1、第4讲：正态分布 知 识 梳理 1. 正态总体的概率密度函数：式中是参数，分别表示_与_；当时得到标准正态分布密度函数：.答案: 总体的平均数（期望值）; 标准差2.正态曲线的性质： _; _; _; _;答案: 曲线位于x轴上方，与x轴不相交； 曲线是单峰的，关于直线x 对称； 曲线在x处达到峰值； 曲线与x轴之间的面积为1；3. 是参数是参数的意义: _; _答案: 当一定时，曲线随质的变化沿x轴平移； 当一定时，曲线形状由确定：越大，曲线越“矮胖”，表示总体分布越集中；越小，曲线越“高瘦”，表示总体分布越分散。特别提醒： (1)P=0.6826；(2)P=0.9544(3)P=0.997
2、4 4对于，取值小于x的概率. 重 难 点 突 破 1.重点：利用实际问题的直方图，了解正态分布曲线的特点及曲线所表示的意义 2.难点：利用正态分布曲线的特点及曲线所表示的意义解决简单问题.3.重难点：.(1) 正态分布与正态曲线 问题1:若总体密度曲线就是或近似地是函数的图象，则其分布叫正态分布，常记作的图象称为正态曲线点拨：画出三条正态曲线：即；，其图象如下图所示： 观察以上三条正态曲线，得以下性质： 曲线在x轴的上方，与x轴不相交 曲线关于直线对称，且在时位于最高点 当时，曲线上升；当时，曲线下降并且当曲线向左、右两边无限延伸时，以x轴为渐近线，向它无限靠近 当一定时，曲线的形状由确定越
3、大，曲线越“矮胖”，表示总体的分布越分散；越小，曲线越“瘦高”，表示总体的分布越集中 注意: 当时，正态总体称为标准正态总体，相应的函数表示式是相应的曲线称为标准正态曲线 热 点 考 点 题 型 探 析考点一： 正态分布的应用题型1. 正态分布公式的应用例1 给出下列三个正态总体的函数表达式，请找出其均值和标准差 （）（）（） 解题思路：考查正态总体的概率密度函数公式, 式中是参数，分别表示总体的平均数（期望值）与标准差 解析：(1)0，1；(2)1，2；(3)-1，0.5 例2 某物体的温度()是一个随机变量，已知，又随机变量()满足，求的概率密度。解题思路：为华氏度，。C为摄氏度。为的线性
4、函数，由要点4知也服从正态分布，再由要点1求出的概率密度。解析: 所以随机变量的概率密度为 例3 灯泡厂生产的白炽灯寿命（单位：），已知N（1000，302)，要使灯泡的平均寿命为1000的概率为99.7，问灯泡的最低使用寿命应控制在多少小时以上？解题思路：进行假设检验的方法与步骤：（1）提出统计假设，具体问题里的统计假设服从正态分布N（，2）；（2）确定一次试验值是否落入（3，3）；（3）作出判断：如果，就接受假设；如果，由于这是小概率事件，就拒绝假设，说明生产过程中出现了异常情况解析：解：因为灯泡寿命N(1000，302)，故在（1000330，1000330）内取值的概率为99.7，即在
5、（910，1090）内取值的概率为99.7，故灯泡的最低使用寿命应控制在910以上 【名师指引】正态总体在（3，3）以外的概率只有千分之三，这是一个很小的概率 这样我们在研究问题时可以集中在（3，3）中研究，而忽略其中很小的一部分，从而简化了正态正态中研究的问题【新题导练】1. 正态总体为概率密度函数是( )A奇函数 B偶函数 C非奇百偶函数 D既是奇函数又是偶函数答案:B2如果随机变量，则等于（）A.B.C.D.答案:B 解析：这里的由换算关系式，有 抢 分 频 道 基础巩固训练1. 正态曲线是A.递增函数 B.递减函数 C.从左到右先增后减的函数 D.从左到右先减后增的函数答案：C2.标准
6、正态分布的均数与标准差分别为( )。A0与1 B1与0 C0与0 D1与1答案:A3.正态分布有两个参数与，( )相应的正态曲线的形状越扁平。A越大 B越小 C越大 D越小答案:C4下列函数是正态分布密度函数的是( )A B C D答案:B5（安徽卷10）设两个正态分布和的密度函数图像如图所示。则有（ ）ABCD答案:A6(湖南省十二校2008届高三第一次联考)某市组织一次高三调研考试，考试后统计的数学成绩服从正态分布，其密度函数为，则下列命题不正确的是 （ ）A该市这次考试的数学平均成绩为80分；B分数在120分以上的人数与分数在60分以下的人数相同；C分数在110分以上的人数与分数在50分
7、以下的人数相同；D该市这次考试的数学成绩标准差为10.答案：B综合拔高训练7(河南省许昌市2008年上期末质量评估)设随机变量服从正态分布N(0，1)，记(x)p(x)，给出下列结论： (0)05；(x)1(x)；p (2)2(2)1。则正确结论的序号是_答案：8（2008湖南卷）设随机变量服从正态分布,若,则c= ( )A.1 B.2 C.3D.4答案:B9(东北区三省四市2008年第一次联合考试)某市统考成绩大体上反映了全市学生的成绩状况，因此可以把统考成绩作为总体，设平均成绩，标准差，总体服从正态分布，若全市重点校录取率为40%，那么重点录取分数线可能划在（已知（0.25）0.6）A52
8、5分B515分C505分D495分答案：C10已知某车间正常生产的某种零件的尺寸满足正态分布N(27.45,0.052),质量检验员随机抽查了10个零件，测得它们的尺寸为：27.34、27.49、27.55、27.23、27.40、27.46、27.38、27.58、27.54、27.68 请你根据正态分布的小概率事件，帮助质量检验员确定哪些零件应该判定在非正常状态下生产的 解：小概率事件是指在一次试验中几乎不可能发生的思想 我们对落在区间（27.4530.05，27.4530.05）（27.3，27.6）之外生产的零件尺寸做出拒绝接受零件是正常状态下生产的假设 有两个零件不符合落在区间（27.3，27.6）之内；答：尺寸为27.23和尺寸为27.68的两个零件，它们是在非正常状态下生产的