1、第2讲 三角恒等变换与解三角形 高考总复习大二轮 数 学(新高考)考情考向高考导航1三角恒等变换是高考必考内容，可以单独命题，也可以与三角函数图象和性质综合，有时与解三角形综合难度一般不大，单独命题多以选择题、填空题的形式出现，有时与其他知识综合，以解答题的形式出现2解三角形主要考查正、余弦定理、面积的综合问题，有时也涉及三角恒等变换，难度中等单独考查以选择题、填空题为主，综合考查以解答题为主真题体验1(2019全国卷)已知 0，2，2sin 2cos 21，则 sin()A.15 B.55C.33D.2 55解析：B 0，2，由 2sin 2cos 21 得：4sin cos 2cos2，2
2、sin cos，2sin 1sin2，5sin2 1，sin2 15，sin 55.2(2019全国卷)ABC 的内角 A，B，C 的对边分别为 a，b，c，已知 asin Absin B4csin C，cos A14，则bc()A6 B5C4 D3解析：A asin Absin B4csin C，a2b24c2，cos A14，b2c2a22bc14，即3c22bc 14，bc4326.3(2019天津卷)在ABC 中，内角 A，B，C 所对的边分别为 a，b，c，已知 bc2a,3csin B4asin C.(1)求 cos B 的值；(2)求 sin2B6 的值解：(1)在ABC 中，由
3、正弦定理 bsin Bcsin C，得 bsin Ccsin B，又由 3csin B4asin C，得 3bsin C4asin C，即 3b4a.又因为 bc2a，得到 b43a，c23a，由余弦定理可得 cos Ba2c2b22aca249a2169 a22a23a14.(2)由(1)可得 sin B 1cos2B 154，从而 sin 2B2sin Bcos B 158，cos 2Bcos2Bsin2B78，故 sin2B6 sin 2Bcos6cos 2Bsin6 158 32 78123 5716.主干整合1两角和与差的正弦、余弦、正切公式(1)sin()sin cos cos s
4、in.(2)cos()cos cos sin sin.(3)tan()tan tan 1tan tan.2二倍角的正弦、余弦、正切公式(1)sin 22sin cos.(2)cos 2cos2sin22cos2112sin2.(3)tan 2 2tan 1tan2.3辅助角公式asin xbcos x a2b2sin(x)，其中 tan ba.4正弦定理及其变形在ABC 中，asin A bsin Bcsin C2R(R 为ABC 的外接圆半径)变形：a2Rsin A，b2Rsin B，c2Rsin C，sin A a2R，sin B b2R，sin C c2R，abcsin Asin Bsi
5、n C.5余弦定理及其变形在ABC 中，a2b2c22bccos A；变形：b2c2a22bccos A，cos Ab2c2a22bc.6三角形面积公式SABC12absin C12bcsin A12acsin B.热点一 三角恒等变换与求值数学运算素养数学运算三角函数式化简求值中的核心素养三角运算是重要的“数学运算”，在正确分析条件和所求的基础上明确运算的方法，灵活地选用三角公式，完成三角运算.例 1(1)(2019江苏卷)已知tan tan423，则 sin24 的值是_解析 方法 1：由tan tan4 tan tan 11tan tan 1tan tan 123，解得 tan 2 或1
6、3.sin24 22(sin 2cos 2)22(2sin cos 2cos21)2(sin cos cos2)22 2sin cos cos2sin2cos2 22 2tan 1tan21 22，将 tan 2 和13分别代入得 sin24 210.方法 2：tan tan4sin cos4cos sin423，sin cos4 23cos sin4.又 sin4sin4 sin4 cos cos4 sin 22，由，解得 sin cos4 25，cos sin4 3 210.sin24 sin4sin cos4 cos sin4 210.答案 210(2)(2018浙江卷)已知角 的顶点与
