1、树德中学高2016届高考适应性测试数学（理科）命题：梁昌健一、选择题（每小题5分，共50分）1已知集合，则B的子集共有 （A）2个 （B）4个 （C）6个 （D）8个2中，是的 （A）充分不必要条件 （B）必要不充分条件 （C）充分必要条件 （D）既不充分也不必要条件3右图是抛物线形拱桥，当水面在时，拱顶离水面2米，水面宽4米，若水面下降0.42米后，则水面宽为 （A）2.2米 （B）4.4米 （C）2.4米 （D）4米4.执行如图所示的程序框图，则输出的S= （A）7 （B）11 （C）26 （D）30 5已知直线平面，直线平面，给出下列命题：lm lm lm lm其中正确命题的序号是（A）
2、 （B） （C） （D）6. 点是区域内的任意一点，则使函数在区间上是增函数的概率为 （A） （B） （C） （D）7. 设分别是双曲线的左右焦点，点，则双曲线的离心率为（A）4 （B） （C） （D）28. 某班要从A,B,C,D,E五人中选出三人担任班委中三种不同的职务，则上届任职的A,B,C三人都不连任原职务的方法种数为（A）30 （B） 32 （C）36 （D） 489已知O为ABC的外心，若，且，则B= （A） （B） （C） （D）10. 若函数存在零点，则的取值范围是（A） （B） （C） （D） 二、填空题（每小题5分，共25分）11. 复数的虚部为_。12若四面体的三视图如右
3、图所示，则该四面体的外接球表面积为_。13. 在平面直角坐标系xoy中，以x的非负半轴为始边作两个锐角，它们的终边分别与单位圆交于点A,B，已知A的横坐标为，B的纵坐标为，则_。 14已知正项等比数列满足，若存在两项使得，则的最小值是 _。 15. 太极图是由黑白两个鱼形纹组成的图案，俗称阴阳鱼，太极图展现了一种互相转化，相对统一的和谐美。定义：能够将圆的周长和面积同时等分成两个部分的函数称为圆的一个“太极函数”。则下列有关说法中：对于圆的所有非常数函数的太极函数中，一定不能为偶函数；函数是圆的一个太极函数；存在圆O，使得是圆O的一个太极函数； 直线所对应的函数一定是圆的太极函数；若函数是圆的
4、太极函数，则。所有正确的是_。三、解答题（16-19题每小题12分，20题13分，21题14分）16（本题满分12分） 我市某苹果手机专卖店针对苹果6S手机推出分期付款购买方式，该店对最近购买苹果6S手机的100人进行统计（注：每人仅购买一部手机），统计结果如下表所示：付款方式分1期分2期分3期分4期分5期频数352510已知分3期付款的频率为，请以此100人作为样本，以此来估计消费人群总体，并解决以下问题：（）从消费人群总体中随机抽选3人，求“这3人中（每人仅购买一部手机）恰好有1人分4期付款”的概率；（）若销售一部苹果6S手机，顾客分1期付款(即全款)，其利润为1000元；分2期或3期付款
5、，其利润为1500元；分4期或5期付款，其利润为2000元。用X表示销售一部苹果6S手机的利润，求X的分布列及数学期望。17. （本题满分12分）已知数列的前项和为，点在抛物线上，各项都为正数的等比数列满足。（）求数列，的通项公式；（）记,求数列的前n项和。18. （本题满分12分）已知锐角中内角A,B,C所对边的边长分别为，满足，且。（）求角C的值；（）设函数,且图象上相邻两最高点间的距离为,求的取值范围。19.（本题满分12分）如图，在四棱锥中，是边长为的正三角形，为棱的中点.（）求证：平面；（）若平面平面,求二面角的余弦值。20. （本题满分13分）如图“月亮图”是由曲线与构成，曲线 是
6、以原点O为中心，为焦点的椭圆的一部分，曲线是以O为顶点，为焦点的抛物线的一部分，是两条曲线的一个交点，。（）求曲线和的方程；（）过作一条与轴不垂直的直线，分别与曲线，依次交于B,C,D,E四点，若G为CD的中点、H为BE的中点，问：是否为定值？若是求出该定值；若不是说明理由 21. （本题满分14分）已知函数。（）讨论函数的单调区间与极值；（）若，使得对任意恒成立，求的取值范围；（）当时，若函数有且仅有一个零点，设，且函数有两个零点，求实数的取值范围，并证明：。 树德中学高2016届高考适应性测试数学（理科）参考答案一、选择题1-10 AABBC ADBDA 前5题需要大家细心，开考发卷前5分
