1、上海实验学校高二期中数学试卷2021.04一. 填空题1. 若一个圆锥的底面面积为，母线长为，则它的侧面积为 2. “直线垂直于平面内的无数条直线”是“”的 条件（填“充分非必要”或“必要非充分”或“充要”或“既非充分也非必要”）3. 平面与平面垂直，平面与平面的法向量分别为，则的值为 4. 如图，是一个无盖正方体盒子的表面展开图，、为其上的三个顶点，则在正方体盒子中，大小为 5. 如图所示，水平放置的的斜二测直观图是图中的，已知，则边的实际长度是 6. 若直线平面，直线在平面内，则直线与的位置关系为 7. 地球（地球半径为）表面上从地（北纬，东经）到地（北纬，东经）的球面距离为 8. 已知三
2、个球的半径、满足，则它们的表面积、满足的等量关系是 9. 已知三棱锥的四个顶点在球的球面上，是边长为2的正三角形，点E、F分别是PA、AB的中点，则球的体积为 10. 在三棱锥中，已知，则 二. 选择题11. 已知、是两条不同直线，、是三个不同平面，下列命题中正确的是（ ）A. 若，则 B. 若，则 C. 若，则 D. 若，则12. 以下说法正确的是（ ）A. 各侧面都是矩形的棱柱是长方体 B. 有两个相邻侧面是矩形的棱柱是直棱柱 C. 各侧面都是全等的等腰三角形的四棱锥是正四棱锥 D. 底面四条边相等的直棱柱是正四棱柱13. 正方体中，为面内的一动点，若点到直线与直线的距离相等，则动点的轨迹
3、是（ ）A. 一条线段 B. 一段圆弧 C. 抛物线的一部分 D. 椭圆的一部分14. 如图，为正方体，任作平面与对角线垂直，使得与正方体的每个面都有公共点，记这样得到的截面多边形的面积为，周长为，则（ ）A. 为定值，不为定值 B. 不为定值，为定值 C. 与均为定值 D. 与均不为定值三. 解答题15. 如图，正四棱柱的底面边长为，.（1）求该正四棱柱的表面积和体积；（2）求异面直线与所成的角的大小（结果用反三角函数值表示）. 16. 如图，四棱锥的底面是正方形，平面，点是线段上任意一点 （1）求证：；（2）当长为多少时， 与平面所成角的大小为. 17. 如图，在圆柱中，它的轴截面是一个边
4、长为2的正方形，点为棱的中点，点为弧的中点. 求：（1）异面直线所成角的大小； （2）直线与圆柱底面所成角的大小；（3）三棱锥的体积. 18. 如图，在四棱锥中，底面ABCD是平行四边形，PG平面ABCD，垂足为G，G在AD上，且，E是BC的中点.（1）求异面直线GE与PC所成的角的余弦值；（2）求点D到平面PBG的距离；（3）若T点是侧棱PB上一动点，设CT与平面PBG所成的角为，求的取值范围.附加题：19. 空间中有四个球，它们的半径分别是2、2、3、3，每个球都与其余三个球外切，另有一个小球与这四个球都外切，求这个小球的半径.20. 某风景区有空中景点A及平坦的地面上景点B，已知AB与地
5、面所成角的大小为，点A在地面上的射影为H，如图，请在地面上选定点M，使得达到最大值. 上海实验学校高二期中数学试卷参考答案2021.04一. 填空题1. 【答案】 2. 【答案】必要非充分3. 【答案】 4. 【答案】5. 【答案】 6. 【答案】 平行或异面7. 【答案】 8. 【答案】9. 【答案】 10. 【答案】【解析】设因为所以，即 又因为所以，即所以，所以 二. 选择题11. 【答案】D 12. 【答案】B13. 【答案】C 14. 【答案】B三. 解答题15. 如图，正四棱柱的底面边长为，.（1）求该正四棱柱的表面积和体积；（2）求异面直线与所成的角的大小（结果用反三角函数值表示
6、）. 【解析】 解：（1）由题意得 ， 则该正四棱柱的表面积为 ， 体积为 （2）联结，则，所以直线与所成的角就是异面直线与所成的角 在中，, 由余弦定理得 ，则得， 所以，异面直线与所成的角的大小16. 如图，四棱锥的底面是正方形，平面，点是线段上任意一点 （1）求证：；（2）当长为多少时， 与平面所成角的大小为.【解析】 （1）证明：联结，因为四边形为正方形，所以， 又因为平面，平面，所以 由平面 又因为平面，所以（2）解法一：设，因为平面，所以与平面所成角为 在中，由 所以，当时，与平面所成角的大小为 17. 如图，在圆柱中，它的轴截面是一个边长为2的正方形，点为棱的中点，点为弧的中点.
7、 求：（1）异面直线所成角的大小； （2）直线与圆柱底面所成角的大小；（3）三棱锥的体积. 【解析】解：（1）以点为原点，直线分别为轴,建立空间直角坐标系，如图所示. 则相关点的坐标为 于是 从而因此，异面直线所成角的大小为 （2）由于是圆柱底面的一个法向量,又, 设直线与圆柱底面所成角的大小为 则 于是，直线与圆柱底面所成角的大小为 （3）由于三棱锥的顶点 而 故18. 如图，在四棱锥中，底面ABCD是平行四边形，PG平面ABCD，垂足为G，G在AD上，且，E是BC的中点.（1）求异面直线GE与PC所成的角的余弦值；（2）求点D到平面PBG的距离；（3）若T点是侧棱PB上一动点，设CT与平面
8、PBG所成的角为，求的取值范围.【解析】（1）异面直线与所成的角的余弦值为（2）点到平面的距离为（3）附加题：19. 空间中有四个球，它们的半径分别是2、2、3、3，每个球都与其余三个球外切，另有一个小球与这四个球都外切，求这个小球的半径.【解析】 解：以四个球的球心为顶点作四面体，则，设的中点分别为，设小球的球心为，半径为.因为，所以.所以面是线段的中垂面.又因为，所以在平面上.同理，也在线段的中垂面上，从而必在线段上.，由，得解此方程，可得.20. 某风景区有空中景点A及平坦的地面上景点B，已知AB与地面所成角的大小为，点A在地面上的射影为H，如图，请在地面上选定点M，使得达到最大值.【解析】 解：因为与地面所成的角的大小为，垂直于地面，是地面上的直线，所以. 当时，达到最大值，此时点在延长线上，处.