1、12掌握利用导数解决实际生活中的优化问题的方法和步骤，如用料最少、费用最低、消耗最省、利润最大、效率最高等掌握导数与不等式、几何等综合问题的解题方法 ()()()()2)113(其解题的程序：读题 文字语言建模 数学语言求解 数学应用反馈 检验作答注意事项：函数建模，要设出两个变量，根据题意分析它们的关系，把变量间的关系转化成函数关系式，并确定自变量的取值范围；问题求解中所得出的数学结果要检验它是否符合问题的实际意义；在函数定义域利用导数解决生活中的优化问内只有一个极值，则该极值就是题可归结为求函数的最值问题所求的最大 小 值 12 32求参数的取值范围多数给出单调性，利用导数研究函数单调性的
2、逆向思维问题，灵活运用等价转化、分类讨论、数形结合等思想方法，建立关于字母参数的不近几年高等关系用导数方法证明不等式其步骤一般是：构造可导函数研究单调性或最值得出不等关系整理得出结论与几何图形相关的最值问题根据几何知识建考中和导立函数关数有关的综合题主要有以系，然后用导数方法下几类求最值 1.当 x0 时，有不等式()Aex0 时 ex1x，当 x1xCex1xD当 x0 时 ex0 时 ex1x【解法 1】构造 f(x)exx1，则 f(x)ex1；当 x0 时，f(x)f(0)0 xx1；当 x0 时，f(x)0，函数单调递增，f(x)f(0)0，故选 C.【解法 2】利用图象易知 exx
3、1 恒成立 2.如图所示，直线 l 和圆 C，当 l 从 l0 开始在平面上绕点 O 匀速旋转(旋转角度不超过 90)时，它扫过的圆内阴影部分的面积 S 是时间 t 的函数，它的图象大致是()【解析】由题意，绕点 O 匀速旋转时，前部分随着 t 的增加，S 越来越快，反映在图上是曲线斜率越来越大；后部分，增长缓慢，曲线斜率减少，故选 D.3.(2011北京卷)某车间分批生产某种产品，每批的生产准备费用为 800 元若每批生产 x 件，则平均仓储时间为x8天，且每件产品每天的仓储费用为 1 元为使平均每件产品的生产准备费用与仓储费用之和最小，每批应生产产品()A60 件B80 件C100 件D1
4、20 件【解析】设每件产品的平均费用为 y 元，由题意得 y800 x x8(x0)，令 y18800 x2 0 x80，当 x(0,80)时，y0，函数单调递增，且在定义域内只有一个极小值点，所以 yminy 极小值f(80)4.某工厂生产某种产品，已知该产品的月产量 x(吨)与每吨产品的价格 P(吨/元)之间的函数关系为 P2420015x2，且生产 x 吨的成本为 R50000200 x元，则该厂每月生产 200 吨产品才能使利润达到最大，最大利润是 315 万元【解析】设每月生产 x 吨产品，利润为 y 元，则 yPxR(2420015x2)x(50000200 x)15x324000
5、 x50000.令 y35x2240000，得 x200.所以当每月生产 200 吨产品时，利润达到最大，最大利润是 315 万元5.将长为 52 cm 的铁丝剪成 2 段，各围成一个长宽之比为21 及 32 的矩形，那么面积之和的最小值为 78cm2.【解析】设剪成 2 段中其中一段为 x cm，另一段为(52x)cm，依题意知：Sx62x6 352x10252x10 118x2 350(52x)2，S19x 325(52x)，令 S0，则 x27，另一段为 522725 cm，此时 Smin78 cm2.一 导数与方程、不等式问题【例 1】(1)(2011辽宁卷)已知函数 f(x)ex2x
6、a 有零点，则 a 的取值范围是_(2)(2011辽宁卷)函数 f(x)的定义域为 R，f(1)2，对任意 xR，f(x)2，则 f(x)2x4 的解集为()A(1,1)B(1，)C(，1)D(，)【解析】(1)函数 f(x)ex2xa 有零点，即方程ex2xa0 有实根，即函数 y2xex，ya 有交点，而 y2ex，易知 y2xex 在(，ln2)上递增，在(ln2，)上递减，因而 y2xex 的值域为(，2ln22，所以要使函数 y2xex，ya 有交点，只要 a(，2ln22(2)设 m(x)f(x)2x4，则 m(x)f(x)20，所以 m(x)在 R 上为增函数，又因为 m(1)f
