1、第3节 波长、频率和波速 1理解波长、频率和波速的物理意义，能从波的图象中求出波长。2理解波长、频率和波速之间的关系，并能进行相关的计算。3知道时间 t 前后波形图的确定方法，会画出其波形图。4了解波的多解问题，掌握解决多解问题的方法。01课前自主学习 一、波长1定义：在波动中，总是相同的两个质点间的距离，用物理符号表示。2特征：在横波中，两个相邻或两个相邻之间的距离等于波长。在纵波中，两个相邻或两个相邻之间的距离等于波长。01 振动相位02 相邻03 04 波峰05 波谷06 密部07 疏部二、周期和频率1概念：波的周期(频率)等于波源及介质中各个质点的 (振动频率)，周期用符号表示，频率用
2、符号表示。2规律：在波动中，各个质点的振动周期(或频率)均由波源决定，并且均相同，它们都波源的振动周期(或频率)。01 振动周期02 T03 f04 等于3关系：周期 T 和频率 f 互为，即。4时空关系：在一个周期内，振动在介质中传播的距离等于。三、波速1定义：机械波在介质中传播的速度。波速等于和的比值。05 倒数06 T1f07 一个波长 01 波长02 周期2定义式：vT，它又等于和的乘积，公式为 vf。3决定因素：机械波在介质中的传播速度由的性质决定。在不同的介质中，波速一般不同。另外，波速还与有关。03 波长04 频率05 介质本身06 温度判一判(1)两个波峰(或波谷)之间的距离为
3、一个波长。()(2)两个密部(或疏部)之间的距离为一个波长。()(3)振动在介质中传播一个波长的时间是一个周期。()想一想频率越大的机械波在介质中传播得越快吗？提示：波的传播速度与频率无关，只与介质的性质有关。提示 02课堂探究评价 课堂任务 波长、频率、周期和波速一、波长1定义：在波动中，振动相位总是相同的两个相邻质点间的距离。2特征：在横波中，两个相邻波峰或两个相邻波谷之间的距离等于波长。在纵波中，两个相邻密部或两个相邻疏部之间的距离等于波长。二、周期(T)与频率(f)1波的周期(或频率)就等于波源质点振动的周期(或频率)。2物理意义波的周期(或频率)是反映波变化快慢的物理量，它不能反映波
4、传播的快慢。(1)波的周期由波源决定，与传播介质无关。同一列波在不同介质中传播时能够保持不变的是周期(或频率)。(2)每经历一个周期，各振动质点完成一次全振动，波形图将恢复原状。三、波速(v)1定义单位时间内振动所传播的距离叫做波速，即 vxt。2物理意义波速描述的是机械波在介质中传播的快慢程度，它不表示介质中质点运动的快慢。(1)机械波的传播速度的大小由介质的性质决定，同一列波在不同介质中传播速度是不同的。(2)机械波在同一均匀介质中是匀速传播的，所以传播距离 xvt。四、波长、频率(或周期)1由于每经过一个周期 T 的时间振动传播的距离等于一个波长，所以波速 vT。2由于周期和频率互为倒数
5、，所以 vf。例 1(多选)关于公式 vf，下列说法中正确的是()Avf 适用于一切波B由 vf 知，f 增大，则波速 v 也增大Cv、f 三个量中，对同一列波来说，在不同介质中传播时保持不变的只有 fD由 vf 知，波长是 6 m 的声波为波长是 3 m 的声波传播速度的 2倍(1)公式 vf 的适用范围？提示：只要是波，波速和波长均满足关系式 vf。提示 (2)波速的大小由什么决定？提示：波速大小由介质决定，只要介质相同波速就相同。提示 规范解答 公式 vf 适用于一切波，无论是机械波还是电磁波，A 正确；机械波的波速仅由介质决定，与频率 f、波长 无关，所以 B、D 错误；对同一列波，其
6、频率由振源决定，与介质无关，C 正确。完美答案 AC答案 1波从一种介质进入另外一种介质，波源没变，波的频率不会发生变化；波速的大小由介质决定，介质不同波速就不同，由于波速的改变，波长改变。2波长也是波的周期性的体现，它体现的是波在空间上的周期性。3波传播的速度与质点振动的速度无必然关系。4注意波长、频率、波速的关系。变式训练1 如图甲所示，一根水平张紧的弹性长绳上有等间距的 Q、P、O、P、Q 质点，相邻两质点间距离为 1 m。t0 时刻 O 质点从平衡位置开始沿 y 轴正方向振动，并产生分别向左、向右传播的波，O 质点振动图象如图乙所示，当 O 点第一次达到正方向最大位移的时刻，P 点刚开
