1、2017-2018学年高二（下）开学考试理科数学满分：150分；考试时间：120分钟一、选择题（共12小题，每小题5分，满分60分）1（5分）已知命题p：x（1，+），2x110，则下列叙述正确的是（）Ap为：x（1，+），2x110Bp为：x（1，+），2x110Cp为：x（，1，2x110Dp是假命题2（5分）已知P为抛物线C：y2=8x准线上任意一点，A（1，3）、B（1，3），则PAB的面积为（）A10B9C8D73（5分）九章算术有这样一个问题：今有女子善织，日增等尺，七日织二十一尺，第二日、第五日、第八日所织之和为十五尺，问第十日所织尺数为（）A6B9C12D154（5分）若A（1
2、，2），B（2，3），C（2，5），则ABC的形状（）A锐角三角形B直角角三角形C钝角三角形D等腰三角形5（5分）设f（x）是定义在正整数集上的函数，且f（x）满足“当f（k）k2成立时，总可推出f（k+1）（k+1）2”成立”那么，下列命题总成立的是（）A若f（2）4成立，则当k1时，均有f（k）k2成立B若f（4）16成立，则当k4时，均有f（k）k2成立C若f（6）36成立，则当k7时，均有f（k）k2成立D若f（7）=50成立，则当k7时，均有f（k）k2成立6（5分）设O是ABC的外接圆圆心，且，则AOC=（）ABCD7（5分）六安滨河公园喷泉中央有一个强力喷水柱，为了测量喷水柱喷出
3、的水柱的高度，某人在水柱正西方向的A处测得水柱顶端的仰角为45，沿A处向南偏东30前进50米到达点B处，在B处测得水柱顶端的仰角为30，则水柱的高度是（）A15mB30mC25mD50m8（5分）过抛物线y2=4x的焦点作一条直线与抛物线相交于A，B两点，它们的横坐标之和等于3，则这样的直线（）A有且仅有一条B有且仅有两条C有无穷多条D不存在9（5分）函数f（x）=在区间m，m上的最大值与最小值之和为（）A0B1C2D410（5分）抛物线y2=16x的焦点到双曲线=1的渐近线的距离是（）A1BC2D211（5分）给出以下三个命题：已知P（m，4）是椭圆+=1（ab0）上的一点，F1、F2是左、
4、右两个焦点，若PF1F2的内切圆的半径为，则此椭圆的离心率e=；过双曲线C：=1（a0，b0）的右焦点F作斜率为的直线交C于A，B两点，若=4，则该双曲线的离心率e=；已知F1（2，0）、F2（2，0），P是直线x=1上一动点，若以F1、F2为焦点且过点P的双曲线的离心率为e，则e的取值范围是2，+）其中真命题的个数为（）A3个B2个C1个D0个12（5分）已知变量x、y满足约束条件，且z=x+2y的最小值为3，则的概率是（）ABCD二、填空题（共4小题，每小题5分，满分20分）13（5分）已知双曲线C：=1（a0，b0）的一个焦点为F，过点F的直线与双曲线C交于M，N两点，若仅存在三组|MN
5、|的值，使得|MN|=6a，则双曲线C的渐近线方程为14（5分）F1，F2是椭圆+=1的两个焦点，点P是椭圆上任意一点，从F1引F1PF2的外角平分线的垂线，交F2P的延长线于M，则点M的轨迹是15（5分）某楼盘按国家去库存的要求，据市场调查预测，降价销售今年110平方米套房的销售将以每月10%的增长率增长；90平方米套房的销售将每月递增10套已知该地区今年1月份销售110平方米套房和90平方米套房均为20套，据此推测该地区今年这两种套房的销售总量约为套（参考数据：1.1112.9，1.1123.1，1.1133.5）16（5分）如图，在正方体ABCDA1B1C1D1中，M，N分别是CD，CC
6、1的中点，给出下列命题：（1）直线ND与直线AB所成角的正切值为；（2）直线A1M与直线AB所成角的正切值为2；（3）直线ND与直线A1M垂直，以上命题正确的是三、解答题（共6小题，满分70分）17（10分）已知，是互相垂直的两个单位向量，=+，=（1）求与的夹角；（2）若（+），求的值18（12分）设ABC的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，（1）若，ABC的面积为，求c；（2）若，求2ca的取值范围19（12分）已知a0，命题p：|am|，命题q：椭圆+y2=1的离心率e满足e（，）（1）若q是真命题，求实数a取值范围；（2）若p是q的充分条件，且p不是q的必要条件，求实数m的值20（
