1、综合运用三角公式进行三角变换，常用的变换：变换角度、变换名称、变换解析式结构 12 三角函数式化简的一般要求：三角函数种数尽量少；项数尽量少；次数尽量低；尽量使分母不含三角函数式；尽量使被开方数不含三角函数式；能求出的值应尽量求出值依据三角函数式的结构特点，常采用的变换方法：异角化同角；异名化同名；异次化同次；高次三角化简求值降次常见的有给变换的基本题型化简、求值和证明角求值，给值求值，给值求角()3给角求值的关键是正确地分析角已知角与未知角之间的关系，准确地选用公式，注意转化为特殊值给值求值的关键是分析已知式与待求式之间角、名称、结构的差异，有目的地将已知式、待求式的一方或两方加以变换，找出
2、它们之间的联系，最后求待求式的值给值求角的关键是求出该角的某一三角函数值，讨论角的范围，求出该角它包括无条件的恒等式和附加条件恒等式的证明常用方法：从左推到右；从右推到左证明；左右互推1.定义运算 aba2abb2，则 sin6cos6()A12 34B12 34C1 34D1 34【解析】sin6cos6sin26sin6cos6cos2612 34.2.(2012永州模拟)若 f(sinx)3cos2x，则 f(cosx)()A3cos2xB3sin2xC3cos2x D3sin2x【解析】因为 f(sinx)3(12sin2x)22sin2x，所以 f(x)22x2，所以 f(cosx)
3、22cos2x3cos2x.3.若1tanx1tanx2013，则1cos2xtan2x 的值为 2013.【解析】1cos2xtan2x1sin2xcos2x sinxcosx2cos2xsin2xcosxsinxcosxsinx1tanx1tanx2013.4.已知 tan()25，tan(4)14，那么 tan(4)的值是 322.【解析】tan(4)tan()(4)tantan41tantan4251412514 322.5.已知(2，)，化简 2 1sin 22cos 2sin2.【解析】因为 2 1sin 22cos2sin2cos224cos222|sin2cos2|2|cos2
4、|，且2(4，2)，所以原式2(sin2cos2)2cos22sin2.一 通过恒等变形后的求值问题【例 1】(2011广东卷)已知函数 f(x)2sin(13x6)，xR.(1)求 f(0)的值；(2)设，0，2，f(32)1013，f(32)65，求sin()的值【解析】(1)f(0)2sin(6)2sin61.(2)因为1013f(32)2sin13(32)62sin，65f(32)2sin13(32)62sin(2)2cos，所以 sin 513，cos35，又、0，2，所以 cos 1sin21 51321213，sin 1cos2135245，故 sin()sincoscossin
5、 513351213456365.【点评】对于附加条件求值问题，要先看条件可不可以变形或化简，然后看所求式子能否化简，再看它们之间的相互联系，通过分析找到已知与所求的联系已知：04，04，且 3sinsin(2)，4tan21tan22，求 的值素材1【解析】因为 3sinsin(2)，即 3sin()sin()，所以 3sin()cos3cos()sinsin()coscos()sin，所以 2sin()cos4cos()sin，即 tan()2tan.又 4tan21tan22tan2tan21tan2212，所以 tan()1，又 02，所以 4.二 三角恒等式的证明【例 2】(1)已知
6、 2sinsincos，sin22sincos.求证：cos22cos2；(2)已知 5sin3sin(2)，求证：tan()4tan0.【证明】(1)4sin212sincos，所以 4sin21sin2，所以 1sin224sin22(12sin2)，即 cos22cos2.(2)因为 5sin3sin(2)，所以 5sin()3sin()，所 以 5sin()cos 5cos()sin 3sin()cos3cos()sin，所以 2sin()cos8cos()sin0，依题意知，k2，k2，kZ.所以 tan()4tan0.【点评】(1)结论中不含，所以从条件中消去 即可(2)把条件中的
