1、北京临川学校20152016学年度第一学期期中考试高三数学（理）试卷（2015年11月29日）一、选择题（本大题共12小题，每小题5分，共60分在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的）1.设，则 B ABCD2.如图是某班50位学生期中考试数学成绩的频率分布直方图，其中成绩分组区间是： ，则图中的值等于 C A. B. C.D.3.如图所示，在复平面内，点对应的复数为，则复数 DA.B.C.D.4.已知向量，则与夹角的余弦值为 B A B C D5.设Sn为等比数列的前n项和，则 D A. 11 B. 5 C.一8 D.一116.若，且，则的值为C A B C D7.设函数，则“”
2、是“函数为奇函数”的C A.充分而不必要条件B.必要而不充分条件C.充分必要条件D.既不充分也不必要条件8.已知命题；命题，均是第一象限的角，且，则下列命题是真命题的是AA. B. C. D.9.下图是一算法的程序框图，若此程序运行结果为，则在判断框中应填入关于的判断条件是 B A. B. C. D. 10.根据表格中的数据，可以断定函数的零点所在的区间是C1235 00.6911.101.61 31.51.10 10.6A. B. C. D.11.如图，设D是图中边长分别为1和2的矩形区域，E是D内位于函数图象下方的阴影部分区域，则阴影部分E的面积为DA. B. C. D.12.已知函数在R
3、上满足，曲线在点 处的切线为，点在上，且则 D A. B. C. D. 二、填空题：本大题共4小题，每小题5分，共20分，把答案填在答题卡的相应位置13.已知向量，若，则 . 14.定义在上的函数满足 则的值为_ 115.已知a，b，c分别是ABC三个内角A，B，C的对边，那么a等于_ 416.如图，将全体正整数排成一个三角形数阵：根据以上排列规律，数阵中第行的从左至右的第3个数是 三、解答题：（70分）17（本是满分10分）已知等差数列满足：，其中为数列的前n项和.（）求数列的通项公式；（）若，且成等比数列，求的值.17解：（）设数列的公差为d，由条件得-5分（）由（）易得，得解得-10分1
4、8.（本小题满分12分）函数的部分图象如图所示. （）写出及图中的值；（）设，求函数在区间上的最大值和最小值. 18.（共12分） 解：（）的值是. =2分的值是. 5分（）由题意可得：. 7分所以 8分 . 10分因为 ，所以 .所以 当，即时，取得最大值；当，即时，取得最小值. 12分19.（本小题满分12分）某中学在高二年级开设社会实践课程数学建模，共有50名同学参加学习，其中男同学30名，女同学20名. 为了对这门课程的教学效果进行评估，学校按性别采用分层抽样的方法抽取5人进行考核.（）求抽取的5人中男、女同学的人数；（）考核的第一轮是答辩，顺序由已抽取的甲、乙等5位同学按抽签方式决定
5、. 设甲、乙两位同学间隔的人数为，的分布列为3210求数学期望；（）考核的第二轮是笔试：5位同学的笔试成绩分别为115，122，105， 111，109；结合第一轮的答辩情况，他们的考核成绩分别为125，132，115， 121，119. 这5位同学笔试成绩与考核成绩的方差分别记为，试比较与的大小. （只需写出结论）19.（共12分）解：（）抽取的5人中男同学的人数为，女同学的人数为. 4分（）由题意可得：. 6分 因为 ， 所以 . 8分 所以 . 10分（）. 12分20.（本小题共12分）设，已知函数.（I）当时，求函数的单调区间；（II）若对任意的，有恒成立，求实数的取值范围.20.（
6、共12分）解：（I）当时，则，由，得，或，由，得，所以的单调递增区间为，单调递减区间为（0，2）。（6分）（II）依题意，对，这等价于，不等式对恒成立。令，则，所以在区间上是减函数，所以的最小值为。所以，即实数的取值范围为。-（12分）21.（本小题共12分）设数列的前项和为，且.（I）求数列的通项公式；（II）若数列满足，求数列的通项公式. 21.（共13分）解：（I）因为，则，所以当时，整理得，由，令，得，解得。所以是首项为1，公比为2的等比数列，可得（6分）（II）因为，由，得，由累加得，当时也满足，所以。（12分）22.(本小题满分12分)设函数，其中（）当时，判断函数在定义域上的单调性；（）求函数的极值点.22.解：（）由题意知，的定义域为，设，其图象的对称轴为，当时，即在上恒成立，当时，当时，函数在定义域上单调递增-4分（）由（）得，当时，函数无极值点时，有两个相同的解，时，时，时，函数在上无极值点当时，有两个不同解， ，时，时，随的变化情况如下表：极小值由此表可知：时，有唯一极小值点，当时，此时，随的变化情况如下表：x2极大值极小值由此表可知：时，有一个极大值点和一个极小值点；综上所述：时，有唯一极小值点；时，有一个极大值点和一个极小值点；时，无极值点 12分- 9 -
