1、第2讲 圆锥曲线的方程性质及与弦有关的问题 高考总复习大二轮 数 学(新高考)考情考向高考导航圆锥曲线是高考的重点和热点，是高考中每年必考的内容主要考查圆锥曲线的标准方程、几何性质、直线与圆锥曲线的位置关系等内容对圆锥曲线方程与性质的考查，以选择题、填空题为主，对直线与圆锥曲线的位置关系的考查，常与其他知识交汇命题，多以解答题的形式出现真题体验1(2019全国卷)若拋物线 y22px(p0)的焦点是椭圆x23py2p1 的一个焦点，则 p()A2 B3C4 D8解析：D 由椭圆x23py2p1，知半焦距 c 3pp 2p，2pp2，p8.2(2019全国卷)设 F 为双曲线 C：x2a2y2b
2、21(a0，b0)的右焦点，O 为坐标原点，以 OF 为直径的圆与圆 x2y2a2 交于 P，Q 两点若|PQ|OF|，则 C 的离心率为()A.2B.3C2 D.5解析：A 以 OF 为直径的圆为xc22y2c24，即 x2y2cx0，与圆 x2y2a2 相减得直线 PQ 的方程为 xa2c，由勾股定理得：|PQ|2 a2a4c2abc，|PQ|2abc c，2abc2，平方得：4a2b2c4，4a2(c2a2)c4，化简得：e44e240，e22，即 e 2.3(2018全国卷)已知 F1，F2 是椭圆 C：x2a2y2b21(ab0)的左、右焦点，A 是 C 的左顶点，点 P 在过 A
3、且斜率为 36 的直线上，PF1F2 为等腰三角形，F1F2P120，则 C 的离心率为()A.23B.12C.13D.14解析：D 如图直线 AP 的方程为 y 36(xa)，直线 PF2 的方程为 y 3(xc)，与联立解得：xa6c5，y 35(ac)，Pa6c5，35 ac，|PF2|a6c5c 2 325ac225(ac)，又|PF2|F1F2|，25(ac)2c，a4c，eca14.4(2018全国卷)已知点 M(1,1)和抛物线 C：y24x，过 C的焦点且斜率为 k 的直线与 C 交于 A，B 两点若AMB90，则k_.解析：设直线 AB 的方程为 yk(x1)，由y24xyk
4、x1得 k2x2(2k24)xk20，设 A(x1，y1)，B(x2，y2)则 x1x22k24k2，x1x21.AMB90，kMAkMB1解y11x11y21x211.化简得 k24k40，解得 k2.答案：2主干整合1圆锥曲线的定义(1)椭圆：|MF1|MF2|2a(2a|F1F2|)；(2)双曲线：|MF1|MF2|2a(2a|F1F2|)；(3)拋物线：|MF|d(d 为 M 点到准线的距离)应用圆锥曲线定义解题时，易忽视定义中隐含条件导致错误2圆锥曲线的标准方程(1)椭圆：x2a2y2b21(ab0)(焦点在 x 轴上)或y2a2x2b21(ab0)(焦点在 y 轴上)；(2)双曲线
5、：x2a2y2b21(a0，b0)(焦点在 x 轴上)或y2a2x2b21(a0，b0)(焦点在 y 轴上)；(3)拋物线：y22px，y22px，x22py，x22py(p0)3圆锥曲线的重要性质(1)椭圆、双曲线中 a，b，c 之间的关系在椭圆中：a2b2c2；离心率为 eca1b2a2.在双曲线中：c2a2b2；离心率为 eca1b2a2.(2)双曲线的渐近线方程与焦点坐标双曲线x2a2y2b21(a0，b0)的渐近线方程为 ybax，焦点坐标 F1(c,0)，F2(c,0)双曲线y2a2x2b21(a0，b0)的渐近线方程为 yabx，焦点坐标 F1(0，c)，F2(0，c)(3)拋物
6、线的焦点坐标与准线方程拋物线 y22px(p0)的焦点 Fp2，0，准线方程 xp2.拋物线 x22py(p0)的焦点 F0，p2，准线方程 yp2.4弦长问题(1)直线与圆锥曲线相交的弦长设而不求，利用根与系数的关系，进行整体代入即当斜率为 k，直线与圆锥曲线交于 A(x1，y1)，B(x2，y2)时，|AB|1k2|x1x2|1k2 x1x224x1x2.(2)过拋物线焦点的弦长拋物线 y22px(p0)过焦点 F 的弦 AB，若 A(x1，y1)，B(x2，y2)，则 x1x2p24，y1y2p2，弦长|AB|x1x2p.热点一 圆锥曲线的定义与标准方程例 1(1)(2018天津卷)已知