7、12分）已知数列an的前n项和为Sn=n2+n（1）求数列an的通项公式；（2）设bn=an3n（nN*），求数列bn的前n项和Tn21（12分）某养殖场需定期购买饲料，已知该场每天需要饲料200千克，每千克饲料的价格为1.8元，饲料的保管费与其他费用平均每千克每天0.03元，购买饲料每次支付运费300元（1）求该养殖场多少天购买一次饲料才能使平均每天支付的总费用最少；（2）若提供饲料的公司规定，当一次购买饲料不少于5吨时，其价格可享受八五折优惠（即为原价的85%）问：为使该养殖场平均每天支付的总费用最少，该场是否应考虑利用此优惠条件？请说明理由22（12分）已知椭圆C：=1（ab0），且椭圆
8、上的点到一个焦点的最短距离为b（1）求椭圆C的离心率；（2）若点M（，）在椭圆C上，直线l与椭圆C相交于A，B两点，与直线OM相交于点N，且N是线段AB的中点，求|AB|的最大值2017-2018学年高二（下）开学考试理科数学参考答案与试题解析一、选择题（共12小题，每小题5分，满分60分）1（5分）已知命题p：x（1，+），2x110，则下列叙述正确的是（）Ap为：x（1，+），2x110Bp为：x（1，+），2x110Cp为：x（，1，2x110Dp是假命题【解答】解：命题p：x（1，+），2x110，命题p为：x（1，+），2x110；f（x）=2x11在（1，+）为增函数，f（x）f（
9、1）=0故p是真命题，即p是假命题故选：D2（5分）已知P为抛物线C：y2=8x准线上任意一点，A（1，3）、B（1，3），则PAB的面积为（）A10B9C8D7【解答】解：由题意，抛物线C：y2=8x准线l：x=2，ABl，|AB|=6，PAB的面积为=9，故选：B3（5分）九章算术有这样一个问题：今有女子善织，日增等尺，七日织二十一尺，第二日、第五日、第八日所织之和为十五尺，问第十日所织尺数为（）A6B9C12D15【解答】解：设此数列为an，由题意可知为等差数列，公差为d则S7=21，a2+a5+a8=15，则7a1+d=21，3a1+12d=15，解得a1=3，d=2a10=3+92=
10、15故选：D4（5分）若A（1，2），B（2，3），C（2，5），则ABC的形状（）A锐角三角形B直角角三角形C钝角三角形D等腰三角形【解答】解：A（1，2），B（2，3），C（2，5），则ACABABC是直角三角形故选：B5（5分）设f（x）是定义在正整数集上的函数，且f（x）满足“当f（k）k2成立时，总可推出f（k+1）（k+1）2”成立”那么，下列命题总成立的是（）A若f（2）4成立，则当k1时，均有f（k）k2成立B若f（4）16成立，则当k4时，均有f（k）k2成立C若f（6）36成立，则当k7时，均有f（k）k2成立D若f（7）=50成立，则当k7时，均有f（k）k2成立【解答】
11、解：对于A，当k=1时，不一定有f（k）k2成立；A命题错误；对于B，只能得出：对于任意的k4，均有f（k）k2成立，不能得出：任意的k3，均有f（k）k2成立；B命题错误；对于C，根据逆否命题的真假性相同，由f（6）36成立，能推出当k6时，均有f（k）k2成立；C命题错误；对于D，根据逆否命题的真假性相同，由f（7）=5049，能得出对于任意的k7，均有f（k）k2成立；D命题正确故选：D6（5分）设O是ABC的外接圆圆心，且，则AOC=（）ABCD【解答】解：设圆O的半径为r，则：由得，；即r2+4r2+4r2cosAOC=3r2；故选：B7（5分）六安滨河公园喷泉中央有一个强力喷水柱，
12、为了测量喷水柱喷出的水柱的高度，某人在水柱正西方向的A处测得水柱顶端的仰角为45，沿A处向南偏东30前进50米到达点B处，在B处测得水柱顶端的仰角为30，则水柱的高度是（）A15mB30mC25mD50m【解答】解：如图所示设水柱CD的高度为h在RtACD中，DAC=45，AC=h在RtBCD中，CBD=30，BC=h在ABC中，CAB=60，由余弦定理可得：BC2=AC2+AB22ACABcos603h2=h2+502，化为2h2+50h2500=0，解得h=25故选C，8（5分）过抛物线y2=4x的焦点作一条直线与抛物线相交于A，B两点，它们的横坐标之和等于3，则这样的直线（）A有且仅有一
13、条B有且仅有两条C有无穷多条D不存在【解答】解：过抛物线y2=4x的焦点作一条直线与抛物线相交于A、B两点，若直线AB的斜率不存在，则横坐标之和等于2，不适合故设直线AB的斜率为k，则直线AB为y=k（x1）代入抛物线y2=4x得，k2x22（k2+2）x+k2=0A、B两点的横坐标之和等于3，=3，解得：k2=4则这样的直线有且仅有两条，故选：B9（5分）函数f（x）=在区间m，m上的最大值与最小值之和为（）A0B1C2D4【解答】解：函数f（x）=3，由y=2x在R上递增，可得f（x）在R上递增，则f（x）在区间m，m上的最大值与最小值之和为3+3=62（+）=62=4故选：D10（5分）
