1、第1讲空间几何体1.(2015江苏)现有橡皮泥制作的底面半径为5，高为4的圆锥和底面半径为2，高为8的圆柱各一个.若将它们重新制作成总体积与高均保持不变，但底面半径相同的新的圆锥和圆柱各一个，则新的底面半径为_.答案解析设新的底面半径为r，由题意得r24r28524228，解得r.2.(2016课标全国丙改编)在封闭的直三棱柱ABCA1B1C1内有一个体积为V的球，若ABBC，AB6，BC8，AA13，则V的最大值是_.答案解析由题意知，底面三角形的内切圆直径为4.三棱柱的高为3，所以球的最大直径为3，V的最大值为.3.(2015山东改编)在梯形ABCD中，ABC，ADBC，BC2AD2AB2
2、.将梯形ABCD绕AD所在的直线旋转一周而形成的曲面所围成的几何体的体积为_.答案解析过点C作CE垂直AD所在直线于点E，梯形ABCD绕AD所在直线旋转一周而形成的旋转体是由以线段AB的长为底面圆半径，线段BC为母线的圆柱挖去以线段CE的长为底面圆半径，ED为高的圆锥，如图所示，该几何体的体积为VV圆柱V圆锥AB2BCCE2DE122121.4.(2016浙江) 如图，已知平面四边形ABCD，ABBC3，CD1，AD，ADC90，沿直线AC将ACD翻折成ACD，直线AC与BD所成角的余弦的最大值是_.答案解析设直线AC与BD所成角为，平面ACD翻折的角度为，设点O是AC的中点，由已知得AC，如
3、图，以OB为x轴，OA为y轴，过点O与平面ABC垂直的直线为z轴，建立空间直角坐标系，由A，B，C，作DHAC于点H，翻折过程中，DH始终与AC垂直，CH，则OH，DH，因此可设D，则，与平行的单位向量为n(0,1,0)，所以cos |cos，n|，所以cos 1时，cos 取最大值.1.考查空间几何体面积、体积的计算.2.考查空间几何体的侧面展开图及简单的组合体问题.热点一空间几何体的结构特征棱柱的侧棱都平行且相等，上下底面是全等且平行的多边形；棱锥的底面是任意多边形，侧面是有一个公共顶点的三角形；棱台可由平行于底面的平面截棱锥得到，其上下底面是相似多边形.圆柱可由矩形绕其任意一边旋转得到；
4、圆锥可以由直角三角形绕其直角边旋转得到；圆台可以由直角梯形绕直角腰或等腰梯形绕上、下底中点连线旋转得到，也可由平行于圆锥底面的平面截圆锥得到；球可以由半圆或圆绕直径旋转得到.例1设有以下四个命题：底面是平行四边形的四棱柱是平行六面体；底面是矩形的平行六面体是长方体；直四棱柱是直平行六面体；棱台的各侧棱延长后必交于一点.其中真命题的序号是_.答案解析命题符合平行六面体的定义，故命题是正确的；底面是矩形的平行六面体的侧棱可能与底面不垂直，故命题是错误的；因为直四棱柱的底面不一定是平行四边形，故命题是错误的；命题由棱台的定义知是正确的.思维升华判定与空间几何体结构特征有关命题的方法：(1)紧扣结构特
5、征是判断的关键，熟悉空间几何体的结构特征，依据条件构建几何模型，在条件不变的情况下，变换模型中的线面关系或增加线、面等基本元素，然后再依据题意判定.(2)通过旋转体的结构，可对得到旋转体的平面图形进行分解，结合旋转体的定义进行分析.跟踪演练1(1)给出下列四个命题：各侧面都是全等四边形的棱柱一定是正棱柱；对角面是全等矩形的六面体一定是长方体；有两侧面垂直于底面的棱柱一定是直棱柱；长方体一定是正四棱柱.其中正确命题的个数是_.(2)以下命题：以直角三角形的一边为轴旋转一周所得的旋转体是圆锥；以直角梯形的一腰为轴旋转一周所得的旋转体是圆台；圆柱、圆锥、圆台的底面都是圆面；一个平面截圆锥，得到一个圆