7、钟不必急着去思考这些题，这5分钟需要通看试卷21个题目，把“陷阱”条件找一找，大致熟悉题目难度，可能用到的知识与方法等。对集合表达的含义与运算、充分必要性的判断、框图、复数的运算及相关内容等简单知识更要细心。7. 点在如图矩形的顶点（双曲线实轴与虚轴），可求离心率。8. 分类：若ABC全选，则有2种；若ABC选两个，则有=18种；若ABC选一个，则有=12种（分类与枚举是计数原理中重要的方法，分类要求标准清晰，不重不漏）9. 对两边与作数量积，运用数量积知识（投影）可得，由正弦定理可得角B的值。（对条件给出向量的关系，把向量关系转化为数量关系，两边可作数量积，也可以选择平方转化，根据题意合理尝
8、试。对投影，外心、内心、垂心、重心等概念性质要熟练掌握）10. 此题的来源：例：若函数与图像仅有一个交点，且在公共点处有公共的切线，则=_。切点坐标为_。例解：两函数互为反函数，则该切线即为，设切点A，可求出A(e,e)，此时。若时，则与无公共点；若时则与有两个公共点。当然，对时，两函数的交点还可能有3个（此知识点不作要求）。对，换元令，即得，由上知，得，此题本打算为填空题，后来降低难度作为选择题，运用极限思想，当时，存在交点，当时，零点为e，可得答案A。在第9或10题时，特殊值、排除法、极限、选项相悖、甚至几何图中用直尺量等都是作选择题很好的方法，切不可过多浪费时间，如果读3遍题目仍不知所云
9、，猜吧，孩子！这是忠告！二、填空题11. ；12. ；13. ；14. ；15. 12题：在三视图与直观图转化过程中，以一个长方体为载体是很好的方式，使得作图更直观。如例题： 一个棱锥的三视图如右图所示，则该棱锥的体积为_13此题是考查三角函数定义，三角函数线相关知识，求。是给值求角问题，首先需要对的范围估算，二三象限正弦值异号，故选择求的正弦值，。14. 此题易得，求最值，很熟悉的问题。,注意取等条件，无正整数解，故不能取等。，函数，通过比较的值可得最小值。15. 对显然错误，如图对，点均为两曲线的对称中心，且能把圆一分为二，正确。对，函数为奇函数，当时，当时，函数递减；当时，当时，函数递减
10、；函数关于（0，0）中心对称，有三条渐近线，可知，函数的对称中心为间断点，故不存在圆使得满足题干条件。直线恒过定点，满足题意。函数为奇函数，与圆的交点恒坐标为，令，得，得即；对，当时显然无解，即时也无解，即时两曲线仅有两个交点，函数能把圆一分为二，且周长和面积均等分。若时，函数图像与圆有4个交点，若时，函数图像与圆有6个交点，均不能把圆一分为二。三、解答题16解：（）由题意得，所以，又，所以设事件为“购买一部手机的3名顾客中，恰好有1名顾客分4期付款”，由题意得：随机抽取一位购买者，分期付款的概率为，所以 5分（）记分期付款的期数为，依题意得，因为可能取得值为元，元，元，并且易知，所以的分布列
11、为所以的数学期望 12分17解：（I）, 当时， 数列是首项为2，公差为3的等差数列 3分又各项都为正数的等比数列满足，解得, 6分 () ， 12分18解：（）因为,由余弦定理知所以，又因为,则由正弦定理得:， 所以，所以 .6分（）由已知，则 .9分，由于，所以 所以，所以 .12分19解: （）证明：取中点，连接、，,、平面，、平面平面平面,平面平面. .5分（）解： 平面平面 ，交线为平面，且连接,分别取所在直线为轴建立空间直角坐标系，如图所示.则点，,设平面的法向量为则即设平面的法向量为，因此所求二面角的余弦值为.12分20解. （）设椭圆方程为，则，得，作差得，又，得或（舍去）故椭
12、圆方程为，抛物线方程为。 4分（）设，把直线 13分21解：（）当时，恒成立，函数的单调增区间为，无极值；当时，时，时，函数的单调减区间为，增区间为，有极小值。 .4分（）对任意恒成立，则必有，即，即，使得成立，令函数，得为增函数，。 .8分（）方法一：由（）知，时，当时，当时，函数有且仅有一个零点，即，。， 记 ，故函数在上递增，在上递减，时，；时，有两个零点，故，。 .10分不妨设，由题意，则， 欲证，只需证明：，只需证明：，即证：，即证，设，则只需证明：，也就是证明：记，在单调递增，所以原不等式成立，故得证. .14分方法二：，设，则，若，则恒成立，所以函数在单调递增，与题意不符，舍.若
