1、山东师大附中2018-2019学年高二（上）期中数学试卷一、选择题（本大题共12小题，共60.0分）1.已知x0，函数的最小值是（ ）A. 2B. 4C. 6D. 8【答案】C【解析】【分析】利用基本不等式的性质即可得出【详解】解：x0，函数，当且仅当x=3时取等号，y的最小值是6故选：C【点睛】本题考查了基本不等式的性质，考查了推理能力与计算能力，属于基础题2.在数列中，nN*，则的值为（ ）A. 49B. 50C. 89D. 99【答案】A【解析】【分析】利用等差数列的通项公式即可得出【详解】解：，（），数列是等差数列，则故选：A【点睛】本题考查了等差数列的通项公式及性质，考查了推理能力与
2、计算能力，属于基础题3.已知命题p：，则命题p的否定为（ ）A. ，B. ，C. ，D. ，【答案】D【解析】【分析】直接利用特称命题的否定是全称命题写出结果即可【详解】解：因为特称命题的否定是全称命题，所以命题p：R，否定是：R，故选：D【点睛】本题考查命题的否定、特称命题与全称命题的否定关系，基本知识的考查4.不等式的解集为（ ）A. B. C. D. 【答案】C【解析】【分析】把不等式化为，求出解集即可【详解】解：不等式可化为，解得，所以不等式的解集为（4，3）故选：C【点睛】本题考查了不等式解法与应用问题，是基础题5.已知数列是等差数列，则其前13项的和是（ ）A. 45B. 56C.
3、 65D. 78【答案】D【解析】【分析】由等差数列的等差中项得a7=6，再由求和公式和性质可得S13=13a7即可.【详解】在等差数列an中，a5+a7+a9=18，a5+a7+a9=3a7=18，解得a7=6，该数列的前13项之和：S13=（a1+a13）=13a7=136=78故选：D【点睛】本题考查等差数列的前n项和，利用等差数列的性质和的公式是解题的关键，属于基础题6.关于x的不等式的解集是（2，+），则关于x的不等式的解集是（ ）A. B. C. D. 【答案】B【解析】【分析】由不等式axb0的解集知a0且=2，代入关于x的不等式（ax+b）（x3）0中求解即可【详解】关于x的不
4、等式axb0的解集是（2，+），a0，且=2，则b=2a；关于x的不等式（ax+b）（x3）0，可化为（ax+2a）（x3）0，因为a0，解得x3或x-2，所求不等式的解集故选：A【点睛】本题考查了一元二次不等式的解集，利用一元一次不等式的解集得到a与b的等式是关键，注意一元二次不等式的开口方向，属于基础题.7.如果ab0，那么下列不等式成立的是（ ）A. B. C. D. 【答案】D【解析】对于选项A,因为，所以，所以 即，所以选项A错误；对于选项B，所以，选项B错误；对于选项C，当 时，当，故选项C错误；对于选项D，所以，又，所以，所以，选D.8.若不等式对任意恒成立，则实数的取值范围是（
5、 ）A. B. C. D. 【答案】C【解析】分析：直接利用判别式不小于零列不等式求解即可.详解：因为不等式对任意恒成立,所以，解得，即实数的取值范围是，故选C.点睛：本题主要考查一元二次不等式恒成立问题，属于简单题.一元二次不等式在实数集上恒成立问题，一定要注意二次项系数的符号.9.已知aR，则“a1”是“”的（ ）A. 充分不必要条件B. 必要不充分条件C. 充要条件D. 既不充分又不必要条件【答案】B【解析】【分析】根据a1，不一定能得到（如a=-1时）；但当，一定能推出a1，从而得到答案【详解】解：由a1，不一定能得到（如a=-1时）；但当时，有0a1，从而一定能推出a1，则“a1”是
6、“”的必要不充分条件，故选：B【点睛】本题考查充分条件、必要条件的定义，通过给变量取特殊值，举反例来说明某个命题不正确，是一种简单有效的方法10.设，若是与的等比中项，则的最大值为（ ）A. B. C. D. 【答案】C【解析】【分析】先由等比中项化简得2x+y=1，进一步利用均值不等式求出结果【详解】因为x0y0，若是9x与3y的等比中项，则：，即：2x+y=1，由1=2x+y（当且仅当2x=y=等号成立）即xy 故选：C【点睛】本题考查的是由基本不等式求最大值问题，也利用了等比数列的性质，属基础题11.已知数列的前n项和为，（），则（ ）A. 32B. 64C. 128D. 256【答案】
7、B【解析】【分析】由已知数列递推式构造等比数列1，求其通项公式得到，再由求解【详解】解：由，得，又，即数列1是以1为首项，以2为公比的等比数列，则，则.故选：B【点睛】本题考查数列递推式，考查利用构造法求数列的通项公式，是中档题12.设x表示不超过x的最大整数，如-3.14=-4，3.14=3已知数列满足：，（），则（ ）A. 1B. 2C. 3D. 4【答案】A【解析】【分析】把已知数列递推式变形，利用累加法求数列通项公式，再由裂项相消法求和，则答案可求【详解】解：由，得（），又，则故选：A【点睛】本题考查数列递推式、利用累加法求数列的通项公式以及裂项相消法求数列的前n项和，是中档题二、填空