7、原点 O 重合，始边与 x 轴的非负半轴重合，它的终边过点 P35，45.()求 sin()的值；()若角 满足 sin()513，求 cos 的值解析()由角 的终边过点 P35，45 得 sin 45，所以sin()sin 45.()由角 的终边过点 P35，45 得 cos 35，由 sin()513得cos()1213.由()得cos cos()cos sin()sin，所以 cos 5665或 cos 1665.答案()45()5665或1665(1)三角变换的关键在于对两角和与差的正弦、余弦、正切公式，二倍角公式，三角恒等变换公式的熟记和灵活应用，要善于观察各个角之间的联系，发现题
8、目所给条件与恒等变换公式的联系，公式的使用过程要注意正确性，要特别注意公式中的符号和函数名的变换，防止出现张冠李戴的情况(2)求角问题要注意角的范围，要根据已知条件将所求角的范围尽量缩小，避免产生增解(1)(2019维坊三模)已知 sin 55，sin()1010，均为锐角，则 等于()A.512 B.3C.4D.6解析：C 因为，均为锐角，所以22.又 sin()1010，所以 cos()3 1010.又 sin 55，所以 cos 2 55，所以 sin sin()sin cos()cos sin()55 3 1010 2 55 1010 22.所以 4.(2)(2020广西三市联考)设
9、为锐角，若 cos6 45，则sin2 12 的值为_解析：因为 为锐角且 cos6 450，所以 66，2，所以 sin6 35.所以 sin2 12 sin26 4sin 26 cos 4cos 26 sin 4 2sin6 cos6 22 2cos26 1 23545 22 2452112 225 7 250 17 250.答案：17 250热点二 正、余弦定理的应用用正、余弦定理求解边、角、面积例 21(2019全国卷)ABC 的内角 A，B，C 的对边分别为 a，b，c.设(sin Bsin C)2sin2Asin Bsin C.(1)求 A；(2)若 2ab2c，求 sin C.解
10、析(1)由已知得 sin2Bsin2Csin2Asin Bsin C，故由正弦定理得 b2c2a2bc.由余弦定理得 cos Ab2c2a22bc12.因为 0A180，所以 A60.(2)由(1)知 B120C，由题设及正弦定理得 2sin Asin(120C)2sin C，即 62 32 cos C12sin C2sin C，可得 cos(C60)22.因为 0C120，所以 sin(C60)22，故 sin Csin(C6060)sin(C60)cos 60cos(C60)sin 60 6 24.关于解三角形问题，一般要用到三角形的内角和定理，正弦、余弦定理及有关三角形的性质，常见的三角
11、变换方法和原则都适用，同时要注意“三统一”，即“统一角、统一函数、统一结构”，这是使问题获得解决的突破口用正、余弦定理解决实际问题例 22(2019重庆二诊)如图，一辆汽车在一条水平的公路上向正西行驶，到 A 处时测得公路北侧一山顶 D 在西偏北 30的方向上，行驶 600 m 后到达 B 处，测得此山顶在西偏北 75的方向上，仰角为 30，则此山的高度 CD_m.解析 由题意，在ABC 中，BAC30，ABC18075105，故ACB45.又 AB600 m，故由正弦定理得 600sin 45 BCsin 30.解得 BC300 2m.在 RtBCD 中，CDBCtan 30300 2 33
12、 100 6(m)答案 100 6解三角形实际问题三步骤(1)分析题意，准确理解题意，分清已知与所求，尤其要理解题中的有关名词、术语；(2)根据题意画出示意图，并将已知条件在图形中标出；(3)将所求问题归结到一个或几个三角形中，通过合理运用正、余弦定理等有关知识正确求解(1)(2019威海三模)如图，在ABC 中，点 D 在 AC 上，ABBD，BC3 3，BD5，sinABC2 35，则 CD 的长为()A.14 B4 C2 5 D5解析：B 利用余弦定理求解因为 sinABCsinDBC2cosDBC2 35，在DBC 中，由余弦定理可得 CD2BD2BC22BDBCcosDBC25272
13、53 32 35 16，所以 CD4，故选 B.(2)如图所示，位于东海某岛的雷达观测站 A，发现其北偏东 45，与观测站 A 距离 20 2海里的 B 处有一货船正匀速直线行驶，半小时后，又测得该货船位于观测站 A 东偏北(045)的 C 处，且 cos 45.已知 A，C 两处的距离为 10 海里，则该货船的船速为_海里/小时解析：因为 cos 45，045，所以 sin 35，cos(45)22 45 22 357 210，在ABC 中，BC2800100220 2107 210 340，所以 BC2 85，该货船的船速为 4 85海里/小时答案：4 85热点三 与解三角形的交汇创新例