7、始振动，则()AP、P 两点的振动步调始终相反B当 Q点振动第一次达到负向最大位移时，O 质点已经通过 25 cm的路程Ct4 s 时 P 点处于波峰D若 O 质点振动加快，波的传播速度变大答案 B答案 解析 依题意知，向左、向右传播的两列波关于 y 轴左右对称的两点，步调总是相同，A 错误；t1 s 时，O 点第一次达到正方向最大位移，P 点刚开始向上运动，T4 s，4 m，振动从 O 点传到 Q时，O 点已经振动了半个周期，Q起振方向向上，当 Q点振动第一次达到负向最大位移时，质点 O 共运动了 114周期，第二次到达正向最大位移处，通过的路程为 x5A25 cm，B 正确；T4 s，故
8、t4 s 时，质点 O 回到平衡位置向上运动，所以此时 P 点处于波谷，C 错误；波速由介质决定，与频率无关，故 O 质点振动加快，波的传播速度不变，D 错误。解析 课堂任务 时间 t 前后波形图的确定方法1t 后波形图的画法(1)平移法原理：波传播的是运动形式，即波形的传播。方法与步骤a算出波在 t 时间内传播的距离：xvttT(nx)(n0,1,2,3)。b把波形沿波的传播方向平移 x，如图所示的图象。c然后将图线向左顺延即可，如图中虚线部分。(2)特殊点法原理：参与波动的介质质点都在各自的平衡位置附近振动，并不随波迁移。方法与步骤a取平衡位置相距为4的两个特殊点(最大位移处与平衡位置处)
9、为研究对象。b根据图示时刻质点的振动方向，判定出 t通常要算出 t(nt)T(n0,1,2,3)时间后两质点的位置。c过这两位置画出正弦图象即可。如图所示，假设 t34T，t 后波形如图中所示。2t 前波形图的画法如果运用平移法，只需将波形逆着波的传播方向推进；如果运用特殊点法，只需沿着质点振动的反方向找出 t 后的质点位置，其他做法不变。例 2 如图所示是一列简谐波在某时刻的波形图，若每隔 0.2 s 波沿x方向行进 0.8 m，试画出 17 s 后的波形图。(1)该简谐波的波速应该怎样求解？提示：利用 vxt求解，其中 x、t 分别为波传播的距离和时间。提示 (2)若 17 秒内波向x 方
10、向传播(nx)m，应将此时的波如何移动才能得出 17 秒后的波形？提示：应将波沿x 方向移动 x m 即可。提示 规范解答 解法一：平移法由题知波速 v0.80.2 m/s4 m/s，由题图知波长 8 m。可知周期 Tv84 s2 s,17 s 内的周期数 ntT 17 s2 s 812，将 8 舍弃，取12，根据波动的时间与空间的周期性，将波向x 方向平移12 即可，如图中虚线所示；答案 解法二：特殊点法如图所示，在题图中原波形上取两特殊质点 a、b，因 t812T，舍弃 8，取12T，找出 a、b 两质点再振动T2后的位置 a、b，过 a、b画一条正弦曲线即可。完美答案 见规范解答答案 平
11、移法确定 t 前后波形图要点用平移法作图时，既可通过 x 与 的关系确定波形移动，也可通过 t与 T 的关系确定，因为在一个周期内，波向前传播一个波长的距离，如上例。变式训练2 如图甲所示是一列简谐横波在 t0.2 s 时的波形图，其中O 是波源，图乙是波上某一点 P 的振动图象。(1)该波的波长为_m，周期为_s，波速为_m/s；(2)说明 P 质点的位置；(3)画出 t0.4 s 和 t0.55 s 的波形图。答案(1)4 0.2 20(2)见解析(3)见解析答案 解析(1)由甲图知波长 4 m，由乙图知周期 T0.2 s。所以波速 vT20 m/s。(2)由乙图知在 t0.2 s 时 P