13、，则，在单调递增，在单调递减，所以若函数有两个零点，则只需，解得.不妨设，则，设，则化简可得，所以函数在单调递增，时，又因为，且函数在单调递减，即，所以成立。 树德中学高2016届高考适应性测试数学（文科）命题：梁昌健一、选择题（每小题5分，共50分）1已知集合，则B的子集共有 （A）2个 （B）4个 （C）6个 （D）8个2中，是的 （A）充分不必要条件 （B）必要不充分条件 （C）充分必要条件 （D）既不充分也不必要条件3已知平面向量，且，则（A） （B） （C）5 （D）4右图是抛物线形拱桥，当水面在时，拱顶离水面2米，水面宽4米，若水面下降0.42米后，则水面宽为 （A）2.2米 （B
14、）4.4米 （C）2.4米 （D）4米5.执行如图所示的程序框图，则输出的S= （A）7 （B）11 （C）26 （D）30 6. 已知,则（A）0 （B）1 （C） （D）7已知直线平面，直线平面，给出下列命题：lm lm lm lm其中正确命题的序号是（A） （B） （C） （D）8. 点是区域内的任意一点，则使函数在区间上是增函数的概率为 （A） （B） （C） （D）9. 在平面直角坐标系xoy中，以x的非负半轴为始边作两个锐角，它们的终边分别与单位圆交于点A,B，已知A的横坐标为，B的纵坐标为，则 （A）（B）（C） （D）10. 若函数存在零点，则的取值范围是（A） （B） （C）
15、 （D） 二、填空题（每小题5分，共25分）11. 复数的虚部为_。 12若四面体的三视图如右图所示，则该四面体的外接球表面积为_。 13. 设分别是双曲线的左右焦点，点，则双曲线的离心率为_。14已知正项等比数列满足，若存在两项使得，则的最小值是 _。15. 太极图是由黑白两个鱼形纹组成的图案，俗称阴阳鱼，太极图展现了一种互相转化，相对统一的和谐美。定义：能够将圆的周长和面积同时等分成两个部分的函数称为圆的一个“太极函数”。则下列有关说法中：对于圆的所有非常数函数的太极函数中，一定不能为偶函数；函数是圆的一个太极函数；存在圆O，使得是圆O的一个太极函数； 直线所对应的函数一定是圆的太极函数；
16、若函数是圆的太极函数，则。所有正确的是_。三、解答题（16-19题每小题12分，20题13分，21题14分）16. （本题满分12分）已知某中学联盟举行了一次“盟校质量调研考试”活动为了解本次考试学生的某学科成绩情况，从中抽取部分学生的分数（满分为100分，得分取正整数，抽取学生的分数均在之内）作为样本（样本容量为n）进行统计按照，的分组作出频率分布直方图，并作出样本分数的茎叶图（茎叶图中仅列出了得分在，的数据）（）求样本容量n和频率分布直方图中的x、y的值；（）在选取的样本中，从成绩在80分以上（含80分）的学生中随机抽取2名学生参加“省级学科基础知识竞赛”，求所抽取的2名学生中恰有一人得分
17、在内的概率。17. （本题满分12分）已知数列前项和为，点在抛物线上，各项都为正数的等比数列满足。（）求数列，的通项公式；（）记,求数列的前n项和。18（本题满分12分）已知锐角中内角A,B,C所对边的边长分别为，满足，且。（）求角C的值；（）设函数,且图象上相邻两最高点间的距离为,求的取值范围。19（本题满分12分）如图，在四棱锥中，底面是边长为的正方形，侧棱底面，且侧棱的长是，点分别是的中点。（）证明:平面；（）求三棱锥的体积。20. （本题满分13分）如图“月亮图”是由曲线 与构成，曲线是以原点O为中心，为焦点的椭圆的一部分，曲线是以O为顶点，为焦点的抛物线的一部分，是两条曲线的一个交点