7、双曲线x2a2y2b21，(a0，b0)的离心率为 2，过右焦点且垂直于 x 轴的直线与双曲线交于 A、B 两点设A、B 到双曲线的同一条渐近线的距离分别为 d1 和 d2，且 d1d26，则双曲线的方程为()A.x24y2121 B.x212y241C.x23y291 D.x29y231解析 C 设双曲线的右焦点坐标为 F(c,0)(c0)，则 xAxBc，由c2a2y2b21 可得：yb2a，不妨设：Ac，b2a，Bc，b2a，双曲线的一条渐近线方程为：bxay0，据此可得：d1|bcb2|a2b2bcb2c，d2|bcb2|a2b2bcb2c，则 d1d22bcc 2b6，则 b3，b2
8、9，双曲线的离心率：eca1b2a21 9a22，据此可得：a23，则双曲线的方程为x23y291.(2)(2020太原模拟)已知 F1，F2 分别是双曲线 3x2y23a2(a0)的左、右焦点，P 是拋物线 y28ax 与双曲线的一个交点，若|PF1|PF2|12，则拋物线的准线方程为_解析 由题意得拋物线的焦点与双曲线的右焦点(2a,0)重合联立3x2y23a2，y28ax，消去 y 得 3x28ax3a20，解得 xP3a(负舍)由点 P 在双曲线上得|PF1|PF2|2a，又因为|PF1|PF2|12，所以|PF2|6a，又因为点 P 在拋物线上，所以|PF2|3a2a5a6a，解得
9、a1，所以拋物线的准线方程为 x2a2.答案 x2圆锥曲线定义及标准方程的关注点1圆锥曲线的定义是根本，“回归定义”是一种重要的解题策略对于圆锥曲线的定义不仅要熟记，还要深入理解细节部分：比如椭圆的定义中要求|PF1|PF2|F1F2|，双曲线的定义中要求|PF1|PF2|F1F2|，拋物线上的点到焦点的距离与到准线的距离相等的转化2当焦点位置无法确定时，拋物线常设为 y22ax 或 x22ay(a0)，椭圆常设为 mx2ny21(m0，n0，mn)，双曲线常设为 mx2ny21(mn0)3注意数形结合，提倡画出合理草图(1)(2019全国卷)已知椭圆 C 的焦点为 F1(1,0)，F2(1，
10、0)，过F2 的直线与 C 交于 A，B 两点若|AF2|2|F2B|，|AB|BF1|，则 C的方程为()A.x22y21 B.x23y221C.x24y231 D.x25y241解析：B 由已知|AF1|AF2|2a，|BF1|BF2|2a.又|AF2|2|F2B|，|AB|BF1|，|BF2|12a，|AF2|AF1|a，|BF1|32a.又|F1F2|2.a24a222a14a2494a22212a解得 a23，b22.椭圆 C 的方程为x23y221.选 B.(2)(2020龙岩质检)已知以圆 C：(x1)2y24 的圆心为焦点的拋物线 C1 与圆 C 在第一象限交于 A 点，B 点
11、是拋物线 C2：x28y 上任意一点，BM 与直线 y2 垂直，垂足为 M，则|BM|AB|的最大值为()A1 B2C1 D8解析：A 因为圆 C：(x1)2y24 的圆心为 C(1,0)，所以可得以 C(1,0)为焦点的拋物线方程为 y24x，由y24x，x12y24，解得 A(1,2)拋物线 C2：x28y 的焦点为 F(0,2)，准线方程为 y2，即有|BM|AB|BF|AB|AF|1，当且仅当 A，B，F(A 在 B，F 之间)三点共线时，可得最大值 1.热点二 圆锥曲线的几何性质数学运算素养数学运算圆锥曲线的性质与不等式综合中的核心素养以学习过的圆锥曲线和不等式相关知识为基础，通过将