14、抛物线y2=16x的焦点到双曲线=1的渐近线的距离是（）A1BC2D2【解答】解：抛物线y2=16x的焦点F的坐标为（4，0）；双曲线=1的一条渐近线方程为xy=0，抛物线y2=16x的焦点到双曲线=1的一条渐近线的距离为=2，故选：D11（5分）给出以下三个命题：已知P（m，4）是椭圆+=1（ab0）上的一点，F1、F2是左、右两个焦点，若PF1F2的内切圆的半径为，则此椭圆的离心率e=；过双曲线C：=1（a0，b0）的右焦点F作斜率为的直线交C于A，B两点，若=4，则该双曲线的离心率e=；已知F1（2，0）、F2（2，0），P是直线x=1上一动点，若以F1、F2为焦点且过点P的双曲线的离心
15、率为e，则e的取值范围是2，+）其中真命题的个数为（）A3个B2个C1个D0个【解答】解：PF1F2的内切圆的半径为，|PF1|+|PF2|=2a，|F1F2|=2c利用三角形的面积计算公式可得：（2a+2c）=2c4，3a=5c，e=，故错误；设双曲线的右准线为l：x=，A到直线l的距离为d1，B到直线l的距离为d2，由双曲线的第二定义得到：e=，由=4，设BF=t，则AF=4t，由直角三角形中，30所对的直角边是斜边的一半，得d1d2=，则e=故正确；P在x轴上时，双曲线上点到左焦点距离最小，ca1，2a1，a1，e=又a1，e2，故正确故选：B12（5分）已知变量x、y满足约束条件，且z
16、=x+2y的最小值为3，则的概率是（）ABCD【解答】解：由变量x、y满足约束条件画出可行域如图，由z=x+2y的最小值为3，在y轴上的截距最小由图可知，直线得z=x+2y过A点时满足题意联立，解得A（3，0）A在直线x=a上，可得a=3则的几何意义是可行域内的点与Q（1，0）连线的斜率超过，由图形可知：直线x=3与直线x2y+1=0的交点为：（3，2），直线x2y+3=0与x=3的交点（3，3），则的概率：=，则的概率是：1=故选：D二、填空题（共4小题，每小题5分，满分20分）13（5分）已知双曲线C：=1（a0，b0）的一个焦点为F，过点F的直线与双曲线C交于M，N两点，若仅存在三组|M
17、N|的值，使得|MN|=6a，则双曲线C的渐近线方程为y=x【解答】解：由题意，=6a，=，双曲线C的渐近线方程为y=x，故答案为y=x14（5分）F1，F2是椭圆+=1的两个焦点，点P是椭圆上任意一点，从F1引F1PF2的外角平分线的垂线，交F2P的延长线于M，则点M的轨迹是以点F2为圆心，半径为2a的圆【解答】解：设从F1引F1PF2的外角平分线的垂线，垂足为RPF1M中，PRF1M且PR是F1PM的平分线|MP|=|F1P|，可得|PF1|+|PF2|=|PM|+|PF2|=|MF2|根据椭圆的定义，可得|PF1|+|PF2|=2a，|MF2|=2a，即动点M到点F2的距离为定值2a，因
18、此，点M的轨迹是以点F2为圆心，半径为2a的圆故答案为：以点F2为圆心，半径为2a的圆15（5分）某楼盘按国家去库存的要求，据市场调查预测，降价销售今年110平方米套房的销售将以每月10%的增长率增长；90平方米套房的销售将每月递增10套已知该地区今年1月份销售110平方米套房和90平方米套房均为20套，据此推测该地区今年这两种套房的销售总量约为1320套（参考数据：1.1112.9，1.1123.1，1.1133.5）【解答】解：由题意可得，今年110平方米套房的销售量构成以20为首项，以1.1为公比的等比数列，则今年年110平方米套房的销售量为420；90平方米套房的销售量构成以20为首项
19、，以10为公差的等差数列，则90平方米套房的销售量为=900这两种套房的销售总量约为：420+900=1320故答案为：132016（5分）如图，在正方体ABCDA1B1C1D1中，M，N分别是CD，CC1的中点，给出下列命题：（1）直线ND与直线AB所成角的正切值为；（2）直线A1M与直线AB所成角的正切值为2；（3）直线ND与直线A1M垂直，以上命题正确的是（1），（2），（3）【解答】解：（1）由于ABCD，NDC即为直线ND与直线AB所成角，在直角NCD中，tanNDC=，故（1）正确；（2）连接A1D，可得A1MD即为直线A1M与直线AB所成角，易得CDA1D，设正方体的边长为2，则
