1、第3讲 导数的简单应用 高考总复习大二轮 数 学(新高考)考情考向高考导航1此部分内容是高考命题的热点内容在选择题、填空题中多考查导数的几何意义，难度较小2应用导数研究函数的单调性、极值、最值，多在选择题、填空题最后几题的位置考查，难度属中等偏上，属综合性问题有时也常在解答题的第一问中考查，难度中档真题体验1(2019全国卷)曲线 y2sin xcos x 在点(，1)处的切线方程为()Axy10 B2xy210C2xy210 Dxy10解析：C y2cos xsin x，切线斜率 k2cos sin 2，在点(，1)处的切线方程为 y12(x)，即 2xy210.2(全国卷)若 x2 是函数
2、 f(x)(x2ax1)ex1 的极值点，则 f(x)的极小值为()A1 B2e3C5e3D1解析：A f(x)x2(a2)xa1ex1，则 f(2)42(a2)a1e30a1，则 f(x)(x2x1)ex1，f(x)(x2x2)ex1，令 f(x)0，得 x2 或 x1，当 x2 或 x1 时，f(x)0；当2x1 时，f(x)0，则 f(x)极小值为 f(1)1.3(2018天津卷)已知函数 f(x)exln x，f(x)为 f(x)的导函数，则 f(1)的值为_解析：由函数的解析式可得：f(x)exln xex1xex(ln x1x)，则：f(1)e1(ln 111)e.即 f(1)的值
3、为 e.答案：e4 (2019 天 津 卷)已 知a R，设 函 数f(x)x22ax2a，x1，xaln x，x1，若关于 x 的不等式 f(x)0 在 R 上恒成立，则 a 的取值范围为()A0,1 B0,2C0，e D1，e解析：C 首先 f(0)0，即 a0，当 0a1 时，f(x)x22ax2a(xa)22aa22aa2a(2a)0，当 a1 时，f(1)10，故当 a0 时，x22ax2a0 在(，1上恒成立；若 xaln x0 在(1，)上恒成立，即 a xln x在(1，)上恒成立，令 g(x)xln x，则 g(x)ln x1ln x2，易知 xe 为函数 g(x)在(1，)
4、唯一的极小值点、也是最小值点，故 g(x)maxg(e)e，所以 ae.综上可知，a 的取值范围是0，e故选 C.主干整合1导数的几何意义函数 yf(x)在点 xx0 处的导数值就是曲线 yf(x)在点(x0，f(x0)处的切线的斜率，其切线方程是 yf(x0)f(x0)(xx0)2导数与函数单调性的关系(1)f(x)0 是 f(x)为增函数的充分不必要条件，如函数 f(x)x3在(，)上单调递增，但 f(x)0.(2)f(x)0 是 f(x)为增函数的必要不充分条件，当函数在某个区间内恒有 f(x)0 时，则 f(x)为常函数，函数不具有单调性3可导函数极值的理解(1)函数在定义域上的极大值
5、与极小值的大小关系不确定，也有可能极小值大于极大值(2)对于可导函数 f(x)，“f(x)在 xx0处的导数 f(x)0”是“f(x)在 xx0 处取得极值”的必要不充分条件(3)注意导函数的图象与原函数图象的关系，导函数由正变负的零点是原函数的极大值点，导函数由负变正的零点是原函数的极小值点4函数的极值与最值(1)函数的极值是局部范围内讨论的问题，函数的最值是对整个定义域而言的，是在整个范围内讨论的问题(2)函数在其定义区间的最大值、最小值最多有一个，而函数的极值可能不止一个，也可能没有(3)闭区间上连续的函数一定有最值，开区间内的函数不一定有最值，若有唯一的极值，则此极值一定是函数的最值热
6、点一 导数的几何意义例 1(1)(2019全国卷)已知曲线 yaexxln x 在点(1，ae)处的切线方程为 y2xb，则()Aae，b1 Bae，b1Cae1，b1 Dae1，b1解析 D yaexln x1，ky|x1ae1，切线方程为 yae(ae1)(x1)，即 y(ae1)x1.又切线方程为 y2xb，ae12，b1，即 ae1，b1.故选 D.(2)(2019成都二模)已知曲线 C1：y2tx(y0，t0)在点 M4t，2处的切线与曲线 C2：yex11 也相切，则 tln4e2t 的值为()A4e2B8eC2 D8解析 D 曲线 C1：y tx，yt2 tx.当 x4t时，yt
