2）利用充分条件对应的关系列出不等式，求解即可.【
13、详解】（1）由题意，即命题：，当时，命题：，即：，若为真，则都是真命题，则；（2）由题意，：，：，若是的充分条件，则，即，解得.故的取值范围是.【点睛】本题考查复合命题间的关系，考查充分性的应用，考查不等式的解法，考查学生的计算能力与推理能力，属于基础题.18.某公司为了解广告投入对销售收益的影响，在若干地区各投入4万元广告费用，并将各地的销售收益绘制成频率分布直方图（如图所示）.由于工作人员失误，横轴的数据丢失，但可以确定横轴是从0开始计数的.（1）根据频率分布直方图计算图中各小长方形的宽度；（2）估计该公司投入4万元广告费用之后，对应销售收益的平均值（以各组的区间中点值代表该组的取值）；（
14、3）该公司按照类似的研究方法，测得另外一些数据，并整理得到下表：广告投入x（单位：万元）12345销售收益y（单位：万元）1347表中的数据显示，x与y之间存在线性相关关系，请将（2）的结果填入上表的空白栏，并计算y关于x的回归方程.回归直线的斜率和截距的最小二乘法估计公式分别为，.【答案】（1）2；（2）5；（3）得空白栏为5，.【解析】【分析】（1）根据在频率直方图所有小矩形的面积之和为1直接求解即可；（2）根据已知所给的各组取值的方法进行求解即可；（3）直接将（2）的结果填入上表的空白栏.根据平均数的计算公式求出，的值，再求出，最后根据所给的公式求出，的值，最后求出回归直线方程.【详解】
15、（1）设各小长方形的宽度为m，可得：，.（2）可得各组中点从左向右依次是1，3，5，7，9，11，各组中点对应的频率从左向右依次是0.16，0.20，0.28，0.24，0.08，0.04，平均值.（3）得空白栏为5，根据公式可得，故回归直线方程为.【点睛】本题考查求频率直方图中组距问题，考查了在频率直方图中求平均数问题，考查了求回归直线方程，考查了数学运算能力.19.已知抛物线焦点为，准线与轴的交点为.（）抛物线上的点P满足，求点的坐标；（）设点是抛物线上的动点，点是的中点，求点的轨迹方程.【答案】（）或（）【解析】【分析】（）求出抛物线的焦点坐标和准线方程, 设点P的坐标为,由,可得的值,
16、代入抛物线的方程,可得点的坐标;（）利用相关点法,设设，可得,由点是抛物线上,代入可得点的轨迹方程.【详解】解:（）设点P的坐标为由已知可得， 代入抛物线方程得，所以点的坐标为或（）设，由已知，得：， 又因为点是FA的中点得， 点在抛物线上，即，所以点C的轨迹方程为：【点睛】本题主要考查抛物线的简单几何性质及点的轨迹方程,注意相关点法的应用求轨迹方程.20.已知圆C：x2+y2+2x4y+30（1）若直线l：x+y0与圆C交于A，B两点，求弦AB的长；（2）从圆C外一点P（x1，y1）向该圆引一条切线，切点为M，O为坐标原点，且有|PM|PO|，求使得|PM|取得最小值的点P的坐标【答案】（1
17、）（2）P（）【解析】【分析】（1）根据圆的弦长公式即可求出；（2）因为|PM|PO|，所以|PM|的最小值就是|PO|的最小值，根据几何知识可求出点P的运动轨迹为直线2x4y+30，所以点到直线的距离最短，即求出|PM|取得最小值，再联立直线2x4y+30和，即可求出点P的坐标【详解】（1）圆C可化为（x+1）2+（y2）22，则圆心C（1，2），所以C到直线l的距离d，则弦长AB2；（2）因为切线PM与半径CM垂直，所以|PM|2|PC|2|CM|2，又因为|PM|PO|，则|PO|2|PC|2|CM|2，即（x1+1）2+（y12）22x12+y12，整理得2x14y1+30，所以点P的
18、运动轨迹为直线2x4y+30，所以|PM|的最小值就是|PO|的最小值而|PO|的最小值为原点O到直线2x4y+30的距离d，过点且垂直于直线2x4y+30的方程为：所以由，得，故所求点P的坐标为P（）【点睛】本题主要考查圆的弦长公式和几何性质的应用，两点间的距离公式和点到直线的距离公式的应用，意在考查学生的转化能力和数学运算能力，属于基础题21.在梯形中，为的中点，线段与交于点（如图1）.将沿折起到的位置，使得二面角为直二面角（如图2）.（1）求证：平面；（2）线段上是否存在点，使得与平面所成角的正弦值为？若存在，求出的值；若不存在，请说明理由.【答案】（1）证明见解析（2）线段上存在点，且
19、【解析】【分析】（1）推导出，从而四边形为平行四边形，推导出，由此能证明平面；（2）建立空间直角坐标系，设，利用向量法能求出线段上存在点，且时，使得CQ与平面BCD所成角的正弦值为.【详解】（1）证明：因为在梯形中，为的中点，所以，所以四边形为平行四边形，因为线段与交于点，所以为线段的中点，所以中，因为平面，平面，所以平面.（2）解：平行四边形中，所以四边形是菱形，垂足为，所以，因为平面，平面，所以是二面角的平面角，因为二面角为直二面角，所以，即.可以如图建立空间直角坐标系，其中，因为在图1菱形中，所以，所以，所以，设为平面的法向量，因为，所以，即，取，得到，所以；线段上存在点使得与平面所成角
20、的正弦值为，设，因为，所以，因为，所以，因为，所以，所以线段上存在点，且，使得与平面所成角的正弦值为.【点睛】本题考查线面平行的证明，考查满足线面角的正弦值的点的位置的确定，考查空间中线线、线面、面面间的位置关系等基础知识，考查空间想象能力与思维能力，考查运算求解能力，是中档题.22.在平面直角坐标系中，四个点，中有3个点在椭圆：上.（1）求椭圆的标准方程；（2）过原点的直线与椭圆交于，两点（，不是椭圆的顶点），点在椭圆上，且，直线与轴、轴分别交于、两点，设直线，的斜率分别为，证明：存在常数使得，并求出的值.【答案】（1）；（2）证明见解析，.【解析】【分析】（1）根据椭圆的对称性可知，关于轴
21、对称的，在椭圆上.分类讨论，当在椭圆上时，当在椭圆上时，分别求解，根据确定，即可.（2）设，由题意可知，设直线的方程为，与椭圆联立，变形整理得，确定，从而，直线的方程为，分别令、确定点与点的坐标，求直线，的斜率分别为，求解即可.【详解】（1），关于轴对称.这2个点在椭圆上，即当在椭圆上时，由解得，.当在椭圆上时，由解得，.又，椭圆的方程为.（2）设，则.因为直线的斜率，又.所以直线的斜率.设直线的方程为，由题意知，.由可得，所以，.由题意知，所以，所以直线的方程为，令，得，即，可得，令，得，即，可得，所以，即，因此，存在常数使得结论成立.【点睛】本题考查求椭圆的标准方程，以及直线与椭圆的位置关系，属于较难的题.
