1、2015-2016学年广东省中山市杨仙逸中学高二（上）期中数学试卷一、选择题：本大题12小题，每小题5分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1在ABC中，若，B=120，则a等于（）AB2CD2已知ABC中，A=30，B=45，b=，则a=（）A3B1C2D3在ABC中，a2=b2+c2bc，则角A为（）ABCD或4ABC的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，已知b=2，B=，C=，则ABC的面积为（）A2+2BC22D15已知Sn是等差数列an的前n项和，若a1+a3+a5=3，则S5=（）AB5C7D96等差数列an的公差为2，若a2，a4，a8成等比数列，则an的前n
2、项和Sn=（）An（n+1）Bn（n1）CD7设首项为1，公比为的等比数列an的前n项和为Sn，则（）ASn=2an1BSn=3an2CSn=43anDSn=32an8设x，y满足约束条件，则z=2x3y的最小值是（）A7B6C5D39已知集合A=x|x2x20，B=x|1x1，则（）AABBBACA=BDAB=10已知正三角形ABC的顶点A（1，1），B（1，3），顶点C在第一象限，若点（x，y）在ABC内部，则z=x+y的取值范围是（）A（1，2）B（0，2）C（1，2）D（0，1+）11函数的定义域为（）ABCD（，2）12若ab0，则下列不等式中不能成立的是（）ABC|a|b|Da2b
3、2二、填空题：本大题共4小题，每小题5分13数列an满足an+1=，a8=2，则a1=14已知x3，则+x的最小值为15若x，y满足约束条件，则z=3x+3y的最大值为16如图，为测量山高MN，选择A和另一座的山顶C为测量观测点，从A点测得M点的仰角AMN=60，C点的仰角CAB=45以及MAC=75；从C点测得MCA=60，已知山高BC=1000m，则山高MN= m三、解答题：解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.17已知a，b，c分别是ABC内角A，B，C的对边，sin2B=2sinAsinC（）若a=b，求cosB；（）设B=90，且a=，求ABC的面积18已知数列an的前n项的和为S
4、n=n2+n+4，求数列an的通项公式19已知an是递增的等差数列，a2，a4是方程x25x+6=0的根（1）求an的通项公式；（2）求数列的前n项和20已知等差数列an的前n项和Sn满足S3=0，S5=5（）求an的通项公式；（）求数列的前n项和21关于x的不等式kx26kx+k+80的解集为空集，求实数k的取值范围22制定投资计划时，不仅要考虑可能获得的盈利，而且要考虑可能出现的亏损某投资人打算投资甲、乙两个项目根据预测，甲、乙项目可能的最大盈利率分别为100%和50%，可能的最大亏损分别为30%和10%投资人计划投资金额不超过10万元，要求确保可能的资金亏损不超过1.8万元问投资人对甲、
5、乙两个项目各投资多少万元，才能使可能的盈利最大？2015-2016学年广东省中山市杨仙逸中学高二（上）期中数学试卷参考答案与试题解析一、选择题：本大题12小题，每小题5分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1在ABC中，若，B=120，则a等于（）AB2CD【考点】余弦定理【专题】解三角形【分析】由余弦定理可得 b2=a2+c22accosB，即 6=a2+22a（），由此求得b的值【解答】解：在ABC中，若，B=120，则由余弦定理可得 b2=a2+c22accosB，即 6=a2+22a（），解得 a=，或a=2（舍去），故选：D【点评】本题主要考查余弦定理的应用，属于中
6、档题2已知ABC中，A=30，B=45，b=，则a=（）A3B1C2D【考点】正弦定理【专题】计算题；转化思想；分析法；解三角形【分析】由已知利用正弦定理即可求值得解【解答】解：A=30，B=45，b=，由正弦定理可得：a=1故选：B【点评】本题主要考查了正弦定理在解三角形中的应用，属于基础题3在ABC中，a2=b2+c2bc，则角A为（）ABCD或【考点】余弦定理【专题】计算题；解三角形【分析】根据题中等式，利用余弦定理算出cosA=，结合A为三角形的内角即可得到角A的大小【解答】解：a2=b2+c2bc，bc=b2+c2a2，由余弦定理，得cosA=，A（0，），A=故选：A【点评】本题给