6、锥和一个圆台.其中正确命题的个数为_.答案(1)0(2)1解析(1)直平行六面体底面是菱形，满足条件但不是正棱柱；底面是等腰梯形的直棱柱，满足条件但不是长方体；显然错误.(2)命题错，因为这条边若是直角三角形的斜边，则得不到圆锥.命题错，因为这条腰必须是垂直于两底的腰.命题对.命题错，必须用平行于圆锥底面的平面截圆锥才可以.热点二几何体的表面积与体积空间几何体的表面积和体积计算是高考中常见的一个考点，解决这类问题，首先要熟练掌握各类空间几何体的表面积和体积计算公式，其次要掌握一定的技巧，如把不规则几何体分割成几个规则几何体的技巧，把一个空间几何体纳入一个更大的几何体中的补形技巧.例2(1)已知
7、一个圆锥的底面积为2，侧面积为4，则该圆锥的体积为_.(2)如图，在棱长为6的正方体ABCDA1B1C1D1中，点E，F分别在C1D1与C1B1上，且C1E4，C1F3，连结EF，FB，DE，BD，则几何体EFC1DBC的体积为_.答案(1)(2)66解析(1)设圆锥的底面半径为r，母线长为l，则r22，rl4，解得r，l2，故高h，所以Vr2h2.(2)如图，连结DF，DC1，那么几何体EFC1DBC被分割成三棱锥DEFC1及四棱锥DCBFC1，那么几何体EFC1DBC的体积为V346(36)66125466.故所求几何体EFC1DBC的体积为66.思维升华(1)求多面体的表面积的基本方法就
8、是逐个计算各个面的面积，然后求和.(2)求体积时可以把空间几何体进行分解，把复杂的空间几何体的体积分解为一些简单几何体体积的和或差.求解时注意不要多算也不要少算.跟踪演练2设一个正方体与底面边长为2，侧棱长为的正四棱锥的体积相等，则该正方体的棱长为_.答案2解析设正四棱锥底面正方形ABCD的中心为O，顶点为P，则AO，则OP2h，则正四棱锥的体积为V(2)228a3，得a2.热点三多面体与球与球有关的组合体问题，一种是内切，一种是外接.解题时要认真分析图形，明确切点和接点的位置，确定有关元素间的数量关系，并作出合适的截面图.如球内切于正方体，切点为正方体各个面的中心，正方体的棱长等于球的直径.
9、如球外接于正方体，正方体的顶点均在球面上，正方体的体对角线长等于球的直径.球与旋转体的组合，通常作它们的轴截面解题，球与多面体的组合，通过多面体的一条侧棱和球心(或“切点”“接点”)作出截面图.例3(1)已知三棱锥SABC的所有顶点都在球O的球面上，SA平面ABC，SA2，AB1，AC2，BAC60，则球O的表面积为_.(2) 如图，有一个水平放置的透明无盖的正方体容器，容器高8 cm，将一个球放在容器口，再向容器内注水，当球面恰好接触水面时测得水深为6 cm，如果不计容器的厚度，则球的体积为_ cm3.答案(1)16(2)解析(1)在ABC中，BC2AB2AC22ABACcos 603，AC
10、2AB2BC2，即ABBC，又SA平面ABC，三棱锥SABC可补成分别以AB1，BC，SA2为长、宽、高的长方体，球O的直径4，故球O的表面积为42216.(2) 过球心与正方体中点的截面如图，设球心为点O，球半径为R cm，正方体上底面中心为点A，上底面一边的中点为点B，在RtOAB中，OA(R2)cm，AB4 cm，OBR cm，由R2(R2)242，得R5，V球R3(cm3).思维升华三棱锥PABC可通过补形为长方体求解外接球问题的两种情形：(1)点P可作为长方体上底面的一个顶点，点A、B、C可作为下底面的三个顶点；(2)PABC为正四面体，则正四面体的棱都可作为一个正方体的面对角线.跟
11、踪演练3在三棱锥ABCD中，侧棱AB，AC，AD两两垂直，ABC，ACD，ABD的面积分别为，则三棱锥ABCD的外接球体积为_.答案解析如图，以AB，AC，AD为棱把该三棱锥扩充成长方体，则该长方体的外接球恰为三棱锥的外接球，三棱锥的外接球的直径是长方体的体对角线长.据题意解得长方体的体对角线长为，三棱锥外接球的半径为.三棱锥外接球的体积为V()3.1.(2016江苏苏州大学高考考前指导)如图，三棱锥ABCD中，E是AC的中点，F在AD上，且2AFFD，若三棱锥ABEF的体积是2，则四棱锥BECDF的体积为_.押题依据简单几何体的表面积和体积的计算是高考考查的重点，本题从两几何体的体积关系进行
