1、能熟练利用正弦定理、余弦定理将三角形的边角转化；掌握三角形形状的判断，三角形内三角函数的求值及三角恒等式的证明1判断三角形的形状特征必须从研究三角形的边与边的关系，或角的关系入手，充分利用正弦定理与余弦定理进行转化，即化边为角或化角为边，边角统一三角形形状的判断依据：(1)等腰三角形：ab 或 AB；(2)直角三角形：b2c2a2 或 A90；(3)钝角三角形：a2b2c2，A90；(4)锐角三角形：若 a 为最大边，且满足 a2b2c2 或 A 为最大角，且 Aa，所以 BA，故有两解，故选 B.易错点：易以为只有一解，忘记考虑 BA.5.若ABC 的三个内角满足 sinAsinBsinC5
2、1113，则 cosC()A.23110B 23110C.73130D 73130【解析】由正弦定理和已知得，abc51113，设 a5k，b11k，c13k，k0，根 据 余 弦 定 理cosC a2b2c22ab25k2121k2169k22511k2 23110，故选 B.一 用正、余弦定理判定三角形形状【例 1】在ABC 中，A、B、C 所对的边长分别为 a、b、c，且满足(a2b2)sin(AB)(a2b2)sinC，试判断ABC的形状【解析】方法 1：化成角的关系求解由条件可得，a2sin(AB)sin(AB)b2sin(AB)sin(AB)利用和差角公式展开，得 a2cosAsi
3、nBb2sinAcosB，由正弦定理，上式化为 sin2AcosAsinBsin2BsinAcosB.因为 sinAsinB0，所以 sinAcosAsinBcosB，即 sin2Asin2B，因为 A、B 为三角形的内角，所以 AB，或 AB2，故ABC 为等腰三角形或直角三角形方法 2：化为边的关系求解由条件(a2b2)sin(AB)(a2b2)sinC，可得(a2b2)(acosBbcosA)(a2b2)c(a2b2)(a2c2b22cb2c2a22c)(a2b2)c(a2b2)(a2b2)(a2b2)c2a2b2c2 或 ab.故ABC 的形状为直角三角形或等腰三角形【点评】依据已知条
4、件中的边角关系判断三角形形状时，主要有如下两条途径：(1)利用正、余弦定理把已知条件转化为边边关系，通过因式分解、配方等得出边的相应关系，从而判断三角形的形状；(2)利用正、余弦定理把已知条件转化为内角的三角函数间的关系，通过三角恒等变形，得出内角的关系，从而判断三角形的形状此时要注意应用 ABC这个结论在ABC 中，已知 a，b，c 分别是角 A，B，C 的对边，若abcosBcosA，试确定ABC 的形状素材1【解析】由abcosBcosA，得 acosAbcosB，所以 ab2c2a22bcba2c2b22ac，所以 a2(b2c2a2)b2(a2c2b2)，所以 c2(a2b2)(a2
5、b2)(a2b2)，所以(a2b2)(a2b2c2)0，所以 ab 或 a2b2c2，所以ABC 是等腰三角形或直角三角形二 用正、余弦定理解斜三角形【例 2】在ABC 中，(1)若 b 2，c1，B45，求 a 及 C 的值；(2)若 A60，a7，b5，求边 c.【分析】(1)可直接使用正弦定理求解，注意解的个数的判断，也可利用余弦定理求解(2)题目条件是已知两边及一边的对角，这种情况一般用正弦定理解，但本题不求 B，并且求出 sinB 后发现 B 非特殊角，故用正弦定理不是最佳选择，而应直接用余弦定理列出关于 c 的方程求解【解析】(1)由正弦定理知 bsinB csinC，所以2sin
6、45 1sinC，所以 sinC12.由于 bc，所以 BC，而 B45，所以 C30.从而 A180BC105，再由正弦定理可得asin1052sin45，所以 a2sin1052sin(6045)6 22.(2)由余弦定理得 a2b2c22bccosA，所以 4925c225ccos60，即 c25c240，解得 c8(c3 舍去)【点评】(1)三角形有三角三边六元素，只要知道三元素(至少有一边)就可求出其余元素(2)已知两边和一边的对角解三角形时，可有两解、一解、无解三种情况，应根据已知条件判断解的情况，主要是根据图形或由“大边对大角”作出判断(3)应熟练掌握余弦定理及其推论，解三角形时