20、tanA1MD=2，故（2）正确；（3）设正方体的边长为2，=，=+，则=2+2=0+000+4=0，故直线ND与直线A1M垂直，故（3）正确故答案为：（1），（2），（3）三、解答题（共6小题，满分70分）17（10分）已知，是互相垂直的两个单位向量，=+，=（1）求与的夹角；（2）若（+），求的值【解答】解：（1），是互相垂直的两个单位向量，=，=设与的夹角为，故cos=0，；（2）由（+），得（+）=0，18（12分）设ABC的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，（1）若，ABC的面积为，求c；（2）若，求2ca的取值范围【解答】（本题满分为12分）解：（1）由三角形面积公式，因为，所
21、以a=2（4分）由余弦定理，（6分）（2）由正弦定理，所以a=2sinA，c=2sinC（8分）因为于是（10分）因为C，所以故2ca的取值范围为（12分）19（12分）已知a0，命题p：|am|，命题q：椭圆+y2=1的离心率e满足e（，）（1）若q是真命题，求实数a取值范围；（2）若p是q的充分条件，且p不是q的必要条件，求实数m的值【解答】解：（1）当a1时，2a3，当0a1时，e2=1a2，e2，1a2，a2，综上所述（2），则题意可知或，解得m或，经检验，满足题意，综上20（12分）已知数列an的前n项和为Sn=n2+n（1）求数列an的通项公式；（2）设bn=an3n（nN*），求
22、数列bn的前n项和Tn【解答】解：（1）数列an的前n项和为Sn且Sn=n2+n，nN*，则an=SnSn1（n2），=n2+n（n1）2（n1）=2n，当n=1时，a1=2符合通项公式，所以an=2n；（2）由（1）得：设bn=an3n=2n3n，则：Tn=b1+b2+bn=23+432+2n3n，3Tn=232+433+2n3n+1，得：2Tn=2（3+32+33+3n）2n3n+1=22n3n+1，整理得：Tn=（n）3n+1+21（12分）某养殖场需定期购买饲料，已知该场每天需要饲料200千克，每千克饲料的价格为1.8元，饲料的保管费与其他费用平均每千克每天0.03元，购买饲料每次支付
23、运费300元（）求该养殖场多少天购买一次饲料才能使平均每天支付的总费用最少；（）若提供饲料的公司规定，当一次购买饲料不少于5吨时，其价格可享受八五折优惠（即为原价的85%）问：为使该养殖场平均每天支付的总费用最少，该场是否应考虑利用此优惠条件？请说明理由【解答】解：（）设该场每x（xN+）天购买一次饲料，平均每天支付的总费用为y1元因为饲料的保管费与其他费用每天比前一天少2000.03=6（元），所以x天饲料的保管费用共是6（x1）+6（x2）+6=3x23x（元） （2分）从而有（3分）因为，（4分）当且仅当=3x，即x=10时，y1有最小值故该养殖场每10天购买一次饲料才能使平均每天支付的
24、总费用最少 （5分）（）设该场利用此优惠条件，每隔x天购买一次饲料，平均每天支付的总费用为y2，则 （6分）因一次购买饲料5吨，够用天数为25，所以x25 （8分）令f（x）=+3x（x25）因为，（9分）所以当x25时，y20，即函数y2在25，+）上是增函数（10分）当x=25时，y2取得最小值390390417，故该厂应该利用此优惠条件 （12分）22（12分）已知椭圆C：=1（ab0），且椭圆上的点到一个焦点的最短距离为b（）求椭圆C的离心率；（）若点M（，）在椭圆C上，直线l与椭圆C相交于A，B两点，与直线OM相交于点N，且N是线段AB的中点，求|AB|的最大值【解答】解：（）由ac
25、=b，则（ac）2=b2，由b2=a2c2，整理得：2a23ac+a2=0，由e=，2e23e+1=0，解得：e=1或e=，由0e1，椭圆得离心率e=，（）由（）可知a=2c，则b2=3c2，将M（，）代入椭圆方程，则，解得：c=1，椭圆的方程为：，直线OM的方程为y=x，当直线l的不存在时，AB的中点不在直线y=x，故直线l的斜率存在，设直线l的方程为y=kx+m，则，整理得：（3+4m2）x2+8kmx+4m212=0，则=64k2m24（3+4m2）（4m212）=48（3+4k2m2）0，设A（x1，y1），B（x2，y2），则x1+x2=，x1x2=，则y1+y2=k（x1+x2）+2m=，则AB的中点N（，），由N在直线y=x，则=2，解得：k=，则=48（12m2）0，解得：2m2，则丨AB丨=，=，当m=0，则丨AB丨最大，且丨AB丨max=，|AB|的最大值