12、已知条件代数化，并进行一系列的数学运算，从而解决问题.例 2(1)(2019长沙二模)设 F1，F2 分别是椭圆x2a2y2b21(ab0)的左，右焦点，若在直线 xa2c 上存在点 P，使线段 PF1 的中垂线过点 F2，则椭圆的离心率的取值范围是()A.0，22 B.0，33C.22，1D.33，1解析 D 设 Pa2c，y，线段 F1P 的中点 Q 的坐标为b22c，y2，(2)(2020石家庄模拟)已知双曲线 C：x2a2y2b21(a0，b0)的焦距为 2c，直线 l 过点23a，0 且与双曲线 C 的一条渐近线垂直，以双曲线 C 的右焦点为圆心，半焦距为半径的圆与直线 l 交于 M
13、，N 两点，若|MN|4 23 c，则双曲线 C 的渐近线方程为()Ay 2xBy 3xCy2xDy4x解析 B 由题意可设渐近线方程为 ybax，则直线 l 的斜率klab，直线方程为 yabx23a，整理可得 axby23a20.焦点(c,0)到直线的距离dac23a2a2b2 ac23a2c，则弦长为 2 c2d22 c2ac23a2 2c24 23 c，整理可得 c49a2c212a3c4a40，即 e49e212e40，分解因式得(e1)(e2)(e23e2)0.又双曲线的离心率 e1，则 eca2，又ba e21 3，双曲线的渐近线方程为 y 3x.故选 B.(1)求椭圆、双曲线的
14、离心率，关键是根据已知条件确定 a，b，c的等量关系，然后把 b 用 a，c 代换，求ca的值；在双曲线中由于 e21ba2，故双曲线的渐近线与离心率密切相关(2)圆锥曲线的几何性质常涉及一些不等关系，例如对椭圆x2a2y2b21(ab0)，有axa，byb,0e1 等，在求与圆锥曲线有关的一些量的范围，或者求这些量的最大值或最小值时，经常用到这些不等关系(1)(2018全国卷)已知双曲线 C：x2a2y2b21(a0，b0)的离心率为 2，则点(4,0)到 C 的渐近线的距离为()A.2B2C.3 22D2 2解析：D eca1b2a2 2.ba1.双曲线 C 的渐近线方程为 xy0，点(4
15、,0)到 C 的渐近线的距离 d4112 2.故答案选 D.(2)(2018北京卷改编)已知椭圆 M：x2a2y2b21(ab0)，双曲线 N：x2m2y2n21.若双曲线 N 的两条渐近线与椭圆 M 的四个交点及椭圆 M的两个焦点恰为一个正六边形的顶点，则椭圆 M 的离心率为_解析：设椭圆的右焦点为 F(c，0)，双曲线 N 的渐近线与椭圆 M 在第一象限内的交点为 A，由题意可知 Ac2，3c2，由点 A 在椭圆 M 上得，c24a23c24b21，b2c23a2c24a2b2，b2a2c2，(a2c2)c23a2c24a2(a2c2)，则 4a48a2c2c40，e48e240，e242
16、 3(舍)，e242 3.由 0e1，得 e 31.答案：31(3)(2019临沂三模)已知双曲线x2a2y2b21(a0，b0)的两条渐近线与拋物线 y22px(p0)的准线分别交于 A，B 两点，O 为坐标原点若双曲线的离心率为 2，AOB 的面积为 3，则 p_.解析：由 eca2，得 c2a，b 3a，所以双曲线的渐近线为 y 3x.又拋物线的准线方程为 xp2，联立双曲线的渐近线和拋物线的准线方程得 Ap2，3p2，Bp2，3p2，在AOB 中，|AB|3p，O 到 AB 的距离为p2，因为 SAOB 3，所以12 3pp2 3，p2.答案：2热点三 直线与圆锥曲线例 3(2019江
17、苏卷)如图，在平面直角坐标系 xOy 中，椭圆 C：x2a2y2b21(ab0)的焦点为 F1(1,0)，F2(1,0)过 F2 作 x 轴的垂线l，在 x 轴的上方，l 与圆 F2：(x1)2y24a2 交于点 A，与椭圆 C交于点 D.连接 AF1 并延长交圆 F2 于点 B，连接 BF2 交椭圆 C 于点 E，连接 DF1.已知 DF152.(1)求椭圆 C 的标准方程；(2)求点 E 的坐标审题指导(1)直接根据条件运用椭圆的定义求解(2)思路 1：结合(1)中结论求出点 A 的坐标，写出直线 AF1 的方程，并与圆的方程联立得点 B 的坐标，从而写出直线 BF2 的方程，将其与椭圆方
