1、31.2指数函数第1课时指数函数及其图象学习目标1.理解指数函数的概念和意义(难点)；2.能画出指数函数的简图(重点)；3.初步掌握指数函数的有关性质(重点)预习教材P6467，完成下面问题：知识点一指数函数的概念一般地，函数yax(a0，且a1)叫做指数函数，其中x是自变量，函数的定义域是R.【预习评价】下列函数中一定是指数函数的有_(填序号)(1)y(4)x; (2)y()x；(3)y23x; (4)yx3；解析y(4)x的底数40，不是指数函数；y23x中3x的系数等于2，不是指数函数；yx3中自变量x在底数的位置上，不是指数函数；由指数函数的定义知，只有yx是指数函数答案(2)知识点二
2、指数函数的图象和性质a10a1图象续表性质定义域：R值域：(0，)过点(0,1)，即x0时，y1当x0时，y1；当x0时，0y1当x0时，0y1；当x0时，y1在R上是增函数在R上是减函数【预习评价】指数函数f(x)(a1)x是(，)上的减函数，则a的取值范围是_解析函数f(x)(a1)x是指数函数，且f(x)为减函数，0a11，1a0.答案(1,0)知识点三比较幂的大小一般地，比较幂大小的方法有：(1)对于同底数不同指数的两个幂的大小，利用指数函数的单调性来判断；(2)对于底数不同指数相同的两个幂的大小，利用指数函数的图象的变化规律来判断；(3)对于底数不同指数也不同的两个幂的大小，则通过中
3、间值来判断【预习评价】思考若x1x2，则ax1与ax2(a0且a1)大小关系如何？提示当a1时，yax在R上为单调增函数所以ax1ax2，当0a1时，yax在R上为单调减函数，所以ax1ax2.题型一指数函数的概念【例1】给出下列函数：y23x；y3x1；y3x；yx3；y(2)x.其中，指数函数的个数是_解析中，3x的系数是2，故不是指数函数；中，y3x1的指数是x1，不是自变量x，故不是指数函数；中，3x的系数是1，幂的指数是自变量x，且只有3x一项，故是指数函数；中，yx3的底为自变量，指数为常数，故不是指数函数；中，底数20，不是指数函数答案1规律方法(1)指数函数的解析式必须具有三个
4、特征：底数a为大于0且不等于1的常数；指数位置是自变量x；ax的系数是1.(2)求指数函数的关键是求底数a，并注意a的限制条件【训练1】函数y(2a23a2)ax是指数函数，求a的值解由题意得解得a.a的值为.题型二指数型函数的定义域、值域【例2】求下列函数的定义域和值域：(1)y2；(2)y；(3)y；(4)y4x2x11.解(1)由x40，得x4，故y2的定义域为x|xR，且x4又0，即1，故y的值域为y|y0，且y1(2)由12x0，得2x1，x0，y的定义域为(，0由02x1，得12x0，012x1，y的值域为0,1)(3)y的定义域为R.x22x3(x1)244，416.又0，故函数
5、y的值域为(0,16(4)定义域为R.y4x2x11(2x)222x1(2x1)2，又2x0，y1，故函数的值域为y|y1规律方法对于yaf(x)(a0，且a1)这类函数，(1)定义域是使f(x)有意义的x的取值范围；(2)求值域问题，有以下三种方法：由定义域求出uf(x)的值域；利用指数函数yau的单调性求得此函数的值域求形如yAa2xBaxC类函数的值域一般用换元法，设axt(t0)再转化为二次函数求值域【训练2】(1)函数f(x)的定义域为_(2)函数f(x)x1，x1,2的值域为_解析(1)由题意，自变量x应满足解得3x0，定义域为(3,0(2)1x2，x3，x12，值域为.答案(1)
