1、基础诊断考点突破课堂总结第2讲 命题及其关系、充分条件与 必要条件 基础诊断考点突破课堂总结最新考纲 1.理解命题的概念；2.了解“若p，则q”形式的命题及其逆命题、否命题与逆否命题，会分析四种命题的相互关系；3.理解充分条件、必要条件与充要条件的含义基础诊断考点突破课堂总结知 识 梳 理1四种命题及其关系(1)四种命题间的相互关系基础诊断考点突破课堂总结(2)四种命题的真假关系两个命题互为逆否命题，它们具有的真假性 两 个 命 题 为 互 逆 命 题 或 互 否 命 题 时，它 们 的 真 假性相同没有关系基础诊断考点突破课堂总结2充分条件、必要条件与充要条件的概念若pq，则p是q的条件，q
2、是p的条件p是q的条件pq且q pp是q的条件p q且qpp是q的条件pqp是q的条件pq且q p充分必要充分不必要必要不充分充要既不充分也不必要基础诊断考点突破课堂总结诊 断 自 测 1思考辨析(在括号内打“”或“”)(1)“x22x80”是命题()(2)一个命题非真即假()(3)命题“三角形的内角和是180”的否命题是“三角形的内角和不是180”()(4)“a 2”是“(a 1)(a 2)0”的 必 要 不 充 分 条件()(5)给定两个命题p，q.若p是q的充分不必要条件，则綈p是綈q的必要不充分条件()基础诊断考点突破课堂总结2命题“若 4，则 tan 1”的逆否命题是()A若 4，则
3、 tan 1B若 4，则 tan 1C若 tan 1，则 4D若 tan 1，则 4基础诊断考点突破课堂总结解析 命题的条件是 p：4，结论是 q：tan 1.由命题的四种形式，可知命题“若 p，则 q”的逆否命题是“若綈 q，则綈 p”，显然綈 q：tan 1，綈 p：4，所以该命题的逆否命题是“若 tan 1，则 4”答案 C基础诊断考点突破课堂总结3(2014安徽卷)“x0”是“ln(x1)0”的()A充分不必要条件B必要不充分条件C充分必要条件D既不充分也不必要条件解析 ln(x1)00 x111x0；而(1,0)是(，0)的真子集，所以“x0”是“ln(x1)0”的必要不充分条件答案
4、 B基础诊断考点突破课堂总结4(2014浙江卷)设四边形ABCD的两条对角线为AC，BD，则“四边形ABCD为菱形”是“ACBD”的()A充分不必要条件B必要不充分条件C充分必要条件D既不充分也不必要条件基础诊断考点突破课堂总结解析 因为菱形的对角线互相垂直，所以“四边形ABCD为菱形”“ACBD”，所以“四边形ABCD为菱形”是“ACBD”的充分条件；又因为对角线垂直的四边形不一定是菱形，所以“ACBD”“四边形ABCD为菱形”，所以“四边形ABCD为菱形”不是“ACBD”的必要条件综上，“四边形ABCD为菱形”是“ACBD”的充分不必要条件答案 A基础诊断考点突破课堂总结5(人教A选修11
5、P10练习4改编)下列命题：x2是x24x40的必要不充分条件；圆心到直线的距离等于半径是这条直线为圆的切线的充分必要条件；sin sin 是的充要条件；ab0是a0的充分不必要条件其中为真命题的是_(填序号)答案 基础诊断考点突破课堂总结考点一 四种命题及其相互关系【例1】(1)(2014陕西卷)原命题为“若an，nN，则an为递减数列”，关于其逆命题，否命题，逆否命题真假性的判断依次如下，正确的是()A真，真，真B假，假，真C真，真，假D假，假，假(2)(2014成都二诊)下列说法正确的是_命题“若x21，则x1”的否命题为“若x21，则x1”；命题“若xy，则cos xcos y”的逆否