12、考查，符合高考命题思想.答案10 解析因为，V总6VABEF12，则四棱锥BECDF的体积为10.2.在正三棱锥SABC中，点M是SC的中点，且AMSB，底面边长AB2，则正三棱锥SABC的外接球的表面积为_.押题依据多面体的外接球一般借助补形为长方体的外接球解决，解法灵活，是高考的热点.答案12解析因为三棱锥SABC为正三棱锥，所以SBAC，又AMSB，ACAMA，所以SB平面SAC，所以SBSA，SBSC，同理，SASC，即SA，SB，SC三线两两垂直，且AB2，所以SASBSC2，所以(2R)232212，所以球的表面积S4R212.3.已知半径为1的球O中内接一个圆柱，当圆柱的侧面积最
13、大时，球的体积与圆柱的体积的比值为_.押题依据求空间几何体的体积是立体几何的重要内容之一，也是高考的热点问题之一，主要是求柱体、锥体、球体或简单组合体的体积.本题通过球的内接圆柱，来考查球与圆柱的体积计算，设问角度新颖，值得关注.答案解析如图所示，设圆柱的底面半径为r，则圆柱的侧面积为S2r24r42(当且仅当r21r2，即r时取等号).所以当r时，.A组专题通关1.以下四个命题：正棱锥的所有侧棱相等；直棱柱的侧面都是全等的矩形；圆柱的母线垂直于底面；用经过旋转轴的平面截圆锥，所得的截面一定是全等的等腰三角形.其中，真命题的个数为_.答案3解析由正棱锥的定义可知所有侧棱相等，故正确；由于直棱柱
14、的底面不一定是正多边形，故侧面矩形不一定全等，因此不正确；由圆柱母线的定义可知正确；结合圆锥轴截面的作法可知正确.综上，正确的命题有3个.2.下图是棱长为2的正方体的表面展开图，则多面体ABCDE的体积为_.答案解析多面体ABCDE为四棱锥(如图)，利用割补法可得其体积V4.3.设M，N分别为三棱锥PABC的棱AB，PC的中点，三棱锥PABC的体积记为V1，三棱锥PAMN的体积记为V2，则_.答案解析三棱锥PAMN的体积等于三棱锥PAMC的体积的一半，等于三棱锥PABC的体积的四分之一.4.已知圆锥的母线长为10 cm，侧面积为60 cm2，则此圆锥的体积为_ cm3.答案96解析由题意得：r
15、l60，l10r6h8，因此圆锥的体积为r2h62896.5.(2016天水模拟)如图所示，平面四边形ABCD中，ABADCD1，BD，BDCD，将其沿对角线BD折成四面体ABCD，使平面ABD平面BCD，若四面体ABCD的顶点在同一个球面上，则该球的体积为_.答案解析如图所示，取BD的中点E，BC的中点O，连结AE，EO，AO，OD.因为平面ABD平面BCD，AEBD，平面ABD平面BCDBD，AE平面ABD，所以AE平面BCD.因为ABADCD1，BD，所以AE，EO，所以OA.在RtBCD中，OBOCODBC，所以四面体ABCD的外接球的球心为O，球的半径为，所以V球()3.6.有一块多
16、边形的菜地，它的水平放置的平面图形的斜二测直观图是直角梯形(如图所示)，ABC45，ABAD1，DCBC，则这块菜地的面积为_.答案2解析如图，在直观图中，过点A作AEBC，垂足为点E，则在RtABE中，AB1，ABE45，BE.而四边形AECD为矩形，AD1，ECAD1，BCBEEC1.由此可还原原图形如图.在原图形中，AD1，AB2，BC1，且ADBC，ABBC，这块菜地的面积为S(ADBC)AB(11)22.7.(2016江苏南通市高三下学期第三次调研)已知正三棱柱的各条棱长均为a，圆柱的底面直径和高均为b，若它们的体积相等，则a3b3_.答案解析正三棱柱的体积为a2aa3，圆柱的体积为