7、4，切线方程为 y2t4x4t，化简为 yt4x1.与曲线 C2 相切，设切点为(x0，y0)，切线方程为 yt41 t4xlnt41，化简为 yt4xt4lnt4t21，是同一方程，所以t4lnt4t211lnt42t8t，即 t4，那么 tln4e2t 4ln e28，故选 D.求曲线 yf(x)的切线方程的三种类型及方法(1)已知切点 P(x0，y0)，求 yf(x)过点 P 的切线方程：求出切线的斜率 f(x0)，由点斜式写出方程(2)已知切线的斜率为 k，求 yf(x)的切线方程：设切点 P(x0，y0)，通过方程 kf(x0)解得 x0，再由点斜式写出方程(3)已知切线上一点(非切
8、点)，求 yf(x)的切线方程：设切点 P(x0，y0)，利用导数求得切线斜率 f(x0)，然后由斜率公式求得切线斜率，列方程(组)解得 x0，再由点斜式或两点式写出方程(1)(2019江苏卷)在平面直角坐标系 xOy 中，点 A 在曲线 yln x上，且该曲线在点 A 处的切线经过点(e，1)(e 为自然对数的底数)，则点 A 的坐标是_解析：导数运算及切线的理解应注意的问题：一是利用公式求导时要特别注意除法公式中分子的符号，防止与乘法公式混淆二是直线与曲线公共点的个数不是切线的本质，直线与曲线只有一个公共点，直线不一定是曲线的切线，同样，直线是曲线的切线，则直线与曲线可能有两个或两个以上的
9、公共点设点 A(x0，y0)，则 y0ln x0.又 y1x，当 xx0 时，y1x0，点 A 在曲线 yln x 上的切线为 yy01x0(xx0)，即 yln x0 xx01，代入点(e，1)，得1ln x0ex0 1，即 x0ln x0e，考查函数 H(x)xln x，当 x(0,1)时，H(x)0，当 x(1，)时，H(x)0，且 H(x)ln x1，当 x1 时，H(x)0，H(x)单调递增，注意到 H(e)e，故 x0ln x0e 存在唯一的实数根 x0e，此时 y01，故点 A 的坐标为 A(e,1)答案：(e,1)(2)(2019烟台三模)函数 f(x)exsin x 的图象在
10、点(0，f(0)处的切线方程是_解析：由 f(x)exsin x，得 f(x)exsin xexcos x，所以 f(0)0且 f(0)1，则切线的斜率为 1，切点坐标为(0,0)，所以切线方程为yx.答案：yx热点二 利用导数研究函数的单调性逻辑推理素养逻辑推理分类与整合思想研究函数的单调性含参数的函数的单调性问题一般要分类讨论，常见有以下几种可能：方程 f(x)0 是否有根；若 f(x)0 有根，求出根后是否在定义域内；若根在定义域内且有两个，比较根的大小是常见的分类方法.例 2(1)(2019青岛三模)若函数 f(x)x33a2x2x1 在区间12，3 上单调递减，则实数 a 的取值范围
11、是_解析 由已知得 f(x)x2ax1，函数 f(x)在区间12，3 上单调递减，f(x)0 在区间12，3 上恒成立，f12 0，f30，即1412a10，93a10，解得 a103，实数 a 的取值范围为103，.答案 103，(2)(2019吉林三模节选)已知函数 f(x)ln xax11ax 1，当12a0 时，讨论 f(x)的单调性解 f(x)的定义域为(0，)，f(x)1xa1ax2 ax2xa1x2axa1x1x2.当 a0 时，f(x)x1x2，此时，在(0,1)上 f(x)0，f(x)单调递减，在(1，)上 f(x)0，f(x)单调递增；当12a0 时，f(x)ax1aax1
12、x2.()当1aa 1，即 a12时，f(x)x122x20 在(0，)上恒成立所以 f(x)在(0，)上单调递减；()当12a0 时，1aa 1，此时在(0,1)，1aa，上f(x)0，f(x)单调递减，在1，1aa上 f(x)0，f(x)单调递增综上所述：当 a0 时，f(x)在(0,1)上单调递减，f(x)在(1，)上单调递增；当12a0 时，f(x)在(0,1)，1aa，上单调递减，f(x)在1，1aa上单调递增；当 a12时 f(x)在(0，)上单调递减求解或讨论函数单调性有关问题的解题策略讨论函数的单调性其实就是讨论不等式的解集的情况大多数情况下，这类问题可以归结为一个含有参数的一