14、3(2020烟台模拟)已知在ABC 中，内角 A，B，C 的对边分别为 a，b，c，且 sin B 74，cos Asin Acos Csin C4 77.(1)求证：0B3；(2)若BABC32，求|BCBA|.审题指导(1)三角恒等变换，利用重要不等式转化关于 cos B的不等式(2)由数量积求 ac，再由模长公式结合余弦定理求模解析(1)证明：因为cos Asin Acos Csin Ccos Asin Ccos Csin Asin Asin CsinACsin Asin Csin Bsin Asin C4 77 1sin B，所以 sin Asin Csin2B，由正弦定理可得 b2a
15、c，因此 b2a2c22accos B2ac2accos B，所以 cos B12，又 0B，所以 0B3.(2)由(1)知 0B3，又 sin B 74，所以 cos B 1sin2B1 71634.所以32BABCcacos B34ac，解得 ac2，因此 b22.由余弦定理得 b2a2c22accos B，所以 a2c2b22accos B222345.从而|BCBA|2a2c22BCBA52328，故|BCBA|2 2.以向量的运算为载体考查三角函数、三角变换、解三角形及不等式这类综合问题的解法思路是：通过向量的运算把向量问题转化为三角函数问题或解三角形问题，再利用三角变换或正(余)弦
16、定理综合解决(2020山师附中模拟)已知 mcosx4，1，n3sinx4，cos2x4，设函数 f(x)mn.(1)求函数 f(x)的单调增区间；(2)设ABC 的内角 A，B，C 所对的边分别为 a，b，c，且 a，b，c 成等比数列，求 f(B)的取值范围解析：(1)f(x)mncosx4，1 3sinx4，cos2x4 sinx26 12，令 2k2x262k2，则 4k43 x4k23，kZ，所以函数 f(x)单调递增区间为4k43，4k23，kZ.(2)由 b2ac 可知 cos Ba2c2b22aca2c2ac2ac2acac2ac12(当且仅当 ac 时取等号)，所以 0B3，
17、6B263，1f(B)312，综上 f(B)的取值范围为1，312.高考解答题审题与规范(二)三角函数与解三角形类考题重在“变换”变角 已知角与特殊角的变换、已知角与目标角的变换、角与其倍角的变换、两角与其和差角的变换以及三角形内角和定理的变换运用变式 在解决解三角形的问题时，常利用正、余弦定理化边为角或化角为边等.思维流程真题案例(12 分)(2019全国卷)ABC 的内角 A、B、C 的对边分别为 a，b，c.已知 asinAC2bsin A(1)求 B；(2)若ABC 为锐角三角形，且 c1，求ABC 面积的取值范围.审题指导(1)利用正弦定理将已知条件统一成角的关系，再用诱导公式、二倍
18、角公式变形化简，解出角B2的正弦值，从而得角 B.(2)结合(1)及已知，把三角形面积表示成 a 的函数，再利用正弦定理将 a 表示为角 C 的三角函数，注意到锐角三角形及角 B 的大小，确定角 C 的范围，进而得解.审题方法条件是解题的主要材料，充分利用条件间的内在联系是解题的必经之路审视条件要充分挖掘每一个条件的内涵和隐含信息，发掘条件的内在联系.规范解答解析(1)由题设及正弦定理得 sin AsinAC2sin Bsin A1 分因为 sin A0，所以 sinAC2sin B2 分由 ABC180，可得 sinAC2cosB2，故 cosB22sinB2cosB2.3 分因为 cosB
19、20，故 sinB212，因此 B60.5 分(2)由题设及(1)知ABC 的面积 SABC 34 a.6 分由正弦定理得 acsin Asin C sin120Csin C32tan C12.8 分由于ABC 为锐角三角形，故 0A90，0C90.由(1)知 AC120，所以 30C90，10 分故12a2，11 分从而 38 SABC 32.因此，ABC 面积的取值范围是38，32.12 分 评分细则第(1)问踩点得分正确利用正弦定理得 1 分sin A0 正确化简得 1 分利用 ABC180，恒等变形得 1 分cosB20 得 sinB212得 1 分；进而求出 B 得 1 分第(2)问踩点得分表示出 SABC 得 1 分利用正弦定理并能表示出 a 得 2 分利用锐角和 B60，得出 C 的范围得 2 分由 C 的范围得出 a 的范围得 1 分求出 SABC 的范围得 1 分.