12、 质点经过平衡位置正向上运动，且它已振动了一个周期，所以它应是甲图中的波源 O，其横坐标 x0。解析(3)t0.4 s 时，从甲图算起 t10.2 sT，波形正好向右平移了一个波长，因此此时 04 m 之间的波形与 t0.2 s 时的波形相同，此时的波形如图中实线所示。t0.55 s 时，从甲图算起 t20.35 s134T。由画图的一般做法：去整取零法，只需把 t0.2 s 时的波形向右平移34 即可，结果如图中虚线所示。解析 课堂任务 波的多解问题1造成波动问题多解的主要因素(1)周期性时间周期性：相隔周期整数倍时间的两个时刻的波形图完全相同，时间间隔 t 与周期 T 的关系不明确会导致多
13、解。空间周期性：沿传播方向上，相隔波长整数倍距离的两质点的振动情况完全相同，质点间距离 x 与波长 的关系不明确会导致多解。(2)双向性对给定的波形图，波的传播方向不同，质点的振动方向也不同，反之亦然。传播方向双向性：波的传播方向不确定。振动方向双向性：质点振动方向不确定。2波动问题的几种可能性(1)质点达到最大位移处，则有正向和负向最大位移两种可能。(2)质点由平衡位置开始振动，则有起振方向向上、向下(或向左、向右)的两种可能。(3)只告诉波速不指明波的传播方向，应考虑沿 x 轴正方向和 x 轴负方向两个方向传播的可能。(4)只给出两时刻的波形，则有多次重复出现的可能等。3解决波的多解问题的
14、方法(1)解决周期性多解问题时，往往采用从特殊到一般的思维方法，即找到一个周期内满足条件的特例，在此基础上，再加上时间 nT；或找到一个波长内满足条件的特例，在此基础上再加上距离 n。(2)解决双向性多解问题时，养成全面思考的习惯，熟知波有向正、负(或左、右)两方向传播的可能，质点有向上、向下(或向左、向右)两方向振动的可能。例 3 一列简谐横波图象如图所示，t1 时刻的波形如图中实线所示，t2 时刻的波形如图中虚线所示，已知 tt2t10.5 s，问：(1)这列波的可能波速的表达式？(2)若波向左传播，且 3Tt4T，波速多大？(3)若波速 v68 m/s，则波向哪个方向传播？(1)题目中未
15、明确波的传播方向应如何处理？提示：首先看能否通过振动方向得到波的传播方向，因本题也未明确 t与 T 的关系，故无法得知波中质点振动方向及波的传播方向，所以应对波的传播方向进行讨论。提示 (2)确定 x 与 的关系时，考虑周期性吗？提示：是的。这是波的空间周期性造成的。提示 规范解答(1)未明确波的传播方向和 t 与 T 的关系，故有两组系列解。当波向右传播时：v右nxt8n20.5 m/s4(4n1)m/s(n0,1,2，)当波向左传播时：v 左n1xt8n120.5 m/s4(4n3)m/s(n0,1,2，)(2)明确了波的传播方向，并限定 3Tt4T，设此时间内波传播距离为 s，则有 3s
16、4，即 n3，代入式 v 左4(4n3)m/s4(433)m/s60 m/s。答案(3)给定的波速 v68 m/s，则给定时间 t 内波传播距离 xvt680.5 m34 m414，故波向右传播。完美答案(1)向右传播时：4(4n1)m/s(n0,1,2，)向左传播时：4(4n3)m/s(n0,1,2，)(2)60 m/s(3)向右传播答案 解决波的多解问题的一般思路(1)首先考虑双向性，若题目未告知波的传播方向或没有其他条件暗示，应首先按波传播的可能性进行讨论。(2)对设定的传播方向，确定 t 和 T 的关系，一般先确定最简单的情况，即一个周期内的情况，然后在此基础上加 nT。(3)应注意题
17、目是否有限制条件，如有的题目限制波的传播方向，或限制时间 t 大于或小于一个周期等，所以解题时应综合考虑，加强多解意识，认真分析题意。(4)空间的周期性与时间的周期性是一致的，实质上是波形平移规律的应用，所以应用时我们可以针对不同题目选择其中一种方法求解。变式训练3(多选)一列简谐横波沿 x 轴正方向传播，t0 时的波形如图中实线所示，t0.1 s 时的波形如图中的虚线所示。波源不在坐标原点处，P 是传播介质中离坐标原点 2.5 m 处的一个质点，则下列说法正确的是()A波的频率可能为 7.5 HzB波的传播速度可能为 50 m/sC质点 P 的振幅为 0.1 mD在 t0.1 s 时与 P
