1、第3讲函数的奇偶性与周期性考纲解读1.了解函数奇偶性的含义2.会运用基本初等函数的图象分析函数的奇偶性(重点)3.了解函数周期性、最小正周期的含义，会判断、应用简单函数的周期性(重点)考向预测从近三年高考情况来看，函数的奇偶性与周期性是高考的一个热点预测2020年高考会侧重以下三点：函数奇偶性的判断及应用；函数周期性的判断及应用；综合利用函数奇偶性、周期性和单调性求参数的值或解不等式.1函数的奇偶性奇偶性定义图象特点偶函数一般地，如果对于函数f(x)的定义域内任意一个x，都有f(x)f(x)，那么函数f(x)就叫做偶函数关于y轴对称奇函数一般地，如果对于函数f(x)的定义域内任意一个x，都有f
2、(x)f(x)，那么函数f(x)就叫做奇函数关于原点对称2周期性(1)周期函数：对于函数yf(x)，如果存在一个非零常数T，使得当x取定义域内的任何值时，都有f(xT)f(x)，那么就称函数yf(x)为周期函数，称T为这个函数的周期(2)最小正周期：如果在周期函数f(x)的所有周期中存在一个最小的正数，那么这个最小正数就叫做f(x)的最小正周期1概念辨析(1)若函数yf(xa)是偶函数，则函数yf(x)关于直线xa对称()(2)函数f(x)在定义域上满足f(xa)f(x)，则f(x)是周期为2a(a0)的周期函数()(3)定义域关于原点对称是函数具有奇偶性的一个必要条件()(4)若T是函数的一
3、个周期，则nT(nZ，n0)也是函数的周期()答案(1)(2)(3)(4) 2小题热身(1)下列函数中为奇函数的是()Ayx2sinx Byx2cosxCy|ln x| Dy2x答案A解析A是奇函数，B是偶函数，C，D是非奇非偶函数(2)奇函数yf(x)的局部图象如图所示，则()Af(2)0f(4)Bf(2)0f(4)0Df(2)f(4)0f(2)，所以f(4)0f(2)，即f(2)0f(4)(3)若函数f(x)ax2bx1是定义在1a,2a上的偶函数，则该函数的最大值为_答案5解析由函数f(x)ax2bx1是定义在1a,2a上的偶函数，可得b0，且1a2a0，解得a1，所以函数f(x)x21
4、，x2,2，故该函数的最大值为5.(4)已知f(x)是定义在R上的偶函数，且f(x4)f(x2)若当x3,0时，f(x)6x，则f(919)_.答案6解析因为f(x4)f(x2)，所以函数f(x)是周期为6的周期函数，所以f(919)f(61531)f(1)，又因为当x3,0时，f(x)6x，且f(x)是偶函数，所以f(919)f(1)f(1)6.题型 函数的奇偶性角度1判断函数的奇偶性1判断下列函数的奇偶性：(1)f(x)；(2)f(x)(1x) ；(3)f(x)；(4)f(x)解(1)由得x23，解得x，即函数f(x)的定义域为，f(x)0.f(x)f(x)且f(x)f(x)，函数f(x)
5、既是奇函数又是偶函数(2)由0得1x1，所以f(x)的定义域为1,1)，所以函数f(x)是非奇非偶函数(3)由得定义域为(1,0)(0,1)，关于原点对称x20，|x2|2x，f(x).又f(x)f(x)，函数f(x)为奇函数(4)显然函数f(x)的定义域为(，0)(0，)，关于原点对称当x0，则f(x)(x)2xx2xf(x)；当x0时，x0时，f(x)x3x1，则当x0时，f(x)的解析式为_；(2)已知f(x)，若f(ln (a)1，则f(ln (a)_；(3)(2018河南南阳模拟)若函数f(x)x为偶函数，则a_.答案(1)x3x1(2)3(3)1或1解析(1)当x0.因为f(x)是
6、偶函数，且当x0时，f(x)x3x1，所以f(x)f(x)(x)3(x)1x3x1.(2)f(x)f(x)2，而ln (a)ln (a)ln 10，因此f(ln (a)f(ln (a)2，f(ln (a)213.(3)令u(x)1，根据函数f(x)x为偶函数，可知u(x)1为奇函数，利用u(0)10，可得a21，所以a1或a1.1判断函数奇偶性的两种方法(1)定义法(2)图象法2函数奇偶性的应用(1)求函数解析式将所求解析式自变量的范围转化为已知解析式中自变量的范围；将转化后的自变量代入已知解析式；利用函数的奇偶性求出解析式如举例说明2(1)(2)求参数值在定义域关于原点对称的前提下，根据奇函
