1、正弦定理和余弦定理(强化练)一、选择题1已知ABC中，a4，b4，A30，则B等于()A30 B30或150C60 D60或120解析：选D.由，得sin B，将a4，b4，A30，代入得sin Bsin 30，又ab，0B180.所以B60或120.2在ABC中，已知角A，B，C所对的边分别为a，b，c，且a3，c8，B60，则ABC的周长是()A17 B19C16 D18解析：选D.由余弦定理b2a2c22accos B，有b296424，即b7，则abc18.故选D.3在锐角三角形ABC中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c，若b2asin B，则角A等于()A30 B45C60 D7
2、5解析：选A.因为b2asin B，所以利用正弦定理的变式得sin B2sin Asin B因为sin B0，A为锐角，所以sin A，所以A30.4在ABC中，已知a17，b24，A45，则此三角形解的情况为()A无解 B两解C一解 D解的个数不确定解析：选B.由正弦定理得sin B1，即sin B1，因为A45，所以B有两解，即三角形有两解5ABC的两边长分别为2，3，其夹角的余弦值为，则其外接圆的半径R为()A. B.C. D.解析：选C.不妨设c2，b3，则cos A，sin A.因为a2b2c22bccos A，所以a232222329，所以a3.因为2R，所以R.6在ABC中，角A
3、，B，C所对的边分别为a，b，c，A，ac，则()A1 B2C3 D4解析：选A.由余弦定理，得cos A，故bc或b2c(舍去)，所以1，由正弦定理，得1，故选A.7在ABC中，角A，B，C的对边分别为a，b，c，且cos2，则ABC是()A直角三角形B锐角三角形C等边三角形D等腰直角三角形解析：选A.在ABC中，因为cos2，所以，所以cos A.由余弦定理，知，所以b2c2a22b2，即a2b2c2，所以ABC是直角三角形8(2018安徽师大附中期中)在ABC中，内角A，B，C的对边分别是a，b，c，若a2b2bc，sin C2sin B，则A()A30 B60C120 D150解析：选
4、A.因为sin C2sin B，所以c2b.因为a2b2bc，所以a2b2c2bcc2，所以b2c2a2c2bc，所以cos A，所以A30.9在圆内接四边形ABCD中，AB3，BC4，CD5，AD6，则cos A()A. B.C. D.解析：选C.在ABD中，BD2AB2AD22ABADcos A，在CBD中，BD2BC2CD22BCCDcos C.因为cos Ccos A，所以AB2AD22ABADcos ABC2CD22BCCDcos A代入数值可得cos A.10(2017高考全国卷)ABC的内角A、B、C的对边分别为a、b、c.已知sin Bsin A(sin Ccos C)0，a2
5、，c，则C()A. B.C. D.解析：选B.因为sin Bsin A(sin Ccos C)0，所以sin(AC)sin Asin Csin Acos C0，所以sin Acos Ccos Asin Csin Asin Csin Acos C0，整理得sin C(sin Acos A)0，因为sin C0，所以sin Acos A0，所以tan A1，因为A(0，)，所以A，由正弦定理得sin C，又0C，所以C.故选B.二、填空题11ABC中，A60，a3，则_解析：由题知，设ABC外接圆半径为R，则2R2，则2R2.答案：212在ABC中，角A、B、C的对边分别为a，b，c，若(a2c2
6、b2)tan Bac.则角B的值为_解析：因为cos B，所以a2c2b22accos B，所以由题意可得2accos Btan Bac，所以sin B，所以B或.答案：或13ABC的三个内角A，B，C所对的边分别为a，b，c，asin Asin Bbcos2Aa，则_解析：由正弦定理sin2Asin Bsin Bcos2Asin A，即sin B(sin2Acos2A)sin A.所以sin Bsin A，所以.答案：14E，F是等腰直角三角形ABC斜边AB上的三等分点，则tanECF_解析：不妨设AB6，ACBC3，由余弦定理得CECF，再由余弦定理得cosECF，所以sinECF，所以t
7、anECF.答案：三、解答题15在ABC中，a2b2mc20(m为常数)，且，求m的值解：由余弦定理c2a2b22abcos C，得a2b2c22abcos C，由a2b2mc20，得c22abcos Cmc2，即2abcos C(m1)c2.结合正弦定理，得2sin Asin Bcos C(m1)sin2C，又由，得，即sin Asin Bcos Csin2C，得m12，故m3.16已知在ABC中，BC15，ABAC78，sin B，求BC边上的高AD的长解：在ABC中，设AB7x，则AC8x，由正弦定理，得，则sin C，所以C60或C120(舍去)再由余弦定理，得(7x)2(8x)215
8、228x15cos 60，所以AB21或AB35.在ABD中，ADABsin BAB，所以AD12或AD20.17(2018康杰中学期中检测)已知在ABC中，角A，B，C所对的边分别是a，b，c，且.(1)求A的大小；(2)若a6，求bc的取值范围解：(1)由正弦定理，得，整理得sin Acos A，即tan A.又0A，所以A.(2)因为4，所以b4sin B，c4sin C，则bc4sin B4sin C4sin Bsin12sin.因为0B，则B，所以sin1(当且仅当B时，等号成立)，得6bc12，于是bc的取值范围是(6，1218在ABC中，角A，B，C的对边分别为a，b，c，且a2(bc)2(2)bc，sin Asin Bcos2，BC边上的中线AM的长为.(1)求角A和角B的大小；(2)求ABC的周长解：(1)由a2(bc)2(2)bc，得a2b2c2bc，所以cos A.又0A，所以A.由sin Asin Bcos2，得sin B，即sin B1cos C，则cos C0，即C为钝角所以B为锐角，且BC，则sin1cos C，化简得cos(C)1，解得C，所以B.(2)由(1)，知ab，由余弦定理得AM2b22bcos Cb2()2，解得b2.由，可得c，即c2.所以ABC的周长为42.6