7、角进行拆拼，使出现，实现已知角向未知角转化即可 求证：sinxcosx1sinxcosx1sin2xtanx2.素材2【解析】sinxcosx1sinxcosx1sin2xsinx12sin2x21sinx12sin2x21sin2x2sinx2cosx22sin2x22sinx2cosx22sin2x24sinx2cosx2cosxcosx2sinx2cosx2sinx2sinx2cosx2cosxcos2x2sin2x2sinx2cosx2cosxcosxsinx2cosx2cosxtanx2.三 解综合问题【例 3】已知2x0，sinxcosx15.(1)求 sinxcosx 的值；(2
8、)求3sin2x22sinx2cosx2cos2x2tanx 1tanx的值【解析】(1)方法 1：由 sinxcosx15，得 2sinxcosx2425，所以(sinxcosx)212sinxcosx4925.因为2x0，所以 sinx0，cosx0，sinxcosx0.所以 sinxcosx75.方法 2：由sinxcosx15sin2xcos2x1得 25cos2x5cosx120(2x0)，解得 cosx45或 cosx35(舍去)，所以 sinx35，所以 sinxcosx75.(2)3sin2x22sinx2cosx2cos2x2tanx 1tanx2sin2x2sinx1sin
9、xcosxcosxsinxsinxcosx(2cosxsinx)1225(215)108125.【点评】(1)由 sinxcosx 的值，求 sinxcosx 的值是常规问题，对于较复杂的问题，可通过解方程组：sinxcosx？或sinxcosx？sin2xcos2x1 求出 sinx、cosx 的值后再进行解决(2)切化弦、平方、降次、活用公式是化简、求值常用的方法 已知 sin235，(54，32)(1)求 cos 的值；(2)求满足 sin(x)sin(x)2cos 1010 的锐角 x.素材3【解析】(1)因为54 32，所以52 23.所以 cos2 1sin2245.由 cos22
10、cos21，所以 cos 1010.(2)因为 sin(x)sin(x)2cos 1010，所以 2cos(1sinx)1010，所以 sinx12.因为 x 为锐角，所以 x6.备选例题化简 sin2sin2cos2cos212cos2cos2.【解析】方法 1：(复角单角，从“角”入手)原式sin2sin2cos2cos212(2cos21)(2cos21)sin2sin2 cos2cos2 12(4cos2cos2 2cos2 2cos21)sin2sin2cos2cos2cos2cos212sin2sin2cos2sin2cos212sin2cos21212.方法 2：(从“名”入手，
11、异名化同名)原式sin2sin2(1sin2)cos212cos2cos2cos2sin2cos212cos2cos2cos2cos2(sin212cos2)12(1cos2)cos2(1cos22cos22)12.方法 3：(从“幂”入手，利用降幂公式先降次)原 式 1cos22 1cos22 1cos22 1cos22 12cos2cos2 14(1 cos2cos2 cos2 cos2)14(1 cos2cos2cos2cos2)12cos2cos212.方法 4：(从“形”入手，利用配方法，先对二次项配方)原式(sinsincoscos)22sinsincoscos12cos2cos2
12、cos2()12sin2sin212cos2cos2cos2()12cos(22)cos2()122cos2()112.【点评】三角函数化简一般先看角的变换，再需三角函数名称的变换，然后是幂及解析式结构的变换，思路为：统一函数名称，一般有弦化切与切化弦；统一角度，即涉及单角、倍角、半角、等角时，可根据具体情况由倍角公式及其变形将角化为同一个角；统一次数，即式子中各项的次数大小不一时，可考虑升幂或降幂，使各项次数统一 123三角恒等变形的实质是对角、函数名称及运算结构的转化，而转化的依据就是一系列的三角公式，因此对三角公式在实现这种转化中的应用应有足够的了解：同角三角函数关系可实现函数名称的转化诱导公式及和、差、倍角的三角函数可以实现角的形式的转化倍角公式及其变形公式可实现三角函数的升幂或降幂的转化，同时也可完成角的转化