17、()2bb3，因此a3b3a3b3.8. 如图所示，从棱长为6 cm的正方体铁皮箱ABCDA1B1C1D1中分离出来由三个正方形面板组成的几何图形.如果用图示中这样一个装置来盛水，那么最多能盛的水的体积为_ cm3.答案36解析最多能盛多少水，实际上是求三棱锥C1CD1B1的体积.又V三棱锥C1CD1B1V三棱锥CB1C1D1(66)636(cm3)，所以用图示中这样一个装置来盛水，最多能盛36 cm3体积的水.9.已知三个球的半径R1、R2、R3满足R1R32R2，记它们的表面积分别为S1、S2、S3，若S11，S39，则S2_.答案4解析由题意知4R1,4R9，所以162RR9，即R1R3
18、，又4R4R4(R1R3)22R1R310，所以4(2R2)22R1R310，所以化简得：4R4，即S24.10.(教材改编)如图所示，从三棱锥PABC的顶点P沿着三条侧棱PA，PB，PC剪开成平面图形得到P1P2P3，且P2P1P2P3.(1)在三棱锥PABC中，求证：PABC；(2)若P1P226，P1P320，求三棱锥PABC的体积.(1)证明由题设知A，B，C分别是P1P3，P1P2，P2P3的中点，且P2P1P2P3，从而PBPC，ABAC，取BC的中点D，连结AD，PD(如图)，则ADBC，PDBC.又ADPDD，BC平面PAD，又PA平面PAD，PABC.(2)解由题设有ABAC
19、P1P213，PAP1ABC10，PBPCP1B13，ADPD12.在等腰三角形DPA中，底边PA上的高h ，SDPAPAh5.又BC平面PAD，VPABCVBPDAVCPDABDSDPADCSPDABCSPDA105.B组能力提高11.在体积为的四面体ABCD中，AB平面BCD，AB1，BC2，BD3，则CD长度的所有值为_.答案或解析由题意得ABSBCD1BCBDsinCBDsinCBD.因此cosCBD.由余弦定理得：CD22232223cosCBD7或19，因此CD或.12.已知在三棱锥PABC中，PA平面ABC，ABACPA2，且在ABC中，BAC120，则三棱锥PABC的外接球的体
20、积为_.答案解析由余弦定理得：BC2AB2AC22ABACcosBAC，BC22222222()12，BC2.设平面ABC截球所得截面圆半径为r，则2r4，r2.由PA2且PA平面ABC知，球心到平面ABC的距离为1，球的半径为R，所以V球R3.13.如图，侧棱长为2的正三棱锥VABC中，AVBBVCCVA40，过点A作截面AEF，则截面AEF的周长的最小值为_.答案6解析沿着侧棱VA把正三棱锥VABC展开在一个平面内，如图，则AA即为截面AEF周长的最小值，且AVA340120.在VAA中，由余弦定理可得AA6，故答案为6.14.如图，在RtABC中，ABBC4，点E在线段AB上.过点E作E
21、FBC交AC于点F，将AEF沿EF折起到PEF的位置(点A与点P重合)，使得PEB30.(1)求证：EFPB；(2)试问：当点E在何处时，四棱锥PEFCB的侧面PEB的面积最大？并求此时四棱锥PEFCB的体积.(1)证明EFBC且BCAB，EFAB，即EFBE，EFPE.又BEPEE，EF平面PBE，又PB平面PBE，EFPB.(2)解设BEx，PEy，则xy4.SPEBBEPEsinPEBxy21.当且仅当xy2时，SPEB的面积最大.此时，BEPE2.由(1)知EF平面PBE，平面PBE平面EFCB，在平面PBE中，作POBE于点O，又平面PBE平面EFCBBE，PO平面EFCB.即PO为四棱锥PEFCB的高.又POPEsin 3021，SEFCB(24)26，VPBCFE612.