1、专题六 函数与导数 第 1 讲 函数图象与性质1(2019全国卷)函数 y2x32x2x在6，6的图象大致为()解析：因为 yf(x)2x32x2x，x6，6，所以 f(x)2（x）32x2x 2x32x2xf(x)，所以 f(x)是奇函数，排除选项 C.当 x4 时，y 2432424 12816 116(7，8)，排除选项A、D.只有 B 适合答案：B2(2019全国卷)设 f(x)是定义域为 R 的偶函数，且在(0，)单调递减，则()Af log314 f(232)f(223)Bf log314 f(223)f(232)Cf 232 f 223 f log314Df 223 f 232
2、f log314解析：因为 f(x)是定义域为 R 的偶函数，所以 f log314 f(log34)f(log34)又 log3412232320，且函数 f(x)在(0，)上递减所以 f(log34)f(223)f(232)，则 f(log314)f 223 f 232.答案：C3(2019北京卷)设函数 f(x)exaex(a 为常数)若f(x)为奇函数，则 a_；若 f(x)是 R 上的增函数，则 a 的取值范围是_解析：因为 f(x)exaex(a 为常数)的定义域为 R，所以 f(0)e0ae01a0，所以 a1.因为 f(x)exaex，所以 f(x)exaexexaex.因为
3、f(x)是 R 上的增函数，所以 f(x)0 在 R 上恒成立，即 exaex在 R 上恒成立，所以 ae2x 在 R 上恒成立又 e2x0，所以 a0，即 a 的取值范围是(，0答案：1(，04(2019浙江卷)已知 aR，函数 f(x)ax3x.若存在 tR，使得|f(t2)f(t)|23，则实数 a 的最大值是_解析：由题意，得 f(t2)f(t)a(t2)3(t2)(at3t)a(t2)3t32a(t2t)(t2)2(t2)tt222a(3t26t4)22a3(t1)212.由|f(t2)f(t)|23，得|2a3(t1)212|23，即232a3(t1)21223，23a3(t1)2
4、143，所以2313（t1）21a4313（t1）21.设 g(t)4313（t1）21，则当 t1 时，g(t)max43.所以当 t1 时，a 取得最大值43.答案：43从近年高考看，本讲主要以分段函数、基本初等函数为载体考查函数的图象与性质；对于函数图象的考查灵活多变，且年年均有创新，函数的性质着重于单调性、奇偶性、周期性的综合应用试题多以选择、填空题的形式呈现，以中低档题为主，重点考查直观想象、数学运算、逻辑推理等数学核心素养热点 1 函数及其表示(自主演练)1函数的三要素定义域、值域和对应关系是确定函数的三要素，是一个整体，研究函数问题务必遵循“定义域优先”的原则2分段函数若函数在其
5、定义域内，对于自变量的不同取值区间，有着不同的对应关系，这样的函数通常叫做分段函数分段函数虽然由几部分组成，但它表示的是一个函数1(2019华南师大附中月考)已知函数 f(x)的定义域是1，1，则函数 g(x)f（2x1）ln（1x）的定义域是()A0，1 B(0，1)C0，1)D(0，1解析：由于 f(x)的定义域是1，1所以 g(x)应满足12x11，1x0且1x1，则0 x1，x1且x0.因此 g(x)的定义域为(0，1)答案：B2(2019全国卷)已知 f(x)是奇函数，且当 x0 时，f(x)eax，若 f(ln 2)8，则 a_解析：当 x0，x0，f(x)eax.因为 f(x)是
6、奇函数，所以当 x0 时，f(x)f(x)eax，所以 f(ln 2)ealn 2(eln 2)a2a8.解得 a3.答案：33 (2019 安 徽 十 校 联 考)已 知 函 数f(x)2x，x0，x22x1，x0，若 f(f(a)4，则 a_解析：令 mf(a)，则 f(m)4.当 m0 时，由 2m4，得 m2.当 m0 时，由m22m14，知方程无解故 f(a)2.当 a0 时，由 2a2，得 a1.当 a0 时，由a22a12，解得 a1.综上可知，a1 或 a1.答案：14已知函数 f(x)|ln(x1)|，满足 f(a)f(4a)，则实数 a 的取值范围是()A(1，2)B(2，
