1、22函数的简单性质22.1函数的单调性第1课时函数的单调性学习目标1.了解函数单调性的概念，掌握判断简单函数单调性的方法(重点)；2.能用文字语言和数学符号语言描述增函数、减函数、单调性等概念，能准确理解这些定义的本质特点(难点)预习教材P3738，完成下面问题：知识点一单调增函数与单调减函数的定义一般地，设函数yf(x)的定义域为A，区间IA，如果对于区间I内的任意两个值x1，x2，当x1x2时，都有f(x1)f(x2)(f(x1)f(x2)，那么就说yf(x)在区间I上是单调增(减)函数，I称为yf(x)的单调增(减)区间【预习评价】如果函数f(x)在a，b上是增函数，对于任意的x1，x2
2、a，b(x1x2)，则下列结论中正确的是_0；(x1x2)f(x1)f(x2)0；f(a)f(x1)f(x2)f(b)；0.解析由函数单调性的定义可知，若函数yf(x)在给定的区间上是增函数，则x1x2与f(x1)f(x2)同号，由此可知，、正确；对于，当x1x2时，可有x1a或x2b，即f(x1)f(a)或f(x2)f(b)，故不成立答案知识点二单调性与单调区间如果函数yf(x)在区间I上是单调增函数或单调减函数，就说函数yf(x)在区间I上具有单调性，区间I称为单调区间【预习评价】判断(1)任何函数在定义域上都具有单调性()(2)若函数f(x)在定义域内的两个区间D1，D2上都是减函数，那
3、么f(x)的减区间可写成D1D2.()提示(1).函数的单调性是指函数在定义域内或定义域的某个区间内的变化趋势，是递增或递减的一种定性描述，它是函数的局部性质有的函数不具有单调性，例如：函数y再如：函数yx1(xZ)，它的定义域不能用区间表示，也不能说它在定义域上具有单调性(2).单调区间不能取并集，如y在(，0)上递减，在(0，)上也递减，但不能说y在(，0)(0，)上递减思考我们已经知道f(x)x2的减区间为(，0，f(x)的减区间为(，0)，这两个减区间能不能交换？提示f(x)x2的减区间可以写成(，0)，而f(x)的减区间(，0)不能写成(，0，因为0不属于f(x)的定义域题型一求单调
4、区间并判断单调性【例1】(1)如图是定义在区间5,5上的函数yf(x)，根据图象说出函数的单调区间，以及在每一单调区间上，它是单调增函数还是单调减函数？(2)写出yx23|x|2的单调区间解(1)yf(x)的单调区间有5，2，2,1，1,3，3,5，其中yf(x)在区间5，2，1,3上是单调减函数，在区间2,1，3,5上是单调增函数(2)由f(x)画出草图：f(x)在(，0，上单调递减，在，0，)上单调递增规律方法函数的单调性是在定义域内的某个区间上的性质，单调区间是定义域的子集；当函数出现两个以上单调区间时，单调区间之间可用“，”分开，不能用“”，可以用“和”来表示；在单调区间D上函数要么是
5、单调增函数，要么是单调减函数，不能二者兼有【训练1】(1)根据下图说出函数在每一单调区间上，函数是单调增函数还是单调减函数；(2)写出y|x22x3|的单调区间解(1)函数在1,0，2,4上是单调减函数，在0,2，4,5上是单调增函数(2)先画出f(x)的图象，如下图则函数单调减区间是(，1，1,3，单调增区间是(1,1)，(3，)题型二函数单调性的判定与证明【例2】求证：函数f(x)x在(0,1)上是减函数证明设任意的x1，x2(0,1)，且x1x2，由f(x2)f(x1)(x2)(x1)x2x1(x2x1)(1).因为0x1x21，所以x1x210，x2x10，所以0，所以f(x2)f(x
6、1)所以函数f(x)x在(0,1)上是减函数规律方法利用定义证明函数单调性的步骤如下：(1)取值：设x1，x2是该区间内的任意两个值，且x1f(m9)，则实数m的取值范围是_解析因为函数yf(x)在R上为增函数，且f(2m)f(m9)，所以2mm9，即m3.答案(3，)5求函数yx|x1|的单调递增区间解画出函数yx|x1|的图象，如图，可得函数的单调递增区间为(，1，)课堂小结1对函数单调性的理解(1)单调性是与“区间”紧密相关的概念，一个函数在定义域的不同的区间上可以有不同的单调性(2)单调性是函数在某一区间上的“整体”性质，因此定义中的x1、x2有以下几个特征：一是任意性，即任意取x1，x2，“任意”二字绝不能丢掉，证明单调性时更不可随意以两个特殊值替换；二是有大小，通常规定x1x2；三是属于同一个单调区间(3)单调性能使自变量取值之间的不等关系和函数值的不等关系正逆互推，即由f(x)是增(减)函数且f(x1)f(x2)x1x2)(4)并不是所有函数都具有单调性若一个函数在定义区间上既有增区间又有减区间，则此函数在这个区间上不具有单调性2单调性的判断方法(1)定义法：利用定义严格判断(2)图象法：作出函数的图象，用数形结合的方法确定函数的单调区间(3)用两个函数和(差)的单调性的规律判断：“增增增”，“减减减”，“增减增”，“减增减”.