18、相距 5 m 处的质点也一定向上振动答案 BC答案 解析 从题图中可以看出波形从实线传播到虚线的时间为 tn14 T(n0,1,2，)，波的频率为 f1T4n14t 4n140.1 Hz2.5(4n1)Hz(n0,1,2，)，A 错误；从题图中得出波长为 4 m，波的传播速度为 vf10(4n1)m/s(n0,1,2，)，当 n1 时，v50 m/s，B 正确；从题图中可以看出质点 P 的振幅为 0.1 m，C 正确；从题图中可知 t0.1 s 时，质点 P 向上振动，与质点 P 相距 5 m 的质点与质点 P 相距 114个波长，若该质点在 P点左侧，它正在向下振动，若该质点在 P 点右侧，
19、它正在向上振动，D 错误。解析 03课后课时作业 A 组：合格性水平训练1(周期、波速)(多选)一振动周期为 T、振幅为 A、位于 x0 点的波源从平衡位置沿 y 轴正向开始做简谐振动。该波源产生的一列简谐横波沿 x 轴正向传播，波速为 v，传播过程中无能量损失。一段时间后，该振动传播至某质点 P，关于质点 P 振动的说法正确的是()A振幅一定为 AB周期一定为 TC速度的最大值一定为 vD开始振动的方向沿 y 轴向上或向下取决于它离波源的距离答案 AB答案 解析 机械波是将波源的振动形式和能量向外传递的过程，对简谐波而言，介质中各振动质点的振幅和周期都与波源的相同，A、B 正确；质点 P的振
20、动速度不是波的传播速度 v，C 错误；质点 P 开始振动的方向与波源开始振动的方向相同，与它们的距离无关，D 错误。解析 2(波速)如图所示，甲图为一列简谐横波在 t20 s 时的波形图，乙图是这列波中 P 点的振动图线，那么该波的传播速度和传播方向是()A25 cm/s，向左传播B50 cm/s，向左传播C25 cm/s，向右传播D50 cm/s，向右传播答案 B答案 解析 根据振动图象可知该波 T2 s，t20 s10T 时，P 质点振动情况与t0时刻振动情况相同，处于平衡位置且向上振动，结合波形图利用“微平移法”确定该波向左传播，根据波形图得出该波波长 100 cm，波速 vT50 cm
21、/s，故 B 正确。解析 3(波长、周期、波速)(多选)如图所示，一列简谐波沿 x 轴正方向传播，t0 时，该波传播到 x 轴上的质点 B 处，质点 A 在负的最大位移处，在 t0.6 s 时，质点 A 第二次出现在正的最大位移处，则()A该波的周期为 0.3 sB该波的波速等于 5 m/sCt0.6 s 时，质点 C 在平衡位置处且向上运动Dt0.6 s 时，质点 C 在平衡位置处且向下运动答案 BC答案 解析 在 t0.6 s 内，质点 A 振动时间为32T，即32T0.6 s，T0.4 s，A错误；由图象知：2 m，则 vT 20.4 m/s5 m/s，B 正确；在 t0.6 s内，质点
22、振动32T，波恰好传播32，即 t0 时刻 O 点的振动形式恰好传到 C点，t0 时，O 恰好在平衡位置处向上运动，因此 C 重复其运动，C 正确，D 错误。解析 4(频率、波速)如图所示为一列简谐横波在某时刻的波形图。已知图中质点 b 的起振时刻比质点 a 超前了 0.4 s，则以下说法正确的是()A波的波速为 10 m/sB波的频率为 1.25 HzC波沿 x 轴正方向传播D该时刻质点 P 正沿 y 轴正方向运动答案 B答案 解析 b 和 a 之间的距离是 2 m，则波长为 4 m，b、a 两质点振动相差半个周期，由题：图中质点 b 的起振时刻比质点 a 超前了 0.4 s，则周期 T0.