6、命题为假命题；命题“若xy，则cos xcos y”的逆命题为假命题基础诊断考点突破课堂总结解析(1)从原命题的真假入手，由于anan12anan1anan为递减数列，即原命题和逆命题均为真命题，又原命题与其逆否命题同真同假，逆命题与否命题同真同假，则其逆命题、否命题和逆否命题均为真命题(2)中否命题为“若 x21，则 x1”，所以错误；因为逆否命题与原命题同真假，所以错误；易知正确答案(1)A(2)基础诊断考点突破课堂总结规律方法(1)熟悉四种命题的概念是正确书写或判断四种命题真假的关键(2)根据“原命题与逆否命题同真同假，逆命题与否命题同真同假”这一性质，当一个命题直接判断不易进行时，可转
7、化为判断其等价命题的真假(3)判断一个命题为假命题可举反例基础诊断考点突破课堂总结【训练 1】(1)命题“若 3，则 cos 12”的逆命题是()A若 3，则 cos 12B若 3，则 cos 12C若 cos 12，则 3D若 cos 12，则 3基础诊断考点突破课堂总结(2)(2015宁波二模)命题“若 a2b20，则 a0 且 b0”的逆否命题是()A若 a2b20，则 a0 且 b0B若 a2b20，则 a0 或 b0C若 a0 且 b0，则 a2b20D若 a0 或 b0，则 a2b20基础诊断考点突破课堂总结解析(1)命题“若 3，则 cos 12”的逆命题是“若 cos 12，则
8、 3”(2)“若 a2b20，则 a0 且 b0”的逆否命题是“若 a0或 b0，则 a2b20”，故选 D.答案(1)C(2)D基础诊断考点突破课堂总结考点二 充要条件的判定【例 2】(1)(2014广东卷)在ABC 中，角 A，B，C 所对应的边分别为 a，b，c，则“ab”是“sin Asin B”的()A充分必要条件B充分非必要条件C必要非充分条件D非充分非必要条件(2)(2015杭州、嘉兴学校联考)ax22x10 至少有一个负实根的充要条件是()A0a1 Ba1Ca1 D0a1 或 a0基础诊断考点突破课堂总结解析(1)由正弦定理，得 bsin A bsin B，故 absin As
9、in B，选 A.(2)法一 当 a0 时，原方程为一元一次方程 2x10，有一个负实根当 a0 时，原方程为一元二次方程，有实根的充要条件是 44a0，即 a1.设此时方程的两根分别为 x1，x2，则 x1x22a，x1x21a，当只有一个负实根时，a1，1a0a0；基础诊断考点突破课堂总结法二 (排除法)当 a0 时，原方程有一个负实根，可以排除 A，D；当 a1 时，原方程有两个相等的负实根，可以排除 B.答案(1)A(2)C基础诊断考点突破课堂总结规律方法 判断p是q的什么条件，需要从两方面分析：一是由条件p能否推得条件q；二是由条件q能否推得条件p.对于带有否定性的命题或比较难判断的
10、命题，除借助集合思想把抽象、复杂问题形象化、直观化外，还可利用原命题和逆否命题、逆命题和否命题的等价性，转化为判断它的等价命题基础诊断考点突破课堂总结【训练2】(1)(2014北京卷)设an是公比为q的等比数列，则“q1”是“an为递增数列”的()A充分不必要条件B必要不充分条件C充分必要条件D既不充分也不必要条件(2)(2014天津卷)设a，bR，则“ab”是“a|a|b|b|”的()A充分不必要条件B必要不充分条件C充要条件D既不充分又不必要条件基础诊断考点突破课堂总结解析(1)若 q1，则当 a11 时，anqn1，an为递减数列，所以“q1”“an为递增数列”；若an为递增数列，则当a
11、n12n 时，a112，q121，即“an为递增数列”“q1”，故选 D.(2)先证“ab”“a|a|b|b|”若 ab0，则 a2b2，即 a|a|b|b|；若 a0b，则 a|a|0b|b|；若 0ab，则 a2b2，即a|a|b|b|，从而 a|a|b|b|.再证“a|a|b|b|”“ab”若 a，b0，则由 a|a|b|b|，得 a2b2，故 ab；若 a，b0，则由 a|a|b|b|，得a2b2，即 a2b2，故 ab；若 a0，b0，则 ab.综上，“ab”是“a|a|b|b|”的充要条件答案(1)D(2)C基础诊断考点突破课堂总结【训练 3】(2014杭州高三模拟)给出下列命题：