7、出三角形边的关系式，求角A的大小着重考查了特殊角的三角函数值和用余弦定理解三角形等知识，属于基础题4ABC的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，已知b=2，B=，C=，则ABC的面积为（）A2+2BC22D1【考点】正弦定理；三角形的面积公式【专题】解三角形【分析】由sinB，sinC及b的值，利用正弦定理求出c的值，再求出A的度数，由b，c及sinA的值，利用三角形的面积公式即可求出三角形ABC的面积【解答】解：b=2，B=，C=，由正弦定理=得：c=2，A=，sinA=sin（+）=cos=，则SABC=bcsinA=22=+1故选B【点评】此题考查了正弦定理，三角形的面积公式，以及两角
8、和与差的余弦函数公式，熟练掌握正弦定理是解本题的关键5已知Sn是等差数列an的前n项和，若a1+a3+a5=3，则S5=（）AB5C7D9【考点】等差数列的前n项和【专题】转化思想；数学模型法；等差数列与等比数列【分析】由等差数列an的性质，a1+a3+a5=3=3a3，解得a3再利用等差数列的前n项和公式即可得出【解答】解：由等差数列an的性质，a1+a3+a5=3=3a3，解得a3=1则S5=5a3=5故选：B【点评】本题考查了等差数列的通项公式及其性质、前n项和公式，考查了推理能力与计算能力，属于中档题6等差数列an的公差为2，若a2，a4，a8成等比数列，则an的前n项和Sn=（）An
9、（n+1）Bn（n1）CD【考点】等差数列的性质【专题】等差数列与等比数列【分析】由题意可得a42=（a44）（a4+8），解得a4可得a1，代入求和公式可得【解答】解：由题意可得a42=a2a8，即a42=（a44）（a4+8），解得a4=8，a1=a432=2，Sn=na1+d，=2n+2=n（n+1），故选：A【点评】本题考查等差数列的性质和求和公式，属基础题7设首项为1，公比为的等比数列an的前n项和为Sn，则（）ASn=2an1BSn=3an2CSn=43anDSn=32an【考点】等比数列的前n项和【专题】等差数列与等比数列【分析】由题意可得数列的通项公式，进而可得其求和公式，化简
10、可得要求的关系式【解答】解：由题意可得an=1=，Sn=3=32=32an，故选D【点评】本题考查等比数列的求和公式和通项公式，涉及指数的运算，属中档题8设x，y满足约束条件，则z=2x3y的最小值是（）A7B6C5D3【考点】简单线性规划【专题】不等式的解法及应用【分析】先画出满足约束条件：，的平面区域，求出平面区域的各角点，然后将角点坐标代入目标函数，比较后，即可得到目标函数z=2x3y的最小值【解答】解：根据题意，画出可行域与目标函数线如下图所示，由得，由图可知目标函数在点A（3，4）取最小值z=2334=6故选B【点评】用图解法解决线性规划问题时，分析题目的已知条件，找出约束条件和目标
11、函数是关键，可先将题目中的量分类、列出表格，理清头绪，然后列出不等式组（方程组）寻求约束条件，并就题目所述找出目标函数然后将可行域各角点的值一一代入，最后比较，即可得到目标函数的最优解9已知集合A=x|x2x20，B=x|1x1，则（）AABBBACA=BDAB=【考点】集合的包含关系判断及应用【专题】集合【分析】先求出集合A，然后根据集合之间的关系可判断【解答】解：由题意可得，A=x|1x2，B=x|1x1，在集合B中的元素都属于集合A，但是在集合A中的元素不一定在集合B中，例如x=BA故选B【点评】本题主要考查了集合之间关系的判断，属于基础试题10已知正三角形ABC的顶点A（1，1），B（
