1、了解集合、空集与全集的含义，理解集合之间的包含与相等，交集、并集和补集的含义，会求两个集合的交集、并集与补集，能运用韦恩图和集合语言解决有关问题 12_.3_.4_.5_1一般的，某些指定的对象集中在一起就构成了一个集合，集合中的每个对象叫这个集合的元素元素与集合的关系有两种：，集合中元素的性质：集合的表示法：集合的分类按元素个数可分 集合为：的有关概念_.6AB两个集合 与 之间的关系：7 常用数集的记法：2.集合的运算及运算性质nn“”“”221|x xAxBx|xAxBx|xUxA属于；不属于；确定性、互异性、无序性；列举法、描述法、韦恩图法；空集、有限集、无限集；且；且；或；或；【】且
2、要点指南1.(2012福州一中模拟)i 为虚数单位，若集合 S1,0,1，则()AiSBi2SCi3SDi4S【解析】由 i21S，i41S，故选 D.2.(2011广东卷)已知集合 A(x，y)|x，y 为实数，且x2y21，B(x，y)|x，y 为实数，且 xy1，则 AB的元素个数为()A4B3C2D1【解析】由题意知，A、B 都为点集，AB 即为直线与圆的交点所组成的集合方法 1：由x2y21xy1x0y1 或x1y0，故 AB(0,1)，(1,0)，故选 C.方法 2：由几何法易知直线 xy1 与圆 x2y21 相交，且有两个交点，故选 C.3.(2011浙江卷)若 Px|x1，则(
3、)APQBQPCRPQDQRP【解析】由题意RPx|x1，故 QRP，故选 D.4.(2011格致中学模拟)设集合 P3，log2a，Qa，b，若 PQ0，则 PQ()A3,0B3,0,1C3,0,2D3,0,1,2【解析】由题意，0Plog2a0a1；又 0Qb0，即 P3,0，Q0,1，故 PQ3,0,1 5.已知 Mx|x1，Nx|xp，要使 MN，则 p应满足的条件是()Ap1Bp1Cpp，可得 p1.一 集合的基本关系及应用【例 1】(1)已知集合 Px|x21，M0，则集合 P、M的关系为_(2)若集合 Ax|x22x80，Bx|5mx2m1()若 ABA，求实数 m 的取值范围；
4、()若 UR，A(UB)A.求实数 m 的取值范围【解析】(1)易知 Px|1x1，M0,0P，所以 MP(或 MP)(2)易知 Ax|4x2()若 ABA，则 AB；由数轴可得5m42m12，解之得 m9.()由 A(UB)A，得 AUB，所以 AB，由 数 轴 得，5 m2m 1 或2m145m2m1或5m25m2m1，解之得 m3.【点评】(1)判断两集合的关系常有两种方法：化简集合，从表达式中寻找集合间的关系；用列举法表示集合，从元素中寻找集合关系；(2)已知集合关系求参数时，关键是将两集合间的关系转化为元素间的关系，进而转化为参数满足的关系，常用韦恩图、数轴直观分析；(3)“AB”中
5、包含“AB”，注意所列不等式可取“”，“AB”中不包含“AB”，但不等式也可能取“”，应检验，固根而不失根(1)下面四个命题中，正确的有 .0；0；;(2)若 A(x，y)|x2|y10，B2，1，则必有()ABABABCABDAB素材1【解析】(1)0表示含有一个元素 0 的集合，0；0与是元素与集合的关系，0；表示含有一个元素的集合，故正确的命题有.(2)因为 A(2，1)，表示点集，B2，1，为数集，两个集合不可能有公共部分，故选 D.二 集合的运算【例 2】(1)(2011湖北卷)已知 U1,2,3,4,5,6,7,8，A1,3,5,7，B2,4,5，则U(AB)()A6,8B5,7C
6、4,6,7D1,3,5,6,8(2)已知集合 Ax|x23x20，Bx|x22(a1)x(a25)0，若 ABA，求实数 a 的取值范围【解析】(1)由题意 AB1,2,3,4,5,7，又 U1,2,3,4,5,6,7,8所以U(AB)6,8，故选 A.(2)由 ABA，则 BA，对于集合 B，4(a1)24(a25)8(a3)当 0，即 a0，即 a3 时，BA1,2才能满足条件，则由根与系数的关系得122a112a25，即a52a27，矛盾；综上，a 的取值范围是 a3.【点评】(1)进行集合的运算常用 Venn 图和数轴；一般地，集合元素离散时用 Venn 图表示，集合元素连续时用数轴表