18、程联立求得点 E 的坐标思路 2：连接 EF1，注意到ABBF1E，所以 EF1F2A，可得 EF1x 轴，从而可得点 E 的横坐标为1，将 x1 与椭圆方程联立可得点 E 的坐标解(1)设椭圆 C 的焦距为 2c.因为 F1(1,0)，F2(1,0)，所以 F1F22，c1.又因为 DF152，AF2x 轴，所以 DF2DF21F1F225222232.因此 2aDF1DF24，从而 a2.由 b2a2c2，得 b23.因此椭圆 C 的标准方程为x24y231.(2)方法 1：由(1)知，椭圆 C：x24y231，a2.因为 AF2x 轴，所以点 A 的横坐标为 1.将 x1 代入圆 F2
19、的方程(x1)2y216，解得 y4.因为点 A 在 x 轴上方，所以 A(1,4)又 F1(1,0)，所以直线 AF1：y2x2.由y2x2，x12y216，得 5x26x110，解得 x1 或 x115.将 x115 代入 y2x2，解得 y125.因此 B115，125.又 F2(1,0)，所以直线 BF2：y34(x1)由y34x1，x24y231，得 7x26x130，解得 x1 或 x137.又因为 E 是线段 BF2 与椭圆的交点，所以 x1.将 x1 代入 y34(x1)，得 y32.因此 E1，32.方法 2：由(1)知，椭圆 C：x24y231.如图，连接 EF1.因为 B
20、F22a，EF1EF22a，所以 EF1EB，从而BF1EB.因为 F2AF2B，所以AB.所以ABF1E，从而 EF1F2A.因为 AF2x 轴，所以 EF1x 轴因为 F1(1,0)，由x1，x24y231，得 y32.又因为 E 是线段 BF2 与椭圆的交点，所以 y32.因此 E1，32.1在涉及弦长的问题中，应熟练地利用根与系数关系与弦长公式|AB|1k2|x2x1|，设而不求计算弦长；涉及过焦点的弦的问题，可考虑用圆锥曲线的定义求解，以简化运算2对于弦的中点问题常用“根与系数的关系”或“点差法”求解，在使用根与系数的关系时，要注意使用条件 0，在用“点差法”时，要检验直线与圆锥曲线
21、是否相交(1)(2019日照三模)中心为原点，一个焦点为 F(0,5 2)的椭圆，截直线 y3x2 所得弦中点的横坐标为12，则该椭圆方程为()A.2x2752y2251 B.x275y2251C.x225y2751 D.2x2252y2751解析：C 由已知知 c5 2，设椭圆的方程为x2a250y2a21，联立得x2a250y2a21，y3x2，消去 y 得(10a2450)x212(a250)x4(a250)a2(a250)0，设直线 y3x2 与椭圆的交点坐标分别为(x1，y1)，(x2，y2)，由根与系数关系得 x1x212a25010a2450，由题意知 x1x21，即12a250
22、10a24501，解得 a275，所以该椭圆方程为y275x2251，故选 C.(2)(2018全国卷)设抛物线 C：y24x 的焦点为 F，过点(2,0)且斜率为23的直线与 C 交于 M，N 两点，则FM FN()A5 B6C7 D8解析：D 如图焦点 F(1,0)，直线的方程为 y23(x2)，将其代入 y24x 得：x25x40，设 M(x1，y1)，N(x2，y2)，则 x1x25，x1x24，FM FN(x11，y1)(x21，y2)(x11)(x21)y1y2x1x2(x1x2)123(x12)23(x22)139 x1x219(x1x2)259139 4195259 8.故选 D.