7、数满足f(x)f(x)或偶函数满足f(x)f(x)列等式，根据等式两侧对应相等确定参数的值特别要注意的是：若能够确定奇函数的定义域中包含0，可以根据f(0)0列式求解，若不能确定则不可用此法如举例说明2(3)注意：利用“奇函数在关于原点对称的区间上有最值，则f(x)maxf(x)min0”的性质解决有关最值问题 1已知函数f(x)为定义在R上的奇函数，且当x0时，f(x)log3(x1)a，则f(8)()A3a B3a C2 D2答案C解析由题意得f(0)log31a0，所以a0.所以当x0时，f(x)log3(x1)，又因为f(x)是奇函数，所以f(8)f(8)log392.2设函数f(x)
8、，g(x)的定义域为R，且f(x)是奇函数，g(x)是偶函数，则下列结论中正确的是()Af(x)g(x)是偶函数 B|f(x)|g(x)是奇函数Cf(x)|g(x)|是奇函数 D|f(x)g(x)|是奇函数答案C解析对于A，令h(x)f(x)g(x)，则h(x)f(x)g(x)f(x)g(x)h(x)，h(x)是奇函数，A错误；对于B，令h(x)|f(x)|g(x)，则h(x)|f(x)|g(x)|f(x)|g(x)|f(x)|g(x)h(x)，h(x)是偶函数，B错误；对于C，令h(x)f(x)|g(x)|，则h(x)f(x)|g(x)|f(x)|g(x)|，h(x)是奇函数，C正确；对于D
9、，令h(x)|f(x)g(x)|，则h(x)|f(x)g(x)|f(x)g(x)|f(x)g(x)|h(x)，h(x)为偶函数，D错误3(2018安徽合肥月考)已知函数f(x)x3sinx1(xR)，若f(a)2，则f(a)的值为()A3 B0 C1 D2答案B解析设F(x)f(x)1x3sinx，显然F(x)为奇函数，又F(a)f(a)11，所以F(a)f(a)11，从而f(a)0.故选B.题型 函数的周期性1(2019陕西咸阳模拟)已知奇函数f(x)满足f(1x)f(1x)，则()A函数f(x)是以2为周期的周期函数B函数f(x)是以4为周期的周期函数C函数f(x1)是奇函数D函数f(x2
10、)是偶函数答案B解析根据题意，定义在R上的函数f(x)是奇函数，则满足f(x)f(x)0，即f(x)f(x)，又由f(1x)f(1x)，则f(x2)f1(x1)f1(x1)f(x)f(x)，所以f(x4)f(x2)f(x)，故函数的周期为4.2(2018安徽淮南二模)已知定义在R上的函数f(x)满足f(x2)，当x0,2)时，f(x)xex，则f(2018)_.答案1解析因为定义在R上的函数f(x)满足f(x2)，所以f(x4)f(x)，所以函数f(x)的周期为4.当x0,2)时，f(x)xex，所以f(2018)f(50442)f(2)1.条件探究1举例说明2中的“f(x2)”改为“f(x1
11、)”，其他条件不变，求f(2019)解因为f(x2)，所以f(x4)f(x)故函数f(x)的周期为4.所以f(2019)f(50443)f(3).条件探究2举例说明2中的“e”改为“2”，其他条件不变，求f(1)f(2)f(3)f(2018)的值解因为函数f(x)的周期为4，且f(1)123，f(2)1，f(3)，f(4)1，所以f(1)f(2)f(3)f(2018)504f(1)f(2)f(3)f(4)f(1)f(2)504312692.函数周期性的判定与应用(1)判定：判断函数的周期性只需证明f(xT)f(x)(T0)便可证明函数是周期函数，且周期为T.(2)应用：根据函数的周期性，可以由