18、。（）求曲线和的方程；（）过作一条与轴不垂直的直线，分别与曲线，依次交于B,C,D,E四点，若G为CD的中点、H为BE的中点，问：是否为定值？若是求出该定值；若不是说明理由 21. （本题满分14分）已知函数。（）讨论函数的单调区间与极值；（）若且恒成立，求的最大值；（）在（）的条件下，且取得最大值时，设，且函数有两个零点，求实数的取值范围，并证明：。树德中学高2016届高考适应性测试数学（文科）参考答案一、选择题1-10 AADBB BCCDA前5题需要大家细心，开考发卷前5分钟不必急着去思考这些题，这5分钟需要通看试卷21个题目，把“陷阱”条件找一找，大致熟悉题目难度，可能用到的知识与方法
19、等。对集合表达的含义与运算、充分必要性的判断、框图、复数的运算及相关内容等简单知识更要细心。9.此题是考查三角函数定义，三角函数线相关知识，求。是给值求角问题，首先需要对的范围估算，二三象限正弦值异号，故选择求的正弦值，。10. 此题的来源：例：若函数与图像仅有一个交点，且在公共点处有公共的切线，则=_。切点坐标为_。例解：两函数互为反函数，则该切线即为，设切点A，可求出A(e,e)，此时。若时，则与无公共点；若时则与有两个公共点。当然，对时，两函数的交点还可能有3个（此知识点不作要求）。对，换元令，即得，由上知，得，此题本打算为填空题，后来降低难度作为选择题，运用极限思想，当时，存在交点，当
20、时，零点为e，可得答案A。在第9或10题时，特殊值、排除法、极限、选项相悖、甚至几何图中用直尺量等都是作选择题很好的方法，切不可过多浪费时间，如果读3遍题目仍不知所云，猜吧，孩子！这是忠告！二、填空题11. ；12. ；13. 2；14. ；15. 12题：在三视图与直观图转化过程中，以一个长方体为载体是很好的方式，使得作图更直观。13. 点在如图矩形的顶点（双曲线实轴与虚轴），可求离心率。14. 此题易得，求最值，很熟悉的问题。,注意取等条件，无正整数解，故不能取等。，函数，通过比较的值可得最小值。15. 对显然错误，如图对，点均为两曲线的对称中心，且能把圆一分为二，正确。对，函数为奇函数，
21、当时，当时，函数递减；当时，当时，函数递减；函数关于（0，0）中心对称，有三条渐近线，可知，函数的对称中心为间断点，故不存在圆使得满足题干条件。直线恒过定点，满足题意。函数为奇函数，与圆的交点恒坐标为，令，得，得即；对，当时显然无解，即时也无解，即时两曲线仅有两个交点，函数能把圆一分为二，且周长和面积均等分。若时，函数图像与圆有4个交点，若时，函数图像与圆有6个交点，均不能把圆一分为二。三、解答题16解：（）由题意可知，样本容量， ， 6分（）由题意可知，分数在内的学生有5人，记这5人分别为，分数在内的学生有2人，记这2人分别为 ，抽取2名学生的所有情况有21种，分别为：. 其中2名同学的分数
22、恰有一人在内的情况有10种， 所抽取的2名学生中恰有一人得分在内的概率 12分17解：（I）, 当时， 数列是首项为2，公差为3的等差数列 又各项都为正数，解得, 6分 () ， 12分18解：（）因为,由余弦定理知所以 又因为,则由正弦定理得:， 所以，所以 .6分（）由已知，则 .9分，由于，所以 所以，所以 .12分19.（）证明:四边形是边长为的正方形，是的中点,又侧棱底面,面又 是等腰三角形， 是的中点, . 同理 是等腰三角形， 是的中点, 面平面 (6分)（）侧棱底面,面 由（）知：平面 ,是三棱锥到平面的距离分别是的中点,，,四边形是边长为的正方形，是的中点 三角形是等边三角形
23、 （12分）20. （）由题意得抛物线，设椭圆方程为，则，得，故椭圆方程为。 （4分）（）设，把直线 （13分）21.解：（）当时，恒成立，函数的单调增区间为，无极值；当时，时，时，函数的单调减区间为，增区间为，有极小值。 .4分（）当时，由（）得，即当时，最大为1。 .8分（）方法一：由（）知。， 记 ，故函数在上递增，在上递减，时，；时，有两个零点，故，。 .10分不妨设，由题意，则， 欲证，只需证明：，只需证明：，即证：，即证，设，则只需证明：，也就是证明：记，在单调递增，所以原不等式成立，故得证. .14分方法二：，设，则，若，则恒成立，所以函数在单调递增，与题意不符，舍.若，则，在单调递增，在单调递减，所以若函数有两个零点，则只需，解得.不妨设，则，设，则化简可得，所以函数在单调递增，时，又因为，且函数在单调递减，即，所以成立。