7、3)C(1，3)D(2，4)解析：由已知不等式有意义，则 a1，4a1，故 a(1，3)当 a(1，2)时，原不等式等价于|ln(a1)|ln(3a)|，即ln(a1)ln(3a)，则 ln(a24a3)0，a24a31，又 1a3，解之得 1a2.当 a2，3)时，原不等式等价于|ln(a1)|ln(3a)|，即 ln(a1)ln(3a)故 ln(a24a3)0，a24a31，不等式解集为.综上可知，实数 a 的取值范围是(1，2)答案：A思维升华1(1)已知函数的解析式，定义域就是使解析式有意义的变量的集合，只需构建不等式(组)求解即可(2)抽象函数：根据 f(g(x)中 g(x)的范围与
8、 f(x)中 x 的范围相同求解2对于分段函数的求值问题，必须依据条件准确地找出利用哪一段求解；形如 f(g(x)的函数求值时，应遵循先内后外的原则热点 2 函数的图象及其应用(讲练互动)1作函数图象有两种基本方法：一是描点法，二是图象变换法，其中图象变换有平移变换、伸缩变换、对称变换2利用函数图象可以判断函数的单调性、奇偶性，作图时要准确画出图象的特点【例 1】(1)(2019全国卷)函数 f(x)sin xxcos xx2在，的图象大致为()(2)(2019全国卷)设函数 f(x)的定义域为 R，满足 f(x1)2f(x)，且当 x(0，1时，f(x)x(x1)若对任意x(，m，都有 f(
9、x)89，则 m 的取值范围是()A.，94B.，73C.，52D.，83解析：(1)显然 f(x)f(x)，x，所以 f(x)为奇函数，排除 A；当 x 时，f()120，排除 B、C.(2)当1x0 时，0 x11，则 f(x)12f(x1)12(x1)x；当 1x2 时，0 x11，则 f(x)2f(x1)2(x1)(x2)；当 2x3 时，0 x21，则 f(x)2f(x1)22f(x2)22(x2)(x3)，由此可得f(x)12（x1）x，1x0，x（x1），0 x1，2（x1）（x2），1x2，22（x2）（x3），2x3，作出 f(x)的图象如图所示若对任意 x(，m，都有 f(
10、x)89，则有 2m3.设 f(m)89，则 4(m2)(m3)89，所以 m73或 m83.结合图象可知，当 m73时，符合题意故实数 m 的取值范围是，73.答案：(1)D(2)B思维升华1已知函数的解析式，判断其图象的关键是由函数解析式明确函数的定义域、值域、单调性、奇偶性、周期性等，以及函数图象上的特殊点，根据这些性质对函数图象进行具体分析判断2(1)运用函数图象解决问题时，先要正确理解和把握函数图象本身的含义及其表示的内容，熟悉图象所能够表达的函数的性质(2)图象形象地显示了函数的性质，因此，函数性质的确定与应用及一些方程、不等式的求解常与图象数形结合研究变式训练(1)(2018浙江
11、卷)函数 y2|x|sin 2x 的图象可能是()(2)若当 x(1，2)时，函数 y(x1)2 的图象始终在函数 ylogax 的图象的下方，则实数 a 的取值范围是_解析：(1)设 f(x)2|x|sin 2x，xR，则 f(x)2|x|sin(2x)2|x|sin 2xf(x)，所以 f(x)为奇函数，图象关于原点对称，排除 A、B.令 f(x)0，则 2|x|sin 2x0，所以 xk2(kZ)，排除 C 项(2)如图，在同一平面直角坐标系中画出函数 y(x1)2 和 ylogax 的图象由于当 x(1，2)时，函数 y(x1)2 的图象恒在函数 ylogax 的图象的下方，则a1，l
12、oga21，解得 1a2.答案：(1)D(2)(1，2热点 3 函数的性质及应用(多维探究)1函数的单调性单调性是函数的一个局部性质，一个函数在不同的区间上可以有不同的单调性，判断函数单调性常用定义法、图象法及导数法温馨提醒：函数的多个单调区间若不连续，不能用符号“”连接，可用“和”或“，”连接2函数的奇偶性函数的奇偶性是函数在定义域上的整体性质，偶函数的图象关于 y 轴对称，在关于坐标原点对称的定义区间上具有相反的单调性；奇函数的图象关于坐标原点对称，在关于坐标原点对称的定义区间上具有相同的单调性3函数的周期性(1)若 yf(x)对 xR，f(xa)f(xa)或 f(x2a)f(x)(a0)
13、恒成立，则 yf(x)是周期为 2a 的周期函数(2)若 f(xa)f(x)或f（xa）1f（x），则 yf(x)是周期为 2|a|的周期函数角度 函数的奇偶性、周期性【例 2】(1)(2019广东湛江一模)已知函数 g(x)f(2x)x2 为奇函数，且 f(2)1，则 f(2)()A2 B1 C1 D2(2)(2018全国卷)已知 f(x)是定义域为(，)的奇函数，满足 f(1x)f(1x)若 f(1)2，则 f(1)f(2)f(3)f(50)()A50 B0 C2 D50解析：(1)因为 g(x)为奇函数，且 f(2)1.所以 g(1)g(1)则 f(2)1f(2)10，故 f(2)1.(