7、(1)(24)0，所以 m(x)0的解集为x|x1即 f(x)2x4 的解集为x|x1，选 B.【点评】(1)方程根的存在性问题应等价转换为函数极值、最值和单调性问题研究，然后应用导数及数形结合确定方程根的存在性和个数(2)不等式的证明式求解问题，应构造函数，转换为探究函数值的大小，然后应用导数讨论单调性，从而达到目的(3)含参不等式的恒成立，通过分离变量，构造函数等价转化为函数最值问题已知函数 f(x)x3x.(1)设 x1、x21,1，求证：|f(x1)f(x2)|0，如果过点(a，b)可作曲线 yf(x)的三条切线，证明：ab0；当 x(33，33)时，f(x)0.又 f(1)f(1)0
8、，f(x)maxf(33)2 39，f(x)minf(33)2 39.又 x1，x21,1，所以|f(x1)f(x2)|f(x)maxf(x)min4 39 1，故原不等式成立(2)曲线 yf(x)在点 M(t，f(t)处的切线方程为：yf(t)f(t)(xt)，即 y(3t21)x2t3.如果有一条切线过点(a，b)，则存在 t，使 b(3t21)a2t3.于是，若过点(a，b)可作曲线 yf(x)的三条切线，则方程 2t33at2ab0 有三个相异的实数根记 g(t)2t33at2ab，则 g(t)6t26at6t(ta)当 t 变化时，g(t)，g(t)变化情况如下表：由 g(t)的单调
9、性，当极大值 ab0时，方程 g(t)0 最多有一个实数根；当 ab0 时，解方程 g(t)0 得 t0，t3a2，即方程 g(t)0 只有两个相异的实数根；当 bf(a)0 时，解方程 g(t)0 得 ta2，ta，即方程 g(t)0 只有两个相异的实数根 综上，如果过点(a，b)可作曲线 yf(x)三条切线，即g(t)0 有三个相异的实数根，则ab0bfa0，即ab12，所以 60，且 f(x)在(6,50上连续，因此，f(x)在(6,50上是增函数；当 x(50，)时，f(x)0，且 f(x)在50，)上连续因此，f(x)在50，)上是减函数所以 x50 为极大值点当 12t2t150，
10、即 t(12，2544时，投入 50 万元改造时取得最大增加值；当 6 12t2t150，即 t(2544，)时，投入 12t2t1万元改造时取得最大增加值【点评】收益问题备受人们的关注，它与数学密不可分本例注重知识迁移，通过问题的解决，培养运用导数的意识和能力 某集团为了获得更大的利益，每年要投入一定的资金 t(百万元)用于广告费，可增加销售额约为t25t(百万元)，0t5.素材2(1)若该公司将当年的广告费控制在 300 万元之内，则应投入多少广告费，才能使该公司由此获得增加的收益最大？(2)现该公司准备共投入 300 万元，分别用于广告促销和技术改造经预测，每投入技术改造费 x(百万元)
11、，可增加的销售额约为13x3x23x(百万元)请设计一个资金分配方案，使该公司由此获得的收益最大？(注：收益销售额投入)【解析】(1)设投入 t(百万元)的广告费后增加的收益为f(t)(百万元)，则有 f(t)(t25t)tt24t(t2)24(0t3)所以当 t2 百万元时，f(t)取得最大值 4 百万元即投入 2 百万元的广告费时，该公司由此获得的收益最大(2)设用于技术改造的资金为 x(百万元)，则用于广告促销的资金为(3x)(百万元)，又设由此获得增加的收益是 g(x)，则有g(x)(13x3x23x)(3x)25(3x)313x34x3(0 x3)，所以 g(x)x24.令 g(x)
