1、宝山区2015学年度第一学期期末高三年级数学学科教学质量监测试卷（本试卷共有23道试题，满分150分，考试时间120分钟）一填空题（本大题满分56分）本大题共有14题，只要求直接填写结果，每个空格填对得4分，否则一律得零分1.方程的解集为 .2.已知:（是虚数单位 ），则= . 3以为圆心，且与直线相切的圆的方程是 4.数列所有项的和为 5. 已知矩阵A=，B=，AB=，则x+y= 6. 等腰直角三角形的直角边长为1，则绕斜边旋转一周所形成的几何体的体积为 .7若的展开式中的系数是-84，则a= 8. 抛物线的准线与双曲线的两条渐近线所围成的三角形的面积等于 9. 已知函数的最小正周期为，将的
2、图像向左平移个单位，所得图像对应的函数为偶函数，则的最小值为 10.两个三口之家，共4个大人，2个小孩，约定星期日乘红色、白色两辆轿车结伴郊游，每辆车最多乘坐4人，其中两个小孩不能独坐一辆车，则不同的乘车方法种数是 11. 向量，满足，与的夹角为60，则 .12. 数列，则是该数列的第 项.13. 已知直线（其中为实数）过定点，点在函数的图像上，则连线的斜率的取值范围是 . 14. 如图，已知抛物线及两点和，其中.过，分别作轴的垂线，交抛物线于，两点，直线与轴交于点，此时就称，确定了.依此类推，可由，确定，.记，.给出下列三个结论： 数列是递减数列； 对任意，； 若，则.其中，所有正确结论的序
3、号是_ 二选择题（本大题满分20分）本大题共有4题，每题都给出代号为A、B、C、D的四个结论，其中有且只有一个结论是正确的必须用2B铅笔将正确结论的代号涂黑，选对得5分，不选、选错或者选出的代号超过一个，一律得零分15.如图，该程序运行后输出的结果为 （ ）（A）1 （B）2 （C）4 （D）1616. P是所在平面内一点，若，其中，则P点一定在（ ）（A）内部 （B）AC边所在直线上 （C）AB边所在直线上 （D）BC边所在直线上17.若是异面直线，则下列命题中的假命题为- （）（A）过直线可以作一个平面并且只可以作一个平面与直线平行；（B）过直线至多可以作一个平面与直线垂直；（C）唯一存在
4、一个平面与直线等距；（D）可能存在平面与直线都垂直。18.王先生购买了一部手机，欲使用中国移动“神州行”卡或加入联通的130网，经调查其收费标准见下表：（注：本地电话费以分为计费单位，长途话费以秒为计费单位.）网络月租费本地话费长途话费甲：联通13012元0.36元/分0.06元/秒乙：移动“神州行”无0.60元/分0.07元/秒若王先生每月拨打本地电话的时间是拨打长途电话时间的5倍，若要用联通130应最少打多长时间的长途电话才合算. （ ）（A）300秒 （B）400秒 （C）500秒 （D）600秒三解答题（本大题满分74分）本大题共有5题，解答下列各题必须写出必要的步骤，答题务必写在黑色
5、矩形边框内19（本题满分12分）在三棱锥中，已知PA，PB，PC两两垂直，PB=5，PC=6，三棱锥的体积为20，Q是BC的中点，求异面直线PB，AQ所成角的大小（结果用反三角函数值表示）。20. （本题满分14分，第1小题6分，第2小题8分） 已知角是的三个内角，是各角的对边，若向量,且.（1）求的值；（2）求的最大值. 21. （本题满分14分，第1小题7分，第2小题7分） 某市2013年发放汽车牌照12万张，其中燃油型汽车牌照10万张，电动型汽车2万张为了节能减排和控制总量，从2013年开始，每年电动型汽车牌照按50%增长，而燃油型汽车牌照每一年比上一年减少万张，同时规定一旦某年发放的牌
6、照超过15万张，以后每一年发放的电动车的牌照的数量维持在这一年的水平不变（1）记2013年为第一年，每年发放的燃油型汽车牌照数构成数列，每年发放的电动型汽车牌照数构成数列，完成下列表格，并写出这两个数列的通项公式； 3 （2）从2013年算起，累计各年发放的牌照数，哪一年开始超过200万张？22. （本题满分16分，第1小题4分，第2小题6分，第3小题6分）已知椭圆上两个不同的点A,B关于直线对称（1）若已知，为椭圆上动点，证明：；（2）求实数的取值范围；（3）求面积的最大值（为坐标原点）23（本题满分18分，第1小题4分，第2小题6分，第3小题8分）已知函数（为常数，且），且数列是首项为4，
7、公差为2的等差数列. (1)求证：数列是等比数列； (2) 若，当时，求数列的前项和的最小值；（3）若，问是否存在实数，使得是递增数列？若存在，求出的范围；若不存在，说明理由宝山区2015学年第一学期期末高三年级数学参考答案一填空题1. 2. 3 4 25. 8 6. 7 1 8. 9. 10.48 11. 12. 128 13. 14. 二选择题 15.D 16. B 17. D 18.B三解答题19解：，所以，-3分取PC的中点为D，连结AD，DQ，则为异面直线PB，AQ所成的角，-5分，-7分因为，所以-9分所以异面直线PB，AQ所成的角为。-12分20. （本题满分14分，第1小题6分
8、，第2小题8分）解：（1）由,，且，即.-2分,-4分即,.-6分（2）由余弦定理得，-8分而-10分由知： -11分, 当且仅当时取等号，-12分又,有最大值，所以的最大值为.-14分21. 解：（1） 9 8.5 3 4.5 6.75 -1分当且时，；当且时，-4分而，-7分（2）当时，-8分当时， -11分由 得，即，解得 -13分到2029年累积发放汽车牌照超过200万张-14分22. （本题满分16分，第1小题4分，第2小题6分，第3小题6分）解：（1）设则, 于是= -2分 因, 所以，当时，.即 -4分（2）由题意知，可设直线的方程为. -5分由消去，得. -7分因为直线与椭圆有
9、两个不同的交点，所以,，即-8分将中点 -9分代入直线方程解得由得或 -10分（3）令，即，则 -11分且到直线的距离为 -12分设的面积为，所以 -14分当且仅当时，等号成立.故面积的最大值为. -16分23（本题满分16分，第1小题4分，第2小题6分，第3小题8分）解：(1) 证：由题意，即， -2分. 常数且，为非零常数，数列是以为首项，为公比的等比数列. -4分 (2) 当时， , ，-6分所以-8分因为,所以，是递增数列，因而最小值为。-10分(3) 由(1)知，要使对一切成立，即对一切成立. -12分 当时，对一切恒成立；-14分当时，对一切恒成立，只需，-16分单调递增，当时，. -17分，且， . 综上所述，存在实数满足条件. -18分