12、“数列an为等比数列”是“数列anan 1为等比数列”的充分不必要条件；“a2”是“函数 f(x)|xa|在区间2，)上为增函数”的充要条件；“m3”是“直线(m3)xmy20 与直线 mx6y50 互相垂直”的充要条件；设 a，b，c 分别是ABC 三个内角 A，B，C 所对的边，若 a1，b 3，则 A30是 B60的必要不充分条件其中真命题的序号是_基础诊断考点突破课堂总结解析 对于，当数列an为等比数列时，易知数列anan1是等比数列，但当数列anan1为等比数列时，数列an未必是等比数列，如 数 列 1,3,2,6,4,12,8 显 然 不 是 等 比 数 列，而 相 应 的 数 列
13、3,6,12,24,48,96 是等比数列，因此正确；对于，当 a2 时，函数 f(x)|xa|在区间2，)上是增函数，因此不正确；对于，当 m3 时，相应两条直线垂直，反之，这两条直线垂直时，不一定有 m3，也可能 m0.因此不正确；对于，由题意得basin Bsin A 3，若 B60，则 sin A12，注意到 ba，故 A30，反之，当 A30时，有 sin B 32，由于 ba，所以 B60或 B120，因此正确综上所述，真命题的序号是.答案 基础诊断考点突破课堂总结考点三 根据充要条件求参数的范围【例 3】(1)设 p：|4x3|1，q：x2(2a1)xa(a1)0，若非 p 是非
14、 q 的必要不充分条件，则实数 a 的取值范围是()A.0，12B.0，12C(，012，D(，0)12，基础诊断考点突破课堂总结(2)已知命题 p：x22x30；命题 q：xa，且綈 q 的一个充分不必要条件是綈 p，则 a 的取值范围是()A1，)B(，1C1，)D(，3基础诊断考点突破课堂总结解析(1)p：|4x3|114x31，12x1；q：x2(2a1)xa(a1)0(xa)x(a1)0，axa1.由题意知 p 是 q 的充分不必要条件，故有a12，a11，或a0，2xa，x0有且只有一个零点的充分不必要条件是()Aa0 B0a12C.12a1(2)若xm1是x22x30的必要不充分
15、条件，则实数 m 的取值范围是_基础诊断考点突破课堂总结解析(1)因为函数 f(x)过点(1,0)，所以函数 f(x)有且只有一个零点函数 y2xa(x0)没有零点函数 y2x(x0)与直线 ya 无公共点由数形结合，可得 a0 或 a1.观察选项，根据集合间关系a|a1，答案选 A.(2)由已知易得x|x22x30 x|xm1，又x|x22x30 x|x3，1m1，m13或1m1，m13，0m2.答案(1)A(2)0,2基础诊断考点突破课堂总结思想方法1写出一个命题的逆命题、否命题及逆否命题的关键是分清原命题的条件和结论，然后按定义来写；在判断原命题及其逆命题、否命题以及逆否命题的真假时，要
16、借助原命题与其逆否命题同真或同假，逆命题与否命题同真或同假来判定基础诊断考点突破课堂总结2命题的充要关系的判断方法(1)定义法：直接判断若p则q、若q则p的真假(2)等价法：利用AB与綈B綈A，BA与綈A綈B，AB与綈B綈A的等价关系，对于条件或结论是否定形式的命题，一般运用等价法(3)利用集合间的包含关系判断：若AB，则“xA”是“xB”的充分条件或“xB”是“xA”的必要条件；若AB，则“xA”是“xB”的充要条件基础诊断考点突破课堂总结易错防范对于命题正误的判断是高考的热点之一，理应引起大家的关注，命题正误的判断可涉及各章节的内容，覆盖面宽，也是学生的易失分点命题正误的判断的原则是正确的命题要有依据或者给以论证；不一定正确的命题要举出反例，绝对不要主观臆断，这也是最基本的数学逻辑思维方式.