1、 函数的单调性的应用基础巩固 站起来，拿得到！1.已知函数y=ax2+bx+c(a0)图象的对称轴为直线x=3,则下列关系式中,不正确的是( )A.f(6)f(4) B.f(2)f()C.f(3+)=f(3-) D.f(0)f(7).2.设f(x)为定义在A上的减函数,且f(x)0,则下列函数:(1)y=3-2 004f(x);(2)y=1+;(3)y=f2(x);y=2 005+f(x).其中为增函数的个数是( )A.1 B.2 C.3 D.4答案：B解法一:令f(x)=(x0),则(1)y=3-2 004f(x)=3-;(2)y=1+=1+1 002x;(3)y=f2(x)=;(4)y=2
2、 005+在(0,+)上为增函数的是(1)(2),故正确命题的个数为2.解法二:利用单调函数的定义判断.3.函数f(x)在定义域上单调递减，且过点(-3,2)和(1,-2),则使|f(x)|2的自变量x的取值范围是( )A.(-3,+) B.(-3,1) C.(-,1) D.(-,+)答案：B解析：|f(x)|2-2f(x)2f(1)f(x)f(-3),又f(x)单调递减,故-3x1.4.已知函数f(x)=x2-6x+7的图象如图所示,下列四个命题中正确的命题个数为( )(1)函数在(-,1上单调递减 (2)函数的单调递减区间为(-,1 (3)函数在3,4上单调递增 (4)函数的单调递增区间为
3、3,4A.1 B.2 C.3 D.4答案：B解析：由图形知(1)(3)正确;函数的单调递增区间为3,+),递减区间为(-,3,故(2)(3)错误.5.若函数f(x)=ax2+2x+5在(2,+)上是单调递减的,则a的取值范围是_.答案：a-解析：若a=0,则f(x)=2x+5,与已知矛盾,a0.这时,f(x)=ax2+2x+5=a(x+)2+5-,对称轴为x=-,由题设知,解得a-.6.已知f(x)在R上满足f(-x)+f(x)=0,且在0,+上为增函数,若f()=1,则-1f(2x+1)0的解集为_.答案：(-,-解析：由f(-x)+f(x)=0f(0)=0,f(-)=-1,故由-1f(2x
4、+1)0f(-)f(2x+1)f(0),可证f(x)在R上为增函数,故-2x+10-x-.7.已知f(x)是定义在(0,+)上的增函数,且f()=f(x)-f(y),f(2)=1,解不等式f(x)-f()2.解：2=f(2)+f(2),而f()=f(x)-f(y)可以变形为f(y)+f()=f(x).令y=2,=2,即x=2y=4,则有f(2)+f(2)=f(4),2=f(4).f(x)-f()2可以变形为fx(x-3)f(4).又f(x)是定义在(0,+)上的增函数,解得3x4.原不等式的解集为x|3x4.能力提升 踮起脚,抓得住!8.函数y=-|x-1|(x+5)的单调增区间为( )A.(
5、-,-2 B.-2,+) C.-2,1) D.1,+)答案：C解析：y=-|x-1|(x+5)=由图形易知选C.9.已知函数f(x)在定义域a,b上是单调函数,函数值域为-3,5,则以下说法正确的是( )A.若f(a)f(b)f()f(4)解析：034f()f(4).11.函数y=-x2-10x+11在区间-1,2上的最小值是_.答案：-13解析：因为y=-x2-10x+11=-(x+5)2+36,根据二次函数的性质可知函数在-1,2上是减函数,故函数的最小值是f(2)=-22-102+11=-13.12.已知函数f(x)的定义域为(-1,1),求满足下列条件的实数a的取值范围:(1)f(x)
6、在定义域内单调递减;(2)f(1-a)f(a2-1).解：f(1-a)f(a2-1),又f(x)在定义域(-1,1)内单调递减,则或-a00a1.故a的取值范围为a|0a1.13.设函数y=f(x)(xR且x0)对任意非零实数x、y都有f(xy)=f(x)+f(y)成立.(1)求证:f(1)=f(-1)=0且f()=-f(x)(x0);(2)判断f(x)与f(-x)的关系;(3)若f(x)在(0,+)上单调递增,解不等式f()-f(2x-1)0.(1)证明:令x=y=1,则f(1)=f(1)+f(1)得f(1)=0.再令x=y=-1,则f(1)=f(-1)+f(-1)得f(-1)=0.对任意x
7、0,有f(x)+f()=f(1)=0,f()=-f(x).(2)解：对任意xR且x0,有f(-x)+f(-1)=f(x),f(-x)=f(x).(3)解：f(x)在(0,+)上单调递增,则f(x)在(-,0)上单调递减,则f()=-f(x),则-f(x)-f(2x-1)0f(x)+f(2x-1)0,即fx(2x-1)000时,f(x)x2,则f(x1)-f(x2)=f(x1)+f(-x2)=f(x1-x2).x1x2,x1-x20.又x0时f(x)0,f(x1-x2)0.由定义可知f(x)在R上为单调递减函数.(2)解：f(x)在R上是减函数,f(x)在-3,3上也是减函数.f(-3)最大,f(3)最小.f(3)=f(2)+f(1)=f(1)+f(1)+f(1)=3(-)=-2.f(-3)=-f(3)=2,即f(x)在-3,3上最大值为2,最小值为-2.