14、2)法 1：f(x)在 R 上是奇函数，且 f(1x)f(1x)，所以 f(x1)f(x1)，即 f(x2)f(x)，则 f(x4)f(x)，T4 是函数 f(x)的周期又 f(0)0，知 f(2)f(0)0，f(4)f(0)0.由 f(1)2，知 f(1)2，则 f(3)f(1)2.从而 f(1)f(2)f(3)f(4)0，故 f(1)f(2)f(3)f(4)f(50)120f(1)f(2)2.法 2：由题意可设 f(x)2sin2x，作出 f(x)的部分图象如图所示由图可知，f(x)的一个周期为 4，所以 f(1)f(2)f(3)f(50)12f(1)f(2)f(3)f(4)f(49)f(
15、50)120f(1)f(2)2.答案：(1)C(2)C思维升华1利用函数的奇偶性和周期性可以转化函数的解析式、图象和性质，把不在已知区间上的问题，转化到已知区间上求解2对于奇函数 f(x)，若不能确定在 x0 处是否有意义，一定要利用定义求解，此时若利用 f(0)0 求参数，容易漏解变式训练(1)(2019天一大联考)若函数 f(x)sin xln(ax 14x2)的图象关于 y 轴对称，则实数 a 的值为()A2 B4 C2 D4(2)已知定义在 R 上的偶函数，且 f(x5)f(x3)如果当 x0，4)时，f(x)log2(x2)，则 f(766)_解析：(1)依题设，函数 f(x)为偶函
16、数，由于 m(x)sin x 为奇函数，故 g(x)ln(ax 14x2)也为奇函数故 g(x)g(x)ln(ax 14x2)ln(ax 14x2)0，则 ln(14x2a2x2)0 恒成立，因此 a2.(2)由 f(x5)f(x3)，得 f(x8)f(x)所以函数 yf(x)是周期为 8 的函数又函数 f(x)是偶函数，且 x0，4)时，f(x)log2(x2)，所以 f(766)f(9682)f(2)f(2)log242.答案：(1)A(2)2角度 函数的单调性与最值【例 3】(1)设函数 f(x)(exex)sin xt，xa，a的最大值和最小值分别为 M，N.若 MN8，则 t()A0
17、 B2 C4 D8(2)已知函数 yf(x)是 R 上的偶函数，对任意 x1，x2(0，)，都有(x1x2)f(x1)f(x2)0.设 aln 1，b(ln)2，cln，则()Af(a)f(b)f(c)Bf(b)f(a)f(c)Cf(c)f(a)f(b)Df(c)f(b)f(a)解析：(1)设 g(x)(exex)sin x，xa，a，因为 g(x)是奇函数，所以 g(x)maxg(x)min0，所以 MNg(x)maxg(x)min2t2t8，所以 t4.(2)由题意易知 f(x)在(0，)上是减函数，因为 f(x)是 R 上的偶函数，所以 f(x)f(x)f(|x|)又因为|a|ln 1，
18、b(ln)2|a|，0cln 2|a|，所以 f(c)f(|a|)f(b)又由题意知，f(a)f(|a|)所以 f(c)f(a)f(b)答案：(1)C(2)C思维升华1函数单调性应用：可以比较大小、求函数最值、解不等式、证明方程根的唯一性2(1)比较函数值的大小，多将自变量的取值转化到同一单调区间，利用单调性解决，有些常与特殊值比较(2)求解与抽象函数有关的不等式时，往往利用单调性将“f”符号脱掉，转化为具体的不等式求解变式训练(1)已知定义在 R 上的函数 f(x)2|xm|1(m 为实数)为偶函数，记 af(log0.53)，bf(log25)，cf(2m)，则 a，b，c 的大小关系为()AabcBacbCcabDcba(2)(2019深圳检测)若函数 f(x)exex，则不等式f(2x1)f(x2)0 的解集为_解析：(1)由 f(x)2|xm|1 是偶函数可知 m0，所以 f(x)2|x|1.所以 af(log0.53)2|log0.53|12log2312，bf(log25)2|log25|12log2514，cf(0)2|0|10，所以 cab.(2)易知 f(x)exexf(x)，yf(x)为奇函数，所以 f(2x1)f(x2)0f(2x1)f(2x)又易知 f(x)在 R 上是增函数所以 2x12x，则 x13.答案：(1)C(2)13，