1、函数与映射基础巩固 站起来，拿得到！1.下列各图中,可表示函数y=f(x)的图象的只可能是( )答案：D解析：由函数的定义可知.2.若f(x)=,则方程f(4x)=x的根是( )A. B.- C.2 D.-2答案：A解析：由f(4x)=x,得=x4x2-4x+1=0x=.3.下列各组中的函数图象相同的是( )A.f(x)=1,g(x)=x0 B.f(x)=1,g(x)=C.f(x)=,g(x)=(x+3)(x+3)0 D.f(x)=|x|,g(x)=答案：C解析：考查定义域与对应法则.4.设M=x|0x2,N=y|0y2,给出下列四个图形,其中能表示集合M到集合N的函数关系的有( )A.0个
2、B.1个 C.2个 D.3个答案：C解析：由图象及函数的定义域与值域可知正确.5.如果映射f:AB的象的集合是Y,原象的集合是X,那么X与A的关系是_;Y与B的关系是_.答案：X=A YB解析：由函数定义易知.6.设函数f(x)=若f(x)=3,则x=_.答案：解析：分别讨论7.在下列各个条件下求f(x):(1)f(2x+1)=x2-3x+1;(2)f()=;(3)f(x+)=x2+.解：(1)设2x+1=t,则x=.f(t)=f(2x+1)=x2-3x+1=()2-3+1=-2t+.f(x)=-2x+.(2)设t=0,则x=.f(t)=.f(x)=(xR且x0,x1).(3)f(x+)=x2
3、+=(x+)2-2,f(x)=x2-2,x(-,-2)2,+.能力提升 踮起脚,抓得住!8.下面三个对应(Z为整数集);(1)Z中的元素x与2x对应;(2)Z中的元素x与对应;(3)Z中的元素x与x2-1对应,其中Z到Z的映射有( )A.0个 B.1个 C.2个 D.3个答案：C解析：根据A中元素任意性,B中元素唯一性知(1)(3)对.9.确定函数y=x2+1的对应关系是( )A.f:RR B.f:(0,+)(0,+)C.f:R(0,+) D.f:R1,+)答案：D解析：函数y=x2+1的定义域是R,对任意的xR,有y=x2+11,即y1,+).10.设A到B的映射f1:x2x+1,B到C的映
4、射f2:yy2-1,则A到C的映射f3是_.答案：z4z2+4z解析：x2x+1,(2x+1)2-1=4x2+4x,即z4z2+4z.11.下列对应:(1)A=R+,B=R,对应法则是“求平方根”.(2)A=x|-3x3,B=y|0y1,对应法则是“平方除以9”.(3)A=x|xN*,B=-1,1,对应法则f:xy=(-1)x(xA,yB).(4)A=平面内的圆,B=平面内的矩形,对应法则是“作圆内接矩形”.(5)A=R,B=R+,f:xy=x2-1.其中,是A到B的映射有_.(将是映射的序号全部填上)答案：(2)(3)解析：映射是一类特殊的对应,可一对一或多对一的对应,但不能是一对多的对应.
5、12.已知函数f(x)=(a、b为常数,a0)满足f(2)=1,f(x)=x有唯一解,求函数f(x)的解析式和ff(-3)的值.解：f(2)=1,1=,即2a+b=2. 又f(x)=x有唯一解,即=x有唯一解,x=0.解之,得x1=0,x2=,有唯一的解,x1=x2=0,得b=1. 由得a=,b=1.f(x)=.故ff(-3)=f()=f(6)= .13.已知函数f(x)、g(x)同时满足条件:对一切实数x、y都有g(x-y)=g(x)g(y)+f(x)f(y);f(-1) =-1,f(0)=0,f(1)=1.试求g(0),g(1),g(2)的值.解：由g(x-y)=g(x)g(y)+f(x)
6、f(y)知,g(x)=g(x-0)=g(x)g(0)+f(x)f(0),又f(0)=0,故g(x)=g(x)g(0)g(0)=1g(x)不恒为零,否则g(0)=g(1-1)=g2(1)+f2(1)=0f(1)=0与f(1)=1矛盾.又g(-x)=g(0-x)=g(0)g(x)+f(0)f(x)=g(x)g(-1)=g(1),又g(0)=g(1-1)=g2(1)+f2(1)=1g(1)=0f(1)=1,则g(-1)=g(1)=0.g(2)=g1-(-1)=g(1)g(-1)+f(1)f(-1)=-1.拓展应用 跳一跳,够得着!14.已知定义域为R的函数f(x)满足f(a+b)=f(a)f(b)(
7、a、bR)且f(x)0,若f(1)= ,则f(-2)等于( )A.2 B.4 C. D.答案：B解析：由f(a+b)=f(a)f(b),知f(0+0)=f2(0)f(0)=1(f(x)0),又f(2)=f(1+1)=f2(1)=,f(2-2)=f(2)f(-2)=f(0)=1f(-2)=4.15.设A=a,b,c,B=-1,0,1,映射f:AB满足f(a)=f(b)+f(c),则映射f:AB的个数有_个.答案：7解析：(1)当A中元素都对应0时,满足f(a)=f(b)+f(c),有一种映射.(2)当A中元素对应B中的两个元素时,满足f(a)=f(b)+f(c),有四种映射:1=1+0,1=0+
8、1,-1=-1+0,-1=0+(-1).(3)当A中元素对应B中三个元素时,满足f(a)=f(b)+f(c),有两种映射:0=1+(-1),0=(-1)+1.满足条件的映射共有7个.16.如图所示,等腰梯形的两底分别为AD=2a,BC=a,BAD=45,直线MNAD,交AD于M,交折线ABCD于N,设AM=x,试将梯形ABCD位于直线MN左侧的面积y表示成x的函数,并求此函数的定义域.解：过B、C分别作边AD的垂线,垂足分别为H和G,则AH=,AG=a,当M位于H左侧时,AM=x,MN=x.故y=SAMN=x2(0x);当M位于H、G之间时,y=S梯形ABNM=(AM+BN)MN=(x+x-)=ax-a2(x);当M位于G、D之间时,y=S梯形ABCD-SDMN=-(2a-x)2=-x2+2ax-a2(x2a).故y=其定义域为0,2a,值域为0,a2.