23、8 s，则波速为 vT 40.8 m/s5 m/s，频率 f1T 10.8 Hz1.25 Hz，故 A错误，B 正确；由于质点 b 的起振时刻比质点 a 早，所以波沿 x 轴负方向传播，C 错误；由“上下坡”法知该时刻质点 P 正向 y 轴负方向运动，故 D 错误。解析 5(波长、频率、波速)(多选)如图所示，沿 x 轴正方向传播的一列简谐横波某时刻的波形图为一正弦曲线，其波速为 200 m/s，下列说法正确的是()A图示时刻质点 b 的加速度正在减小B从图示时刻开始，经过 0.01 s，质点 a 通过的路程为 20 cmC波的频率为 50 HzD从图示时刻开始，经过 0.005 s，质点 a
24、 通过的路程为 20 cm答案 CD答案 解析 已知波沿 x 轴正方向传播，则质点 b 在题中图示时刻振动方向沿y 轴负方向，位移增大，加速度增大，选项 A 错误；波的周期 Tv 4200 s0.02 s，从题中图示时刻，经 0.01 s，质点 a 从波峰到达波谷，通过的路程为 2A40 cm，选项 B 错误；该列波的频率 f1T50 Hz，选项 C 正确；从题中图示时刻开始，经过 0.005 s，质点 a 通过的路程是 20 cm，选项 D 正确。解析 6(波的多解问题)(多选)M、N 为介质中波的传播方向上的两点，间距s1.5 m，它们的振动图象如图所示，这列波的波速的可能值为()A15
25、m/s B7.5 m/sC5 m/s D3 m/s答案 ACD答案 解析 因为 M、N 两点振动情况恰好相反，所以它们的间距等于2的奇数倍。设波长为，则 s2n，所以 2s12n(n0,1,2，)。由振动图象知，波的周期为 T0.2 s，因此波速的一般表达式为 vT2s12nT21.512n0.2 m/s 1512n m/s(n0,1,2，)。当 n0 时，v151 m/s15 m/s；当 n1 时，v5 m/s；当 n2 时，v3 m/s。解析 7(综合)(多选)如图甲为一列简谐横波在某一时刻的波形图，图乙为介质中某处的质点 P 以此时刻为计时起点的振动图象，下列说法正确的是()A这列波的传
26、播方向是沿 x 轴正方向B这列波的传播速度是 20 m/sC经过 0.15 s 质点 P 沿 x 轴正方向传播了 3 mD经过 0.1 s 时，质点 Q 的运动方向沿 y 轴正方向E经过 0.35 s 时，质点 Q 距平衡位置的距离小于质点 P 距平衡位置的距离答案 ABE答案 解析 由乙图可以看出，质点 P 在这一时刻从平衡位置向下振动，可见甲图中的波应沿 x 轴正向传播，故 A 项正确；从乙图可以看出该列波的振动周期为 0.2 s，从甲图中可以看出其波长为 4 m，则其波速为 20 m/s，故 B 项正确；质点只在平衡位置附近上下振动，不沿 x 轴传播，故 C 项错误；波沿x 轴正向传播，
27、此刻 Q 点应向上振动，经过 0.1 s 即半个周期以后，其振动方向相反，故 0.1 s 后 Q 点运动方向沿 y 轴负方向，故 D 项错误；经过 0.35 s，即 134个周期，Q 点位于横轴下方，不在最大位移处，P 点恰好位于正的最大位移处，故 E 项正确。解析 B 组：等级性水平训练8(波长、频率、波速)(多选)下列说法中正确的是()A介质中质点的振动速度等于波的传播速度B介质中质点的振动频率等于波源的振动频率C振幅越大，则波传播的速度越快D在一个周期内，振动质点走过的路程等于一个波长E振动的频率越高，则波传播一个波长的距离所用的时间越短答案 BE答案 解析 波速由介质决定，与质点的振动
28、速度无关，A 错误；波速与振幅无关，C 错误；波长为波在一个周期内传播的距离，与质点的路程无关，D错误。解析 9(波的多解问题)(多选)一列简谐横波在 t0 时刻的波形如图中的实线所示，t0.02 s 时刻的波形如图中虚线所示。若该波的周期 T 大于 0.02 s，则该波的传播速度可能是()A1 m/s B3 m/sC7 m/s D5 m/s答案 AB答案 解析 设波向右传播，则在 t0 时刻 x4 m 处的质点往上振动，设经历 t 时间质点运动到波峰的位置，则 t14n T(n0,1,2，)，即 T 4t4n1 0.084n1 s(n0,1,2，)。当 n0 时，T0.08 s0.02 s，
