1、第二练 复数、平面向量 高考总复习大二轮 数 学(新高考)考情考向高考导航1高考对复数的考查重点是其代数形式的四则运算(特别是乘、除法)，也涉及复数的概念及几何意义等知识，难度较低，纯属送分题目2平面向量是高考必考内容，每年每卷有一个小题，难度中档，主要考查平面向量的模、数量积的运算、线性运算等，数量积是考查的热点真题体验1(2019全国卷)设 z32i，则在复平面内 z 对应的点位于()A第一象限 B第二象限C第三象限D第四象限解析：C z 32i，对应的点为(3，2)，在第三象限2(2019全国卷)已知非零向量 a，b 满足|a|2|b|，且(ab)b，则 a 与 b 的夹角为()A.6B
2、.3C.23D.56解析：B(ab)b，(ab)b0.即 ab|b|2；cosa，b ab|a|b|b|22|b|b|12.故a，b3，故选 B.3(2018北京卷)设 a，b 均为单位向量，则“|a3b|3ab|”是“ab”的()A充分而不必要条件B必要而不充分条件C充分必要条件D既不充分也不必要条件解析：C 本题考查平面向量及充分必要条件由题意得|a3b|a26ab9b2，|3ab|9a26abb2.充分性：|a3b|3ab|a26ab9b29a26abb2又|a|1，|b|1，a2b21a29b29a2b26ab6ab即 ab0，ab.充分性得证必要性：ab，ab0又|a|b|1，a26
3、ab9b29a26abb2(a3b)2(3ab)2|a3b|3ab|必要性得证故选 C.4(2018全国卷)已知向量 a(1,2)，b(2，2)，c(1，)若c(2ab)，则 _.解析：2ab2(1,2)(2，2)(4,2)，c(2ab)，1240，解得 12.答案：12主干整合1复数运算中常用的结论(1)(1i)22i，1i1ii，1i1ii.(2)baii(abi)(a，bR)(3)i4n1，i4n1i，i4n21，i4n3i(nN*)(4)i4ni4n1i4n2i4n30(nN*)2“三点”共线的充要条件：O 为平面上一点，则 A，B，P 三点共线的充要条件是OP 1OA 2OB(其中
4、121)3三角形中线向量公式：若 P 为OAB 的边 AB 的中点，则OP12(OA OB)4三角形重心坐标的求法：(1)G为 ABC的 重 心 GA GB GC 0 GxAxBxC3，yAyByC3.(2)OA OB OB OC OC OA O 为ABC 的垂心5平面向量数量积性质：abab0(a0，b0)热点一 复数的概念与运算题组突破1(2019全国卷)设复数 z 满足|zi|1，z 在复平面内对应的点为(x，y)，则()A(x1)2y21 B(x1)2y21Cx2(y1)21 Dx2(y1)21解析：C|zi|1 表示复平面内的点(x，y)到点(0,1)的距离为1，故点 E 的轨迹方程
5、为 x2(y1)21.选 C.2(2020苏州模拟)已知 aR，i 是虚数单位若 za 3i，z z4，则 a()A1 或1 B.7或 7C 3D.3解析：A z z 4，|z|24，即|z|2.za 3i，|z|a23，a232，a1.故选 A.3(2020湖北八校联考)已知复数 z12ai(aR)，z212i，若z1z2为纯虚数，则|z1|()A.2B.3C2 D.5解析：D 由于z1z22ai12i2ai12i522a4ai5为纯虚数，则 a1，则|z1|5，故选 D.4设有下面四个命题p1：若复数 z 满足1zR，则 zR；p2：若复数 z 满足 z2R，则 zR；p3：若复数 z1，
6、z2 满足 z1z2R，则 z1 z 2；p4：若复数 zR，则 z R.其中的真命题为()Ap1，p3Bp1，p4Cp2，p3Dp2，p4解析：B 设 zabi(a，bR)，z1a1b1i(a1，b1R)，z2a2b2i(a2，b2R)对于 p1，若1zR，即1abi abia2b2R，则 b0zabiaR，所以 p1 为真命题对于 p2，若 z2R，即(abi)2a22abib2R，则 ab0.当 a0，b0 时，zabibiR，所以 p2 为假命题对于 p3，若 z1z2R，即(a1b1i)(a2b2i)(a1a2b1b2)(a1b2a2b1)iR，则 a1b2a2b10.而 z1 z
7、2，即 a1b1ia2b2ia1a2，b1b2.因为 a1b2a2b10/a1a2，b1b2，所以 p3 为假命题对于 p4，若 zR，即 abiR，则 b0 z abiaR，所以 p4 为真命题，故选 B.解决复数问题的两种思想方法1复数的“实数化”：复数的分类及对应点的位置问题都可以转化为复数的实部与虚部应该满足的条件问题，只需把复数化为代数形式，列出实部和虚部满足的方程(不等式)组即可2复数的“方程思想”：即把复数 z 当作未知数，从解方程的角度求解 z.热点二 平面向量的运算及应用平面向量的线性运算例 1(1)(2018全国卷)在ABC 中，AD 为 BC 边上的中线，E 为 AD 的