7、，有时可用正弦定理，也可用余弦定理，应注意用哪一个定理更方便 在ABC 中，内角 A，B，C 对边的边长分别是 a，b，c，已知 c2，C3.(1)若ABC 的面积等于 3，求 a，b；(2)若 sinCsin(BA)2sin2A，求ABC 的面积素材2【解析】(1)由余弦定理及已知条件，得 a2b2ab4.又因为ABC 的面积等于 3，所以12absinC 3，得 ab4.联立方程组a2b2ab4ab4，解得 a2，b2.(2)由题意得 sin(BA)sin(BA)4sinAcosA，即 sinBcosA2sinAcosA.当 cosA0 时，A2，B6，a4 33，b2 33.当 cosA
8、0 时，得 sinB2sinA.由正弦定理得 b2a，联立方程组a2b2ab4b2a，解得 a2 33，b4 33.所以ABC 的面积 S12absinC2 33.三用正、余弦定理求解综合问题【例 3】(2011安徽卷)在ABC 中，a，b，c 分别为内角A，B，C 所对的边长，a 3，b 2，12cos(BC)0，求边 BC 上的高【分析】如下图欲求h在RtACD 求出sinC在斜ABC 求出sinB 正弦定理 需知sinA化简 已知 【解析】由 12cos(BC)0 和 BCA，得 12cosA0，cosA12，sinA 32.再由正弦定理，得 sinBbsinAa 22.由 ba 知 B
9、A，所以 B 不是最大角，B2，从而 cosB 1sin2B 22.由上述结果知 sinCsin(AB)22(32 12)设边 BC 上的高为 h，则有 hbsinC 312.【点评】(1)正、余弦定理往往在一道题中交叉使用，以达到“知三求三”的目的；(2)正、余弦定理关键是实现边角互化，注意因题而异，巧妙选择，简化运算；(3)在平面几何中应画出草图，理清思路，重点研究直角三角形，条件较集中的三角形，寻找突破口 在ABC 中，AC2，BC1，cosC34.(1)求 AB 的值；(2)求 sin(2AC)的值素材3【解析】(1)由余弦定理，知 AB2AC2BC22ACBCcosC41221342
10、，所以 AB 2.(2)由 cosC34且 0C，得 sinC 1cos2C 74.由正弦定理，知 ABsinC BCsinA，解得 sinABCsinCAB 148，所以 cosA5 28，由倍角公式，知sin2A2sinAcosA5 716，且 cos2A12sin2A 916，故 sin(2AC)sin2AcosCcos2AsinC3 78.备选例题如图，已知ABC 是边长为 1 的正三角形，M、N 分别是边 AB、AC 上的点，线段 MN 经过ABC 的重心 G.设MGA(323)(1)试将AGM、AGN 的面积(分别记为 S1 与 S2)表示为 的函数；(2)求 y 1S21 1S2
11、2的最大值与最小值【解析】(1)因为 G 是边长为 1 的正三角形 ABC 的重心，所以 AG23 32 33，MAG6，由正弦定理GMsin6GAsin6，得 GM36sin6.则 S112GMGAsinsin12sin6.又GNsin6GAsin6，得 GN36sin6，则 S212GNGAsin()sin12sin6.(2)y 1S21 1S22 144sin2sin2(6)sin2(6)72(3 1tan2)因为323，所以，当 3或 23 时，y 取得最大值 ymax240；当 2时，y 取得最小值 ymin216.【点评】本题第(1)问主要考查解三角形，涉及正弦定理的应用；第(2)问考查三角恒等变形以及三角函数在给定区间上的最值问题，化简为 y72(3 1tan2)加以解决1解斜三角形问题往往用到正弦定理与余弦定理以及三角变换，解题时角度的选取是关键并关注角的取值范围如已知两边及其中一边的对角解三角形，要注意解的情况2利用正、余弦定理可以进行边角互化，有利于判断三角形的形状3解决三角形中的问题，要从统一着手，或统一成角的关系，或统一成边的关系，要视情况灵活处理在解三角形时，要注意解题的完整性，谨防失根