12、0，解得 x2(舍去)或 x2，又当 0 x0，当 2x3 时，g(x)0.故 g(x)在0,2上是增函数，在2,3上是减函数所以当 x2 时，g(x)取最大值，即将 2 百万元用于技术改造，1 百万元用于广告促销时，该公司由此获得的收益最大三用料配料最少问题【例 3】一条水渠，断面为等腰梯形，如图所示在确定断面的尺寸时，希望在断面 ABCD 的面积为定值 S 时，使得四周的长 lABBCCD 最小，这样可使水流阻力小，渗透少，求此时的高 h 和下底边长 b.【解析】由梯形的面积公式，得 S12(ADBC)h，其中 AD2DEBC，DE 33 h，BCb，所以 AD2 33 hb，所以 S12
13、(2 33 h2b)h(33 hb)h.因为 CDhcos30 23h，ABCD，所以 l 23h2b.由得 bSh 33 h，代入，得 l4 33 hSh 33 h 3hSh，则令 l 3 Sh20，得 h S4 3.当 h S4 3时，l0；当 h S4 3时，l0.所以，当 h S4 3时，l 取最小值，此时 b24 33S.【点评】在求实际问题中的最大值或最小值时，一般先设自变量、因变量，建立函数关系式，并确定其定义域，利用求函数最值的方法求解，注意结果应与实际问题相结合，用导数求解实际问题中的最大(小)值时，如果函数在区间内只有一个极值点，那么根据实际意义该极值点也就是最值点 统计表
14、明，某种型号的汽车在匀速行驶中每小时的耗油量 y(升)关于行驶速度 x(千米/小时)的函数解析式可以表示为：y1128000 x3 380 x8(0 x120)已知甲、乙两地相距 100 千米素材3(1)当汽车以 40 千米/小时的速度匀速行驶时，从甲地到乙地要耗油多少升？(2)当汽车以多大的速度匀速行驶时，从甲地到乙地耗油最少？最少为多少升？【解析】(1)当 x40 时，汽车从甲地到乙地行驶了10040 2.5 小时，要耗油(1128000403 380408)2.517.5 升故当汽车以 40 千米/小时的速度匀速行驶时，从甲地到乙地耗油为 17.5 升(2)当速度为 x 千米/小时时，汽
15、车从甲地到乙地行驶了100 x 小时，设耗油量为 h(x)升，依题意得：h(x)(1128000 x3 380 x8)100 x 11280 x2800 x 154(0 x120)，则 h(x)x640800 x2 x3803640 x2(0 x120)令 h(x)0，得 x80.当 x(0,80)时，h(x)0，h(x)是增函数所以，当 x80 时，h(x)取到极小值 h(80)11.25.因为 h(x)在(0,120上只有一个极小值，所以它是最小值故当汽车以 80 千米/小时的速度匀速行驶时，从甲地到乙地耗油最少，为 11.25 升 备选例题(2011江西卷)设 f(x)13x3mx2nx
16、.(1)如果 g(x)f(x)2x3 在 x2 处取得最小值5，求 f(x)的解析式(2)如果 mn10(m，nN)，f(x)的单调递减区间的长度是正整数，试求 m 和 n 的值(注：区间(a，b)的长度为 ba)【解析】(1)由题意得 g(x)x22(m1)x(n3)(xm1)2(n3)(m1)2.因为 g(x)在 x2 处取得最小值5，所以m12n3m125，即 m3，n2.即得所要求的解析式为 f(x)13x33x22x.(2)因为 f(x)x22mxn，且 f(x)的单调递减区间的长度为正整数，故 f(x)0 一定有两个不同的根，从而 4m24n0，即 m2n.不妨设 f(x)0 的根为 x1，x2，则|x2x1|2 m2n为正整数故 m2 时才可能有符合条件的 m，n.当 m2 时，只有 n3 符合要求；当 m3 时，只有 n5 符合要求；当 m4 时，没有符合要求的 n.综上所述，只有 m2，n3 或 m3，n5 满足上述要求.123应用导数证明不等式，关键在于构造适当的函数利用导数解决优化问题，关键在于建立目标函数，并且还要根据实际问题，写出函数的定义域在求实际问题的最值时，如果只有一个极值点，则此点就是最值点