6、(3,0(2)，2互动探究题型三指数函数的图象及其应用【探究1】如图是指数函数yax，ybx，ycx，ydx的图象，则a，b，c，d与1的大小关系是_解析方法一在y轴的右侧，指数函数的图象由下到上，底数依次增大由指数函数图象的升降，知cd1，ba1.ba1dc.方法二如图，作直线x1，与四个图象分别交于A，B，C，D四点，由于x1代入各个函数可得函数值等于底数的大小，所以四个交点的纵坐标越大，则底数越大，由图可知ba1dc.答案ba1dc【探究2】已知f(x)2x的图象，指出下列函数的图象是由yf(x)的图象通过怎样的变化得到：(1)y2x1；(2)y2x1；(3)y2x1；(4)y2x；(5
7、)y2|x|.解(1)y2x1的图象是由y2x的图象向左平移一个单位得到(2)y2x1的图象是由y2x的图象向右平移1个单位得到(3)y2x1的图象是由y2x的图象向上平移1个单位得到(4)y2x与y2x的图象关于y轴对称，作y2x的图象关于y轴的对称图形便可得到y2x的图象(5)y2|x|为偶函数，故其图象关于y轴对称，故先作出当x0时，y2x的图象，再作关于y轴的对称图形，即可得到y2|x|的图象【探究3】试画出y2|x1|的图象解y2|x1|而y2x1可由y2x向右平移1个单位得到，yx1可由yx向右平移一个单位得到图象如下：【探究4】直线y2a与函数y|2x1|图象有两个公共点，求实数
8、a的取值范围解y|2x1|图象如下：由图可知，要使直线y2a与函数y|2x1|图象有两个公共点需02a1，即0a，故a(0，)规律方法指数函数yax(a0且a1)的图象变换：(1)平移变换：把函数yax的图象向左平移(0)个单位，则得到函数yax的图象；若向右平移(0)个单位，则得到函数yax的图象；若向上平移(0)个单位，则得到yax的图象；若向下平移(0)个单位，则得到yax的图象即“左加右减，上加下减”(2)对称变换：函数yax的图象与函数yax的图象关于y轴对称；函数yax的图象与函数yax的图象关于x轴对称；函数yax的图象与函数yax的图象关于原点对称；函数ya|x|的图象关于y轴
9、对称；函数y|axb|的图象就是yaxb在x轴上方的图象不动，把x轴下方的图象翻折到x轴上方(3)一般的情形：函数y|f(x)|的图象由yf(x)在x轴上方图象与x轴下方的部分沿x轴翻折到上方合并而成，简记为“下翻上，擦去下”；函数yf(|x|)的图象由函数yf(x)在y轴右方图象与其关于y轴对称的图象合并而成，简记为“右翻左，擦去左”.课堂达标1若函数y(a25a7)(a1)x是指数函数，则a的值为_解析由指数函数的定义可得a25a71，解得a3或a2，又因为a10且a11，故a3.答案32已知函数f(x)4ax1的图象经过定点P，则点P的坐标是_解析当x10，即x1时，ax1a01，为常数
10、，此时f(x)415，即点P的坐标为(1,5)答案(1,5)3函数y的值域是_解析x211，y12，又y0，函数值域为(0,2答案(0,24已知0a1，b1，则函数yaxb的图象必定不经过第_象限解析取a，b2，所以得函数yx2，由图象平移的知识知，函数yx2的图象是由函数yx的图象向下平移两个单位得到的，故其图象一定不过第一象限答案一5若函数f(x)(a27a7)ax是指数函数，求实数a的值解函数f(x)(a27a7)ax是指数函数，a6，即实数a的值为6.课堂小结1判断一个函数是不是指数函数，关键是看解析式是否符合yax(a0且a1)这一结构形式，即ax的系数是1，指数是x且系数为1.2指数函数yax(a0且a1)的性质分底数a1,0a1两种情况，但不论哪种情况，指数函数都是单调的3指数函数的定义域为(，)，值域为(0，)，且f(0)1.4当a1时，a的值越大，图象越靠近y轴，递增速度越快当0a1时，a的值越小，图象越靠近y轴，递减的速度越快.