13、元二次不等式的解集的讨论：(1)在能够通过因式分解求出不等式对应方程的根时，依据根的大小进行分类讨论(2)在不能通过因式分解求出根的情况时，根据不等式对应方程的判别式进行分类讨论注意 讨论函数的单调性是在函数的定义域内进行的，千万不要忽视了定义域的限制(2019广州二模)已知 x1 是 f(x)2xbxln x 的一个极值点(1)求函数 f(x)的单调递减区间(2)设函数 g(x)f(x)3ax，若函数 g(x)在区间1,2内单调递增，求 a 的取值范围解：(1)f(x)的定义域为(0，)，f(x)2bx21x，x(0，)因为 x1 是 f(x)2xbxln x 的一个极值点，所以 f(1)0
14、，即 2b10.解得 b3，经检验，适合题意，所以 b3.因为 f(x)23x21x2x2x3x2，解 f(x)0，得 0 x1.所以函数 f(x)的单调递减区间为(0,1(2)g(x)f(x)3ax 2xln xax(x0)，g(x)21xax2(x0)因为函数 g(x)在1,2上单调递增，所以 g(x)0 在1,2上恒成立，即 21xax20 在1,2上恒成立，所以 a2x2x 在1,2上恒成立，所以 a(2x2x)max，x1,2因为在1,2上，(2x2x)max3，所以 a3.热点三 利用导数研究函数的极(最)值例 3(2019银川二模)已知函数 f(x)ln xax2(a2)x.(1
15、)若 f(x)在 x1 处取得极值，求 a 的值(2)求函数 yf(x)在a2，a上的最大值审题指导(1)要求 a 的值，只需要令 f(1)0 即可(2)要求 f(x)的最大值，就要根据12与区间a2，a的关系分类讨论，依据单调性求解解析(1)因为 f(x)ln xax2(a2)x，所以函数的定义域为(0，)所 以f(x)1x 2ax (a 2)12ax2a2xx2x1ax1x.因为 f(x)在 x1 处取得极值，即 f(1)(21)(a1)0，解得 a1.当 a1 时，在12，1 上 f(x)0，在(1，)上 f(x)0，此时 x1 是函数 f(x)的极小值点，所以 a1.(2)因为 a2a
16、，所以 0a1，f(x)2x1ax1x，因为 x(0，)，所以 ax10，所以 f(x)在0，12 上单调递增，在12，上单调递减当 0a12时，f(x)在a2，a上单调递增，所以 f(x)maxf(a)ln aa3a22a；当a12，a212，即12a 22 时，f(x)在a2，12 上单调递增，在12，a 上单调递减，所以 f(x)maxf12 ln 2a4a22 a41ln 2；当12a2，即 22 a1 时，f(x)在a2，a上单调递减，所以 f(x)maxf(a2)2ln aa5a32a2.综上所述，当 0a12时，函数 yf(x)在a2，a上的最大值是 ln aa3a22a；当12
17、a 22 时，函数 yf(x)在a2，a上的最大值是a41ln 2；当 22 a1 时，函数 yf(x)在a2，a上的最大值是 2ln aa5a32a2.利用导数研究函数极值、最值的方法(1)若求极值，则先求方程 f(x)0 的根，再检查 f(x)在方程根的左、右函数值的符号(2)若已知极值大小或存在情况，则转化为已知方程 f(x)0 根的大小或存在情况来求解(3)求函数 f(x)在闭区间a，b上的最值时，在得到极值的基础上，结合区间端点的函数值 f(a)，f(b)与 f(x)的各极值进行比较得到函数的最值几点注意：求函数极值时，一定要注意分析导函数的零点是不是函数的极值点；求函数最值时，务必
18、将极值与端点值比较得出最大(小)值；对于含参数的函数解析式或区间求极值、最值问题，务必要对参数分类讨论(2019惠州二模)已知函数 f(x)x3x2x1aln xx1.(1)求 f(x)在区间(，1)上的极小值和极大值点；(2)求 f(x)在1，e(e 为自然对数的底数)上的最大值解析：(1)当 x1 时，f(x)3x22xx(3x2)，令 f(x)0，解得 x0 或 x23.当 x 变化时，f(x)，f(x)的变化情况如下表：x(，0)00，232323，1f(x)00f(x)极小值 极大值 故当 x0 时，函数 f(x)取得极小值为 f(0)0，函数 f(x)的极大值点为 x23.(2)当1x1 时，由(1)知，函数 f(x)在1,0)和23，1 上单调递减，在0，23 上单调递增因为 f(1)2，f23 427，f(0)0，所以 f(x)在1，1)上的最大值为 2.当 1xe，f(x)aln x，当 a0 时，f(x)0；当 a0 时，f(x)在1，e上单调递增，则 f(x)在1，e上的最大值为 f(e)a.故当 a2 时，f(x)在1，e上的最大值为 a；当 a2 时，f(x)在1，e上的最大值为 2.