29、符合要求，此时 vT0.080.08 m/s1 m/s；当 n1 时，T0.016 s0.02 s，符合要求，此时 vT0.080.083 m/s3 m/s；当 n1 时，T0.087 s0.02 s，不符合要求。综上所述，只有 A、B 正确。解析 10(综合)(多选)一列简谐横波沿 x 轴正方向传播，在 x12 m 处的质点的振动图线如图 1 所示，在 x18 m 处的质点的振动图线如图 2 所示。下列说法正确的是()A该波的周期为 12 sBx12 m 处的质点在平衡位置向上振动时，x18 m 处的质点在波峰C04 s 内 x12 m 处和 x18 m 处的质点通过的路程均为 6 cmD该
30、波的波长可能为 8 mE该波的传播速度可能为 2 m/s答案 ABD答案 解析 波的传播周期与质点的振动周期相等，所以该波的周期为 12 s，故 A 正确。如图，t3 s 时刻 x12 m 处的质点在平衡位置，且向上振动，x18 m 处的质点正好处在波峰，故 B 正确。x12 m 处的质点的位移与时间的关系可表示为 x4sin6t2 cm，t0 时位移为4 cm，t4 s 时位移为2 cm，所以 x12 m 处的质点在 04 s 内通过的路程为 6 cm；x18 m 处的质点的位移与时间的关系可表示为 x4sin6t cm，t0 时位移为 0，t4 s时位移为 2 3 cm，所以 x18 m
31、处的质点在 04 s 内通过的路程为(442 3)cm(82 3)cm，故 C 错误。t3 s 时刻 x12 m 处的质点在平衡位解析 置，且向上振动，x18 m 处的质点正好处在波峰，且波沿 x 轴正方向传播，则两质点间的距离 dn34，当 n0 时，8 m，故 D 正确。波长的表达式 dn34 m，所以波速 vT24n3 m/s，当 n0 时，波速的最大值为23m/s，所以波速不可能等于 2 m/s，故 E 错误。解析 11(综合)一列沿 x 轴负方向传播的简谐横波，在 t0 时刻的波形如图所示，质点振动的振幅为 10 cm，P、Q 两点的坐标分别为(1 m,0)和(9 m,0)，已知 t
32、0.7 s 时，P 点第二次出现波峰。(1)这列波的传播速度多大？(2)从 t0 时刻起，经过多长时间 Q 点第一次出现波峰？(3)当 Q 点第一次出现波峰时，P 点通过的路程为多少？答案(1)10 m/s(2)1.1 s(3)0.9 m答案 解析(1)由题意可知该波的波长为 4 mP 点与最近波峰的水平距离为 3 m，距离下一个波峰的水平距离为 s7 m，所以 vst10 m/s。(2)Q 点与最近波峰的水平距离为 s111 m故 Q 点第一次出现波峰的时间为 t1s1v1.1 s。解析(3)该波中各质点振动的周期为 Tv0.4 sQ 点第一次出现波峰时质点 P 振动了t2114 T24T9
33、T4当 Q 点第一次出现波峰时，P 点通过的路程s9A90 cm0.9 m。解析 12(综合)一列横波在 x 轴上传播，a、b 是 x 轴上相距 sab6 m 的两质点，t0 时，b 点正好到达最高点，且 b 点到 x 轴的距离为 4 cm，而此时 a点恰好经过平衡位置向上运动。已知这列波的频率为 25 Hz。(1)求经过时间 1 s，a 质点运动的路程；(2)质点 a、b 在 x 轴上的距离大于一个波长，求该波的波速。答案(1)4 m(2)见解析答案 解析(1)质点 a 一个周期运动的路程s04A0.16 m1 s 内的周期数是 n1T251 s 内 a 质点运动的路程 sns04 m。解析(2)若波由 a 传向 b，sabn34 vf 6004n3 m/s(n1,2,3)若波由 b 传向 a，sabn14 vf 6004n1 m/s(n1,2,3)。解析 本课结束
