1、1.2.4诱导公式(一)明目标、知重点1.了解三角函数的诱导公式的意义和作用.2.理解诱导公式的推导过程.3.能运用有关诱导公式解决一些三角函数的求值、化简和证明问题.1.设为任意角，则2k(kZ)，(2k1)(kZ)的终边与的终边之间的对称关系相关角终边之间的对称关系2k与终边相同(2k1)与关于原点对称与关于x轴对称2.诱导公式一三(1)公式一：sin(2k)sin ，cos(2k)cos ，tan(2k)tan ，其中kZ.(2)公式二：sin()sin ，cos()cos ，tan()tan .(3)公式三：sin(2k1)sin ，cos(2k1)cos ，tan(2k1)tan ，
2、其中kZ.情境导学在初中，我们已经会求锐角的三角函数值.对于90360内的三角函数我们能否进一步把它们转化到锐角范围内来求解.本节课将解决这一问题.探究点一诱导公式一思考1诱导公式一是什么？答由任意角的三角函数的定义可以知道，终边相同的角的同一三角函数值相等.由此得到诱导公式一：sin(2k)sin ，cos(2k)cos ，tan(2k)tan ，其中kZ.思考2诱导公式一的作用是什么？答把求任意角的三角函数值转化为求0360的三角函数值.例1求下列各式的值.(1)cos tan；(2)sin(1 320)cos 1 110cos(1 020)sin 750tan 495.解(1)原式cos
3、tancos tan 1.(2)原式sin(4360120)cos(336030)cos(336060)sin(236030)tan(360135)sin 120cos 30cos 60sin 30tan 13510.反思与感悟利用诱导公式一可把负角的三角函数化为0到2间的三角函数，也可把大于2的角的三角函数化为0到2间的三角函数，即实现了“负化正，大化小”.同时要熟记特殊角的三角函数值.跟踪训练1求下列各式的值：(1)costan ；(2)sin 630tan 1 125tan 765cos 540.解(1)原式costancos tan 1.(2)原式sin(360270)tan(3360
4、45)tan(236045)cos(360180)sin 270tan 45tan 45cos 18011110.探究点二诱导公式二思考1设角的终边与单位圆的交点为P1(x，y)，角的终边与角的终边有什么关系？如图，的终边与单位圆的交点P2坐标如何？答角的终边与角的终边关于x轴对称.角与单位圆的交点为P2(x，y).思考2根据三角函数定义，的三角函数与的三角函数有什么关系？答sin y，cos x，tan ；sin()ysin ；cos()xcos ，tan()tan .即诱导公式二sin()sin ，cos()cos ，tan()tan .思考3诱导公式二有何作用？答 将负角的三角函数转化为
5、正角的三角函数.探究点三诱导公式三思考1设角的终边与单位圆交于点P1(x，y)，则角的终边与角的终边有什么关系？ 如图，设角的终边与单位圆交于点P1(x，y)，则角的终边与单位圆的交点P2的坐标如何？答 角的终边与角的终边关于原点O对称.P2(x，y).思考2根据三角函数定义，sin() 、cos()、tan()的值分别是什么？对比sin ，cos ，tan 的值，(2k1)的三角函数与的三角函数有什么关系？答 sin()y，cos()x，tan().诱导公式三sin(2k1)sin ，cos(2k1)cos ，tan(2k1)tan .思考3公式三有何作用？答第三象限角的三角函数转化为第一象
6、限角的三角函数.小结公式一三都叫做诱导公式，他们分别反映了2k(kZ)，(2k1)(kZ)的三角函数值，等于的同名函数值，前面加上一个把看成锐角时原函数值的符号. 简记为“函数名不变，符号看象限”！例2利用公式求下列三角函数的值：(1)cos 225；(2)sin ；(3)sin；(4)cos(2 040).解(1)cos 225cos(18045)cos 45；(2)sin sinsin ；(3)sinsin sin；(4)cos(2 040)cos 2 040cos(6360120)cos 120cos(18060)cos 60.反思与感悟利用诱导公式求三角函数值时，先将不是0,2)内的角
7、的三角函数，转化为0,2)内的角的三角函数，或先将负角转化为正角后再转化到范围内的角的三角函数值.跟踪训练2求下列三角函数值.(1)sin；(2)cos ；(3)tan(855).解(1)sinsin sin(6)sin sinsin ；(2)cos cos(4)cos coscos ；(3)tan(855)tan 855tan(2360135)tan 135tan(18045)tan 451.例3化简：.解sin(180)sin(180)sin(180)(sin )sin ，cos(180)cos(180)cos(180)cos ，所以，原式1.反思与感悟利用诱导公式进行化简，主要是进行角的