12、1，3），顶点C在第一象限，若点（x，y）在ABC内部，则z=x+y的取值范围是（）A（1，2）B（0，2）C（1，2）D（0，1+）【考点】简单线性规划的应用【专题】计算题【分析】由A，B及ABC为正三角形可得，可求C的坐标，然后把三角形的各顶点代入可求z的值，进而判断最大与最小值，即可求解范围【解答】解：设C（a，b），（a0，b0）由A（1，1），B（1，3），及ABC为正三角形可得，AB=AC=BC=2即（a1）2+（b1）2=（a1）2+（b3）2=4b=2，a=1+即C（1+，2）则此时直线AB的方程x=1，AC的方程为y1=（x1），直线BC的方程为y3=（x1）当直线xy+z=
13、0经过点A（1，1）时，z=0，经过点B（1，3）z=2，经过点C（1+，2）时，z=1故选A【点评】考查学生线性规划的理解和认识，考查学生的数形结合思想属于基本题型11函数的定义域为（）ABCD（，2）【考点】函数的定义域及其求法【专题】计算题【分析】题目给出的函数既有分式又有对数式，函数的定义域是保证分式、根式及对数式都有意义的自变量x的取值范围【解答】解：要使原函数有意义，则需，解得：，所以原函数的定义域为（，2）故选B【点评】本题考查了函数定义域的求法，解答此题的关键是使构成函数的各个部分都有意义，属基础题12若ab0，则下列不等式中不能成立的是（）ABC|a|b|Da2b2【考点】函
14、数单调性的性质【专题】不等式的解法及应用【分析】由于ab0，利用函数单调性可以比较大小【解答】解：ab0，f（x）=在（，0）单调递减，所以成立；ab0，0aba，f（x）=在（，0）单调递减，所以，故B不成立；f（x）=|x|在（，0）单调递减，所以|a|b|成立；f（x）=x2在（，0）单调递减，所以a2b2成立；故选：B【点评】本题考查了函数单调性与数值大小的比较，属于基础题二、填空题：本大题共4小题，每小题5分13数列an满足an+1=，a8=2，则a1=【考点】数列递推式【专题】计算题【分析】根据a8=2，令n=7代入递推公式an+1=，求得a7，再依次求出a6，a5的结果，发现规律
15、，求出a1的值【解答】解：由题意得，an+1=，a8=2，令n=7代入上式得，a8=，解得a7=；令n=6代入得，a7=，解得a6=1；令n=5代入得，a6=，解得a5=2；根据以上结果发现，求得结果按2，1循环，83=22，故a1=故答案为：【点评】本题考查了数列递推公式的简单应用，即给n具体的值代入后求数列的项，属于基础题14已知x3，则+x的最小值为7【考点】基本不等式【专题】不等式的解法及应用【分析】本题可以通过配凑法将原式化成积为定值的形式，再用基本不等式求出原式的最小值，即本题答案【解答】解：x3，x30+x=当且仅当x=5时取最值故答案为：7【点评】本题考查了基本不等式，注意不等
16、式使用的条件本题难度适中，属于中档题15若x，y满足约束条件，则z=3x+3y的最大值为6【考点】简单线性规划【专题】不等式的解法及应用【分析】由约束条件作出可行域，化目标函数为直线方程的斜截式，数形结合得到最优解，代入最优解的坐标得答案【解答】解：由约束条件作出可行域如图，化目标函数z=3x+3y为，由图可知，当直线与线段BC所在直线重合时，直线在y轴上的截距最大，此时z有最大值为30+32=6故答案为：6【点评】本题考查简单的线性规划，考查了数形结合的解题思想方法，是中档题16如图，为测量山高MN，选择A和另一座的山顶C为测量观测点，从A点测得M点的仰角AMN=60，C点的仰角CAB=45
17、以及MAC=75；从C点测得MCA=60，已知山高BC=1000m，则山高MN=750 m【考点】解三角形的实际应用【专题】应用题；解三角形【分析】ABC中，由条件利用直角三角形中的边角关系求得 AC；AMC中，由条件利用正弦定理求得AM；RtAMN中，根据MN=AMsinMAN，计算求得结果【解答】解：ABC中，BAC=45，ABC=90，BC=1000，AC=1000AMC中，MAC=75，MCA=60，AMC=45，由正弦定理可得，解得AM=500RtAMN中，MN=AMsinMAN=500sin60=750（m），故答案为：750【点评】本题主要考查正弦定理、直角三角形中的边角关系，属
