1、第5讲简单的三角恒等变换第1课时两角和、差及倍角公式1.两角和与差的正弦、余弦、正切公式(1)C()：cos()coscossinsin.(2)S()：sin()sincoscossin.(3)T()：tan().2.二倍角的正弦、余弦、正切公式(1)S2：sin22sincos.(2)C2：cos2cos2sin22cos2112sin2.(3)T2：tan2.3.公式的常用变形(1)tantantan()(1tantan)(2)cos2，sin2.(3)1sin2(sincos)2，sincossin.(4)asinbcossin()，其中cos，sin，tan(a0)1.概念辨析(1)公
2、式C()，S()，S2，C2中的角，是任意的()(2)存在实数，使等式sin()sinsin成立()(3)在锐角ABC中，sinAsinB和cosAcosB大小关系不确定()(4)公式tan()可以变形为tantantan()(1tantan)，且对任意角，都成立()(5)对任意角都有1sin2.()答案(1)(2)(3)(4)(5) 2.小题热身(1)若cos，是第三象限的角，则sin()A. B. C D.答案C解析因为cos，是第三象限的角，所以sin，所以sinsincoscossin.(2)计算：cos()cossin()sin()A.sin(2) BsinC.cos(2) Dcos
3、答案D解析cos()cossin()sincos()cos.(3)已知cosx，则cos2x()A. B. C D.答案D解析cos2x2cos2x1221.(4)在平面直角坐标系xOy中，角与角均以Ox为始边，它们的终边关于y轴对称若tan，则tan()的值为()A.0 B. C. D.答案D解析由角与角的始边相同，终边关于y轴对称可知tantan.又tan，所以tan，所以tan()，故选D.题型 两角和、差及倍角公式的直接应用1.已知角与角均以x轴的非负半轴为始边，它们的终边关于y轴对称，且角的终边与单位圆交于点P，则sin()_.答案解析因为角的终边与单位圆交于点P，所以sin，cos
4、.因为角与角的终边关于y轴对称，所以角的终边与单位圆交于点Q，所以sin，cos，所以sin()sincoscossin.2.(2018全国卷)已知tan，则tan_.答案解析tan，解方程得tan.3.已知，sin，则cos的值为_答案解析因为，sin.所以cos.所以sin22sincos，cos2cos2sin2，所以coscoscos2sinsin2.应用三角公式化简求值的策略(1)使用两角和、差及倍角公式，首先要记住公式的结构特征和符号变化规律例如两角差的余弦公式可简记为：“同名相乘，符号反”(2)使用公式求值，应注意与同角三角函数基本关系、诱导公式的综合应用(3)使用公式求值，应注
5、意配方法、因式分解和整体代换思想的应用.1.(2018石家庄质检)若sin()，且，则sin2的值为()A. B C. D.答案A解析sin()，sin，又，cos，sin22sincos2.2.(2018上饶三模)由射线yx(x0)按逆时针方向旋转到射线yx(x0)的位置所成的角为，则cos()A. B C D答案A解析设yx(x0)的倾斜角为，则sin，cos，射线yx(x0)的倾斜角为，sin，cos，coscos()coscossinsin.3.若sin()，sin()，则等于()A.5 B1 C6 D.答案A解析由题意可得sincoscossin，sincoscossin，解得sin
6、cos，cossin，5.题型 两角和、差及倍角公式的逆用和变形用1.计算sin133cos197cos47cos73的结果为()A. B. C. D.答案A解析sin133cos197cos47cos73sin47(cos17)cos47sin17sin(4717)sin30.2.(1tan18)(1tan27)的值是()A. B1C.2 D2(tan18tan27)答案C解析(1tan18)(1tan27)1tan18tan27tan18tan271tan45(1tan18tan27)tan18tan272.3.已知sincos，则cos4_.答案解析由sincos，得sin2cos22s
7、incos1sin2，所以sin2，从而cos412sin22122.条件探究1将举例说明3的条件改为“sincos”，求cos4.解因为sincos，所以12sincos，所以sin22sincos，所以cos412sin22122.条件探究2将举例说明3的条件改为“cos2，(，2)”，求sincos.解因为cos2.所以sin20，又因为(，2)，所以，所以sincos0，(sincos)212sincos1，所以sincos.1.注意三角函数公式逆用和变形用的两个问题(1)公式逆用时一定要注意公式成立的条件和角之间的关系(2)注意特殊角的应用，当式子中出现，1，等这些数值时，一定要考虑
8、引入特殊角，把“值变角”构造适合公式的形式2熟记三角函数公式的两类变式(1)和差角公式变形sinsincos()coscos，cossinsin()sincos，tantantan()(1tantan)(2)倍角公式变形降幂公式cos2，sin2，配方变形：1sin2,1cos2cos2，1cos2sin2.1.若x0，sinsincoscos，则x的值是()A. B. C. D.答案D解析由已知得，coscossinsincosx0.x0，x.2.(2019湖南郴州质检)已知x(0，)，sincos2，则tanx()A. B2 C. D.答案D解析因为sincos2，所以cosxsinx，c
9、osxsinx1sinx，解得cosx，因为x(0，)，所以sinx，所以tanx.3.化简：_.答案解析原式tan(902).题型 两角和、差及倍角公式的灵活应用角度1角的变换1.(2018南开区模拟)已知0，cos，sin().(1)求sin2的值；(2)求cos的值解(1)sin2cos2cos21.(2)因为0，所以0，cos()0，因为cos，sin()，所以sin，cos()，所以coscoscos()cossin()sin.角度2函数名称的变换2.求值：(1)_；(2)sin10_.答案(1)(2)解析(1).(2)原式sin10sin10sin102cos10.三角公式应用中变
10、“角”与变“名”问题的解题思路(1)角的变换：明确各个角之间的关系(包括非特殊角与特殊角、已知角与未知角)，熟悉角的变换技巧，及半角与倍角的相互转化，如：2()()，()()，406020，2等(2)名的变换：明确各个三角函数名称之间的联系，常常用到同角关系、诱导公式，把正弦、余弦化为正切，或者把正切化为正弦、余弦.1.若0，0，cos，cos，则cos等于()A. B C. D答案C解析0，.cos，sin.0，.cos，sin.coscoscoscossinsin.2.(2018吉林第三次调研)若sin，则cos2_.答案解析因为sinsincos，所以cos2.3.(2018江苏高考)已
11、知，为锐角，tan，cos().(1)求cos2的值；(2)求tan()的值解(1)因为tan，tan，所以sincos.因为sin2cos21，所以cos2，因此，cos22cos21.(2)因为，为锐角，所以(0，)又因为cos()，所以sin()，因此tan()2.因为tan，所以tan2，因此，tan()tan2(). 思想方法三角恒等变换中的拆角、凑角思想典例1(2018石嘴山一模)已知满足sin，那么sinsin的值为()A B. C D.答案D解析sinsincos，sinsinsincossincos2(12sin2).典例2若tan，tan()，则tan_.答案解析因为tan，tan()，所以tantan().方法指导三角变换的关键是找到条件和结论中的角和式子结构之间的联系.变换中可以通过适当地拆角、凑角或对式子整体变形达到目的.