12、函数局部的性质得到函数的整体性质，在解决具体问题时，要注意结论：若T是函数的周期，则kT(kZ且k0)也是函数的周期 1(2019温州模拟)已知定义在R上的函数f(x)的最小正周期等于T，则下列函数的最小正周期一定等于的是()Af(2x) BfC2f(x) Df(x2)答案A解析由已知得f(xT)f(x)，所以f(2xT)f(2x)，即ff(2x)，所以函数f(2x)的周期是；ff，即ff，所以函数f的周期是2T；2f(xT)2f(x)，所以函数2f(x)的周期是T.函数f(x2)不一定是周期函数2若f(x)是定义在R上的周期为4的函数，且在0,2上的解析式为f(x)则f_.答案解析因为f(x
13、)的周期为4，则fffcoscos，所以ff.3已知f(x)是R上最小正周期为2的周期函数，且当0x2时，f(x)x3x，则函数yf(x)的图象在区间0,6上与x轴的交点个数为_答案7解析因为当0x2时，f(x)x3x，又f(x)是R上最小正周期为2的周期函数，且f(0)0，则f(6)f(4)f(2)f(0)0.又f(1)0，f(3)f(5)f(1)0，故函数yf(x)的图象在区间0,6上与x轴的交点有7个题型 函数性质的综合应用角度1单调性与奇偶性结合1已知偶函数f(x)在区间0，)上单调递增，则满足f(2x1)f的x的取值范围是()A. B.C. D.答案A解析由于函数f(x)在区间0，)
14、上单调递增，且f(x)为偶函数，则由f(2x1)f得f(|2x1|)f，所以|2x1|，所以2x1，解得x0 B减函数且f(x)0 D增函数且f(x)0答案D解析当x时，x.因为当x时，f(x)log(1x)且f(x)是定义在R上的奇函数，所以f(x)f(x)log (1x)，所以f(x)在上是增函数，当x时，1x，所以log (1x)(0,1，log (1x)1,0)因为ff(x)，所以函数f(x)的周期是，所以f(x)在区间上的图象与在区间上的图象相同，所以f(x)在区间内是增函数且f(x)0.函数性质综合应用问题的常见类型及解题策略(1)函数单调性与奇偶性的综合注意函数单调性及奇偶性的定
15、义，以及奇、偶函数图象的对称性如举例说明1.(2)周期性与奇偶性的综合此类问题多考查求值问题，常利用奇偶性及周期性进行变换，将所求函数值的自变量转化到已知解析式的函数定义域内求解如举例说明2.(3)单调性、奇偶性与周期性的综合解决此类问题通常先利用周期性转化自变量所在的区间，然后利用奇偶性和单调性求解如举例说明3. 1(2017全国卷)函数f(x)在(，)上单调递减，且为奇函数若f(1)1，则满足1f(x2)1的x的取值范围是()A2,2 B1,1C0,4 D1,3答案D解析f(x)为奇函数，f(x)f(x)f(1)1，f(1)f(1)1.故由1f(x2)1，得f(1)f(x2)f(1)又f(
16、x)在(，)上单调递减，1x21，1x3.故选D.2已知定义在R上的奇函数f(x)满足f(x4)f(x)，且在区间0,2上是增函数，则()Af(25)f(11)f(80)Bf(80)f(11)f(25)Cf(11)f(80)f(25)Df(25)f(80)f(11)答案D解析因为f(x4)f(x)，所以f(x8)f(x4)f(x)，所以函数f(x)的周期T8，所以f(25)f(1)，f(11)f(3)f(1)f(1)，f(80)f(0)，又奇函数f(x)在区间0,2上是增函数，所以f(x)在区间2,2上是增函数，所以f(1)f(0)f(1)，所以f(25)f(80)f(11)3已知定义在R上的奇函数f(x)满足ff(x)，f(2)3.数列an的前n项和为Sn，且a11，Sn2ann，则f(a5)f(a6)_.答案3解析f(x)为奇函数，f(x)f(x)，又ff(x)，ff(x)f(3x)fff(x)f(x)f(x)是以3为周期的周期函数数列an满足a11，且Sn2ann，当n2时，Sn12an1n1，则an2an2an11，即an2an11，an12(an11)(n2)，则an122n12n，an12n.上式对n1也成立a531，a663.f(a5)f(a6)f(31)f(63)f(2)f(0)f(2)f(2)3.