7、示，注意区间端点值的取舍；(2)有关 AB，AB，ABA，BA 等集合问题时，往往容易忽略空集；(3)常用结论：ABAAB；ABABA，UAUBU(AB)，UAUBU(AB)某实验班有 21 个学生参加数学竞赛，17 个学生参加物理竞赛，10 个学生参加化学竞赛，他们之间既参加数学竞赛又参加物理竞赛的有 12 人，既参加数学竞赛又参加化学竞赛的有 6人，既参加物理竞赛又参加化学竞赛的有 5 人，三科都参加的有 2 人现在参加竞赛的学生都要到外地学习参观，问需要预订多少张火车票？素材2【解析】该班学生参加竞赛如图所示，集合 A、B、C、D、E、F、G 中的任何两个无公共元素，其中 G 表示三科都
8、参加的学生集合，card(G)2.因为既参加数学竞赛又参加物理竞赛的有 12 人，所以 card(D)12210.同理，得 card(E)624，card(F)523.又因为参加数学、物理、化学竞赛的人数分别为 21、17、10.所以 card(A)2121045，card(B)1721032，card(C)103241.故需预定火车票的张数为 5211043227.三 集合的创新与应用【例 3】对于集合 A、B，我们将(a，b)|aA，bB记作 AB.例如：A1,2，B3,4，则 AB(1,3)，(1,4)，(2,3)，(2,4)(1)已知 AB(1,2)，(2,2)，则集合 A_，B_；(
9、2)若 A 有 3 个元素，B 有 4 个元素，则 AB 共含有_个元素【解析】(1)由 AB(a，b)|aA，bB的含义可知 A1,2，B2(2)设 Aa1，a2，a3，Bb1，b2，b3，b4，则在 B 中与 ai(i1,2,3)组合的元素均有 4 个，故共有 3412 个元素【点评】本题属于创新型的概念理解题准确理解 AB 是解决本题的关键所在(1)定义集合运算：A*Bz|zxy，xA，yB，设 A1,2，B0,2，则集合 A*B 的所有元素之和为()A0B2C3D6(2)已知 Pa|a(1,0)m(0,1)，mR，Qb|b(1,1)n(1,1)，nR是两个向量集合，则 PQ()A.(1
10、,1)B.(1,1)C.(1,0)D.(0,1)素材3【解析】(1)因为 zxy，x1,2，y0,2，故 xy0,2,4，从而 A*B0,2,4，故集合 A*B 的所有元素之和为 6.故选 D.(2)方法 1：由已知可得 P(1，m)，Q(1n,1n)，再由交集的含义，有11nm1n，得n0m1，从而 PQ(1,1)，故选 A.方法 2：本题可以利用向量的几何意义解决依题意，Pa|a(1,0)m(0,1)，mR，Qb|b(1,1)n(1,1)，nR，所对应的点的集合是 P(x，y)|x1，Q(x，y)|xy2，则 PQ(1,1)，所以答案为 A.备选例题(1)已知全集 UR，集合 Mx|2x1
11、2和 Nx|x2k1，k1,2,3的关系的韦恩图如图所示，则阴影部分表示的集合为 1,3.(2)某班共 30 人，其中 15 人喜爱篮球运动，10 人喜爱乒乓球运动，8 人对这两项运动都不喜爱，则喜爱篮球运动但不喜爱乒乓球运动的人数为 12 人【解析】(1)由题意，Mx|1x3，N正奇数，阴影部分表示的集合为 MN1,3，故填1,3(2)方法 1：设所求人数为 x 人，则只喜爱乒乓球运动的人数为 10(15x)x5，故 15x5308x12.方法 2：由韦恩图可知，阴影部分共有 15108303人，故喜爱篮球但不喜爱乒乓球的有 15312 人 1理解集合语言、把握元素的特征是分析解决集合问题的前提2化简集合(具体化、一般化、特殊化)是求解集合问题的基本策略3注意集合元素的三要素(尤其是互异性)、不忘空集是解集合问题与防止出错的诀窍4数形结合、分类讨论、补集思想、转换化归是解集合问题能力的具体体现