8、题（本大题共4小题，共20.0分）13.不等式的解集为_【答案】（-，0）（4，+）【解析】【分析】由分式不等式的解法得：可变形为x（x-4）0，解得：x4或x0，得解【详解】解：可变形为（ -4）0，解得：4或0，故答案为：（-，0）（4，+）【点睛】本题考查了分式不等式的解法，属简单题14.已知数列的前项和（），则此数列的通项公式为_【答案】【解析】【分析】由数列的前n项和得，再由an=SnSn1（n2）求得an，验证即可【详解】由Sn=n2，得a1=S1=1，当n2时，an=SnSn1=n2（n1）2=2n-1当n=1时 =1代入上式成立，an=2n-1故答案为：2n-1【点睛】本题考查
9、了由数列的前n项和求数列的通项公式的问题，应用an=SnSn1（n2）是关键，属于基础题15.关于x的方程有两个正实数根，则实数m的取值范围是_【答案】【解析】【分析】根据实根分布列不等式，解得m范围【详解】解：方程有两个正实数根，设为，则，解得m4，故填：【点睛】本题考查了方程的根和函数的零点，根与系数的关系等知识，属于基础题16.在等差数列中，满足0，且，则的最小值为_【答案】【解析】【分析】由等差数列的性质得：，再根据基本不等式求最值.【详解】解：因为等差数列中，满足0，且，所以且0，0，则，故答案为：【点睛】本题考查等差数列的性质及基本不等式，属中档题三、解答题（本大题共6小题，共70
10、.0分）17.已知为等差数列，且，（1）求的通项公式； （2）若等比数列满足，求数列的前项和公式【答案】(1);(2).【解析】本试题主要是考查了等差数列的通项公式的求解和数列的前n项和的综合运用。、（1）设公差为，由已知得解得（2），等比数列的公比利用公式得到和。【此处有视频，请去附件查看】18.已知数列满足，（）（1）求，的值；（2）证明：数列是等差数列，并求数列的通项公式【答案】（1），（2）见解析【解析】【分析】（1）由已知结合数列递推式直接求得，的值；（2）把原递推式变形，可得，根据等差数列定义可证，再根据等差数列通项公式求结果【详解】解：（1）由，得，；证明：（2）当时，由，得，是
11、公差为1的等差数列，又，则【点睛】本题考查数列递推式，考查等差关系定义以及等差数列通项公式的求法，是基础题19.已知函数（1）求不等式的解集；（2）当x（1，+）时，求的最小值及相应x的值【答案】（1）（1，23，+）（2）的最小值为，此时.【解析】【分析】（1）由分式不等式的解法得结果，（2）根据基本不等式求最值.【详解】解：（1）因为，所以，所以，解得：1x2或x3，故不等式的解集为：（1，23，+）（2）当（1，+）时，令1=t，则t0，则，又当t0时，当且仅当即即时取等号，故的最小值为，此时.【点睛】本题考查了分式不等式的解法及利用基本不等式求函数的最值，属中档题.20.已知是等比数列
12、，且，成等差数列（1）求数列的通项公式；（2）若=（2n-1），求数列的前n项和【答案】（1）（2）【解析】分析】（1）设等比数列的公比为q，运用等差数列中项性质和等比数列的通项公式，解方程可得q，即可得到所求通项；（2）先化简，再运用数列的错位相减法求和，结合等比数列的求和公式，计算可得所求和【详解】解：（1）设的公比为q，则，成等差数列，所以2（）=+，即2（+1）=2+，即q=2，所以；（2）=（2n-1）=（2n1），前n项和，两式做差得，化简可得【点睛】本题考查等差数列的中项性质、等比数列的通项公式和求和公式的运用，考查数列的错位相减法求和，考查化简运算能力，属于中档题21.已知命题
13、p：x（-1，1），使成立，命题q：关于x的方程的一个根大于1，另一个根小于1（1）分别求命题p和命题q为真时实数m的取值范围；（2）若命题p与命题q一真一假，求实数m的取值范围【答案】（1）m1（2）1m2或【解析】【分析】（1）结合函数与方程的关系求出命题为真命题的等价条件即可（2）分别讨论p真q假和p假q真时，对应的范围即可【详解】解：（1）命题p为真时，方程在（-1，1）有解，当x（-1，1）时，则，当命题q为真时，满足，即2m-20，所以m1（2）若命题p为真，同时命题q为假，则得1m2若命题p为假，同时命题q为真，则，得所以当命题p与命题q一真一假时，1m2或【点睛】本题主要考查复
14、合命题真假关系判断，求出命题p，q为真命题的等价条件是解决本题的关键22.已知函数（a为常数）（1）求不等式的解集；（2）当a0时，若对于任意的 3，4，恒成立，求实数a的取值范围【答案】（1）见解析（2）a【解析】【分析】（1）不等式化为，讨论a=0、a0和a0时，求出对应不等式的解集；（2）根据（1）得的解集，再根据3，4与解集包含关系列不等式解得结果【详解】解：（1）不等式化为，即，a=0时，不等式变为，解得1； a0时，不等式变为，若a2，则1，解得1或， 若a=2，则=1，解得1， 若0a2，则1，解得或1； a0时，不等式变为（ -）（ -1）0，解得1； 综上所述， =0时，不等式的解集为（-，1）；0a2时，不等式的解集（-，1）（，+）；a=2时，不等式的解集（-，1）（1，+）；a2时，不等式的解集（-，）（1，+）；a0时，不等式的解集（，1）； （2）由（1）知：0a2时，（-，1）（，+），需3，4（-，1）（，+），3，即23a，解得a；a=2时，（-，1）（1，+），符合条件； a2时，（-，）（1，+），符合条件；综上所述，符合条件的a的取值范围是a【点睛】本题考查利用分类讨论法解不等式以及不等式恒成立问题，是中档题