8、转化，最终达到角的统一，能求值的要求出值.跟踪训练3化简：.解原式tan .例4已知cos，求cossin2的值.解cossin2cossin2coscos2cos121.反思与感悟对于给值求值问题，要注意观察题目条件中的角与所求问题中的角之间的联系，然后选择恰当的诱导公式进行转化，一般采用代入法求值.跟踪训练4已知cos()，2，求sin(3)cos()的值.解cos()cos ，cos ，2，2，sin .sin(3)cos()sin(3)cos()sin()(cos )sin cos (sin cos ).1.求下列三角函数的值.(1)sin 690；(2)cos；(3)tan(1 84
9、5).解(1)sin 690sin(360330)sin 330sin(180150)sin 150sin(18030)sin 30.(2)coscos cos(6)cos coscos .(3)tan(1 845)tan(536045)tan(45)tan 451.2.化简：.解原式1.3.证明：(1)ncos ，nZ.证明当n为偶数时，令n2k，kZ，左边cos .右边(1)2kcos cos ，左边右边.当n为奇数时，令n2k1，kZ，左边cos .右边(1)2k1cos cos ，左边右边.综上所述，(1)ncos ，nZ成立.呈重点、现规律1.明确各诱导公式的作用诱导公式作用公式一将
10、角转化为02之间的角求值公式二将负角转化为正角求值公式三将角转化为0之间的角求值2.诱导公式的记忆这三组诱导公式的记忆口诀是“函数名不变，符号看象限”.其含义是诱导公式两边的函数名称一致，符号则是将看成锐角时原角所在象限的三角函数值的符号.看成锐角，只是公式记忆的方便，实际上可以是任意角.一、基础过关1.sin 585的值为()A. B. C. D.答案A2.若n为整数，则代数式的化简结果是()A.tan B.tan C.tan D.tan 答案C3.若cos()，2，则sin(2)等于()A. B. C. D.答案D解析由cos()，得cos ，故sin(2)sin (为第四象限角).4.t
11、an(5)m，则的值为()A. B. C.1 D.1答案A解析原式.5.记cos(80)k，那么tan 100等于()A. B.C. D.答案B解析cos(80)k，cos 80k，sin 80.tan 80.tan 100tan 80.6.已知cos，则cos .答案解析coscoscos.7.化简：sin(n)cos(n)，nZ.解当n为偶数时，n2k，kZ.原式sin(2k)cos(2k)sincos(sin )cossin cos sin cos .当n为奇数时，n2k1，kZ.原式sin(2k)cos(2k)sincossin cossin cos .sin(n)cos(n)，nZ.
12、二、能力提升8.若sin()log8 ，且，则cos()的值为()A. B.C. D.以上都不对答案B解析sin()sin log2 2，cos()cos .9.已知tan(4)m(m1)，则的值为 .答案10.设f(x)asin(x)bcos(x)2，其中a、b、为非零常数.若f(2 015)1，则f(2 016) .答案3解析f(2 015)asin(2 015)bcos(2 015)2asin()bcos()22(asin bcos )1，asin bcos 1，f(2 016)asin(2 016)bcos(2 016)2asin bcos 23.11.若cos()，求的值.解原式ta
13、n .cos()cos()cos ，cos .为第一象限角或第四象限角.当为第一象限角时，cos ，sin ，tan ，原式.当为第四象限角时，cos ，sin ，tan ，原式.综上，原式.12.已知tan ，是关于x的方程3x23kx3k2130的两实根，且3，求cos(2)sin(2)的值.解因为tan ，是关于x的方程3x23kx3k2130的两实根，所以tan (3k213)1，可得k2.因为30，sin 0，cos 0，故k，所以tan ，所以sin cos ，所以(cos sin )212sin cos 12.因为cos sin 0，所以cos sin .所以cos(2)sin(2)cos sin .三、探究与拓展13.在ABC中，若sin(2A)sin(B)，cos Acos(B)，求ABC的三个内角.解由条件得sin Asin B，cos Acos B，平方相加得2cos2A1，cos A，又A(0，)，A或.当A时，cos B0，B，A，B均为钝角，不合题意，舍去.A，cos B，B，C.