18、于中档题三、解答题：解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.17已知a，b，c分别是ABC内角A，B，C的对边，sin2B=2sinAsinC（）若a=b，求cosB；（）设B=90，且a=，求ABC的面积【考点】正弦定理；余弦定理【专题】解三角形【分析】（I）sin2B=2sinAsinC，由正弦定理可得：b2=2ac，再利用余弦定理即可得出（II）利用（I）及勾股定理可得c，再利用三角形面积计算公式即可得出【解答】解：（I）sin2B=2sinAsinC，由正弦定理可得：0，代入可得（bk）2=2akck，b2=2ac，a=b，a=2c，由余弦定理可得：cosB=（II）由（I）可得：b2
19、=2ac，B=90，且a=，a2+c2=2ac，解得a=c=SABC=1【点评】本题考查了正弦定理余弦定理、勾股定理、三角形面积计算公式，考查了推理能力与计算能力，属于中档题18已知数列an的前n项的和为Sn=n2+n+4，求数列an的通项公式【考点】数列递推式【专题】分类讨论；转化思想；等差数列与等比数列【分析】由Sn=n2+n+4，可得：当n=1时，a1=S1当n2时，an=SnSn1，即可得出【解答】解：Sn=n2+n+4，当n=1时，a1=+4=当n2时，an=SnSn1=n2+n+4=an=【点评】本题考查了递推关系、数列通项公式的求法，考查了推理能力与计算能力，属于中档题19已知a
20、n是递增的等差数列，a2，a4是方程x25x+6=0的根（1）求an的通项公式；（2）求数列的前n项和【考点】数列的求和；等差数列的通项公式【专题】综合题；等差数列与等比数列【分析】（1）解出方程的根，根据数列是递增的求出a2，a4的值，从而解出通项；（2）将第一问中求得的通项代入，用错位相减法求和【解答】解：（1）方程x25x+6=0的根为2，3又an是递增的等差数列，故a2=2，a4=3，可得2d=1，d=，故an=2+（n2）=n+1，（2）设数列的前n项和为Sn，Sn=，Sn=，得Sn=，解得Sn=2【点评】本题考查等的性质及错位相减法求和，是近几年高考对数列解答题考查的主要方式20已
21、知等差数列an的前n项和Sn满足S3=0，S5=5（）求an的通项公式；（）求数列的前n项和【考点】数列的求和；等差数列的通项公式【专题】等差数列与等比数列【分析】（）设出等差数列an的首项和公差，直接由S3=0，S5=5列方程组求出，然后代入等差数列的通项公式整理；（）把（）中求出的通项公式，代入数列的通项中进行列项整理，则利用裂项相消可求数列的前n项和【解答】解：（）设数列an的首项为a1，公差为d，则由已知可得，即，解得a1=1，d=1，故an的通项公式为an=a1+（n1）d=1+（n1）（1）=2n；（）由（）知从而数列的前n项和Sn=【点评】本题考查了等差数列的通项公式，考查了裂项
22、相消法求数列的和，是中档题21关于x的不等式kx26kx+k+80的解集为空集，求实数k的取值范围【考点】一元二次不等式的解法【专题】不等式的解法及应用【分析】先对x2前系数分类讨论，再利用一元二次不等式的解法即可得出【解答】解：（1）当k=0时，原不等式化为80，其解集为，k=0符合题意（2）当k0时，要使二次不等式的解集为空集，则必须满足：解得0k1综合（1）（2）得k的取值范围为0，1【点评】本题考查含参数的“形式”二次不等式的解法关键是对x2前系数分类讨论22制定投资计划时，不仅要考虑可能获得的盈利，而且要考虑可能出现的亏损某投资人打算投资甲、乙两个项目根据预测，甲、乙项目可能的最大盈
23、利率分别为100%和50%，可能的最大亏损分别为30%和10%投资人计划投资金额不超过10万元，要求确保可能的资金亏损不超过1.8万元问投资人对甲、乙两个项目各投资多少万元，才能使可能的盈利最大？【考点】基本不等式在最值问题中的应用【专题】应用题；数形结合【分析】设投资人对甲、乙两个项目各投资x和y万元，列出x和y的不等关系及目标函数z=x+0.5y利用线性规划或不等式的性质求最值即可【解答】解：设投资人对甲、乙两个项目各投资x和y万元，则，设z=x+0.5y=0.25（x+y）+0.25（3x+y）0.2510+0.2518=7，当即时，z取最大值7万元答：投资人对甲、乙两个项目分别投资4万元和6万元时，才能使可能的盈利最大【点评】本题考查线性规划的应用问题，利用不等式的性质求最值问题，考查对信息的提炼和处理能力