1、第二部分专题一第2讲专题训练八三角恒等变换与解三角形一、选择题1(2020河南天一大联考阶段性测试(五)已知sin，则sin 4x的值为(A)ABCD【解析】因为sin(cos 2xsin 2x)，所以sin 2xcos 2x，所以(sin 2xcos 2x)212sin 2xcos 2x1sin 4x，所以sin 4x，故选A2(2020湖北武汉调研测试)在ABC中，角A，B，C的对边分别为a，b，c.已知ab，AB，则角C(B)ABCD【解析】因为在ABC中，AB，所以AB，所以sin Asincos B，因为ab，所以由正弦定理得sin Asin B，所以cos Bsin B，所以tan
2、 B，因为B(0，)，所以B，所以C，故选B3(2020江西九江二模)若sin2cos sin，则(B)ABC2D4【解析】因为sin2cos sin，所以sin coscos sin 2cos sin ，所以sin cos 3cos sin .所以tan 3tan ，所以.故选B4(2020福建龙岩教学质量检查)若(0，)，且3sin 2cos 2，则tan 等于(D)ABCD【解析】3sin 2cos 2，所以3tan 1tan2 tan2 1，即2tan23tan0，解得tan 0或，又(0，)，所以tan 0，所以tan ，故选D5(2020安徽省十四校联盟段考)在ABC中，内角A，B
3、，C所对的边分别为a，b，c，已知C，sin B3sin A，若ABC的面积为6，则c(B)A2B2C2D4【解析】由题意得，b3a，又SABCabsin Ca26，解得a28，c2a2b22abcos C10a23a213a2104，c2.故选B6(2020湖北八校联考)已知34，且，则(D)A或B或C或D或【解析】因为34，所以2，所以cos 0，sin 0，则cos sin cos()，所以cos()，所以2k或2k，kZ，即4k或4k，kZ.因为34，所以或，故选D7(2020湖南怀化一模)在ABC中，角A，B，C的对边分别为a，b，c，ABC的面积为S，若2S(ab)2c2，则tan
4、 C的值是(C)ABCD【解析】因为Sabsin C，c2a2b22abcos C，所以由2S(ab)2c2，可得absin C(ab)2(a2b22abcos C)，整理得sin C2cos C2，所以(sin C2cos C)24，所以4，4，化简得3tan 2C4tan C0，因为C(0，)，所以tan C，故选C8(2020吉林省重点高中第二次月考)一艘轮船从A出发，沿南偏东70的方向航行40海里后到达海岛B，然后从B出发，沿北偏东35的方向航行了40海里到达海岛C如果下次航行直接从A出发到C，此船航行的方向和路程(海里)分别为(C)A北偏东80，20()B北偏东65，20(2)C北偏
5、东65，20()D北偏东80，20(2)【解析】依题意可得在ABC中B7035105，|AB|40，|BC|40.cos Bcos 105cos(4560)cos 45cos 60sin 45sin 60.由余弦定理可得|AC|2|AB|2|BC|22|AB|BC|cos B1 6003 20024040800(42)20(1)2|AC|20(1)20()sin Bsin 105sin(4560)sin 45cos 60cos 45sin 60，由正弦定理可得sin A，由题意可知在ABC中A为锐角，所以A45.所以如果下次航行直接从A出发到C，此船航行的方向为北偏东9045(9070)65，
6、路程为20()海里故C正确二、填空题9(2020河北衡水模拟)在ABC中，角A，B，C的对边分别为a，b，c且有a1，sin Acos C(sin Cb)cos A0，则A_.【解析】由sin Acos C(sin Cb)cos A0，得sin Acos Csin Ccos Abcos A，所以sin(AC)bcos A，即sin Bbcos A，又，所以，从而tan A，又因为0A，所以A.10(2020平顶山模拟)已知sin ，若2，则tan()_.【解析】因为sin ，所以cos .由2，得sin()2cos ()，即cos()sin()，所以tan().11(2020河北衡水三模)在等
7、腰ABC中，BAC120，AD为边BC上的高，点E满足3，若ABm，则BE的长为_m_.【解析】因为ABC是等腰三角形，BAC120，ADBC，所以ABC30，BAD60，又因为ABm，所以ADm，由3，得AEm，DEm，BDm，在RtBDE中，BEm.12(2020福州综合质检)如图，小明在山顶A处观测到一辆汽车在一条水平的公路上沿直线匀速行驶，小明在A处测得公路上B，C两点的俯角分别为30，45，且BAC135.若山高AD100 m，汽车从B点到C点历时14 s，则这辆汽车的速度约为_22.6_m/s(精确到0.1)参考数据：1.414，2.236【解析】因为小明在A处测得公路上B，C两点
8、的俯角分别为30，45，所以BAD60，CAD45.设这辆汽车的速度为v m/s，则BC14v，在RtADB中，AB200在RtADC中，AC100.在ABC中，由余弦定理，得BC2AC2AB22ACABcos BAC，所以(14v)2(100)220022100200cos 135，所以v22.6，所以这辆汽车的速度约为22.6 m/s.三、解答题13(2020山东德州3月模拟)已知函数f(x)4sin xcos.(1)求f(x)的单调递增区间；(2)在ABC中，角A，B，C的对边分别为a，b，c.若f1，a2，求ABC面积的最大值【解析】(1)函数f(x)4sin xcos4sin x42
9、sin1令2k2x2k，kZ，求得kxk，kZ，可得函数f(x)的单调递增区间为，kZ.(2)在ABC中，因为f2sin11，所以sin0，又0A0，可得cos B，又由B(0，)得：B.(2)，asin A，csin C，AC，acsin Asin Csin Asin(AB)4sin Acos A4sin(A)，0A，A，可得：sin(A)(，1，ac的取值范围(2,415(2020凉山州模拟)如图，在平面四边形ABCD中，D，sin BACcos B，AB13(1)求AC；(2)求四边形ABCD面积的最大值【解析】(1)在三角形ABC中，sin BACcos B，可得ACBC，cosB，sinB，ACABsinB1312，所以AC12(2)S四边形ABCDSABCSADCACBCADCDsin D125ADCD30ADCD，在三角形ADC中，由余弦定理AC2AD2CD22ADDCcos2ADDCADDC3ADDC，所以3ADDCAC2122，所以ADDC48，所以S四边形ABCD30483012，当且仅当ADDC时取等号所以四边形ABCD面积的最大值为3012.