8、中点，则EB()A.34AB14AC B.14AB34ACC.34AB14ACD.14AB34AC解析 A 如图，EBABAEAB12ADAB1212ABACAB14AB14AC34AB14AC.(2)(2020无锡模拟)如图，平面内有三个向量OA，OB，OC，其中OA 与OB 的夹角为 120，OA 与OC 的夹角为 30，且|OA|OB|1，|OC|2 3，若OC OA OB(，R)，则 的值为_解析 解法一 如图，OC OB1 OA1，|OB1|2，|OA1|B1C|4，所以OC 4OA 2OB.所以 6.解法二 以 O 为原点，OA 为 x 轴建立直角坐标系(图略)，则 A(1,0)，
9、C(2 3cos 30，2 3sin 30)，B(cos 120，sin 120)即A(1,0)，C(3，3)，B12，32.由OC OA OB 得，123，32 3，所以2，4.所以 6.答案 6平面向量的线性运算技巧(1)对于平面向量的线性运算，要先选择一组基底，同时注意共线向量定理的灵活运用(2)运算过程中重视数形结合，结合图形分析向量间的关系平面向量数量积的应用数学运算素养数学运算平面向量问题中的核心素养解决几何图形问题时，可以先建立适当的坐标系，将图形坐标化，再运用数学运算解决相关问题在平面向量中，向量的坐标运算就是这一思想的具体应用.例 2(1)(2020石家庄模拟)若两个非零向量
10、 a，b 满足|ab|ab|2|b|，则向量 ab 与 a 的夹角为()A.6B.3C.23D.56解析 A|ab|ab|，|ab|2|ab|2，ab0.又|ab|2|b|，|ab|24|b|2，|a|23|b|2，|a|3|b|，cosab，aaba|ab|a|a2ab|ab|a|a|22|b|a|a|2|b|32，故 ab 与 a 的夹角为6.(2)(2018天津卷)如图，在平面四边形 ABCD 中，ABBC，ADCD，BAD120，ABAD1.若点 E 为边 CD 上的动点，则AEBE的最小值为()A.2116B.32C.2516D3解析 A 建立如图所示的平面直角坐标系，则 A0，12
11、，B32，0，C0，32，D 32，0，E 点在 CD 上，则DE DC(01)，设 E(x，y)，则：x 32，y 32，32，即x 32 32 y32，据此可得：E32 32，32，且：AE32 32，3212，BE32 3，32，由数量积的坐标运算法则可得：AEBE32 3232 3 323212，整理可得：AEBE34(4222)(01)，结合二次函数的性质可知，当 14时，AEBE取得最小值2116.故选 A.涉及数量积、模和最值的解题思路(1)涉及数量积和模的计算问题，通常有两种求解思路；直接利用数量积的定义计算，此时，要善于将相关向量分解为图形中模和夹角已知的向量进行计算建立平面
12、直角坐标系，通过坐标运算求解(2)求解向量数量积的最值(范围)问题，通常建立平面直角坐标系，由数量积的坐标运算得到含有参数的等式，或是转化为函数的最值，或是利用基本不等式求最值，或是利用几何意义求最值(范围)(1)在平行四边形 ABCD 中，点 E 为 CD 的中点，BE 与 AC 的交点为 F，若ABa，AD b，则向量BF()A.13a23bB13a23bC13a23bD.13a23b解析：C BFBC CF BC 13AC AD 13(ABAD)13a23b.(2)(2019江苏卷)如图，在ABC 中，D 是 BC 的中点，E 在边 AB 上，BE2EA，AD 与CE 交于点 O.若AB
13、AC6AO EC，则ABAC的值是_解析：本题考查在三角形中平面向量的数量积运算，渗透了直观想象、逻辑推理和数学运算素养采取几何法，利用数形结合和方程思想解题如图，过点 D 作 DFCE，交 AB 于点 F，由 BE2EA，D 为 BC 中点，知 BFFEEA，AOOD.6AO EC3AD(ACAE)32(ABAC)(ACAE)32(ABAC)AC13AB32ABAC13AB 2AC 213ABAC3223ABAC13AB 2AC 2 ABAC12AB 232AC 2ABAC，得12AB 232AC 2，即|AB|3|AC|，故ABAC 3.答案：3(3)(双空填空题)已知向量 a，b，其中|a|3，|b|2，且(ab)a，则向量 a 和 b 的夹角是_，a(ab)_.解析：本题考查向量数量积的垂直性质由题意，设向量 a，b的夹角为.因为|a|3，|b|2，且(ab)a，所以(ab)a|a|2ab|a|2|a|b|cos 32 3cos 0，解得 cos 32.又因为 0，所以 6.则 a(ab)|a|2|a|b|cos 32 3 32 6.答案：6 6