1、第3课时导数的综合应用题型 利用导数求解函数的零点或方程的根的问题1(2018厦门模拟)定义在(0，)上的函数f(x)满足f(x)xf(x)，f(1)0，若关于x的方程|f(x)|a0有3个实根，则a的取值范围是()A. B(0,1)C. D(1，)答案A解析令g(x)xf(x)，则g(x)f(x)xf(x)，g(x)ln xc，即xf(x)ln xc，又f(1)0，c0，可得f(x).则f(x)，可知当x(0，e)时，f(x)0，当x(e，)时，f(x)时，f(x)0，f(x)递增；当x0或0x时，f(x)0，且b0，即b1且b，可得b1，即有ab0，所以2exx2k，令h(x)2exx2，
2、则h(x)2e2x2(ex)，令h(x)0，解得xe，故当x(0，e)时，h(x)0，当xe时，h(x)0，故函数g(x)在0，e上是增函数，g(x)maxg(e)2e31.故选D.2.(2018咸阳二模)已知函数f(x)2ln x(aR，a0)(1)讨论函数f(x)的单调性；(2)若函数f(x)有最小值，记为g(a)，关于a的方程g(a)a1m有三个不同的实数根，求实数m的取值范围解(1)f(x)(x0)，当a0时，f(x)0时，f(x)，知f(x)在(0，)上是递减的，在(，)上是递增的(2)由(1)知，a0，f(x)minf()1ln a，即g(a)1ln a，方程g(a)a1m，即ma
3、ln a(a0)，令F(a)aln a(a0)，则F(a)1，知F(a)在和上是递增的，在上是递减的，F(a)极大Fln 3，F(a)极小Fln 2ln 3，依题意得ln 2ln 3m2.解(1)由f(x)aln xbx3知f(x)，当a0时，函数f(x)的单调增区间是(0,1)，单调减区间是(1，)，当ax20，g(x1)0，g(x2)0，ln x1bx10，ln x2bx20，ln x1ln x2b(x1x2)，ln x1ln x2b(x1x2)，要证ln x1ln x22，即证b(x1x2)2，即，即ln ，设t1，上式转化为ln t，t1.设h(t)ln t，h(t)0，h(t)在(1
4、，)上单调递增，h(t)h(1)0，ln t，ln x1ln x22.条件探究1举例说明1中，若ab1，g(x)f(x)2.求证：对任意x0，总有g(x)0.证明若ab1，则g(x)f(x)2ln xx32xln x1，所以g(x)1.由g(x)0得x1，当x(0,1)时，g(x)0，g(x)单调递增，所以g(x)ming(1)0，所以对任意x0，总有g(x)0.条件探究2利用条件探究1的结论求证：对于任意正整数n，0.令x1，得ln .从而ln ln ln 11.故1恒成立，求实数a的取值范围解(1)f(x)，当a时，x22x2a0，故f(x)0，函数f(x)在(，)上单调递增，当a时，函数
5、f(x)的单调递增区间为(，)，无单调递减区间当a时，令x22x2a0x11，x21，列表如下：由表可知，当a时，函数f(x)的单调递增区间为(，1)和(1，)，单调递减区间为(1，1)(2)f(x)112ax2ex，由条件2ax2ex，对x1成立令g(x)x2ex，h(x)g(x)2xex，h(x)2ex，当x1，)时，h(x)2ex2e0，h(x)g(x)2xex在1，)上单调递减，h(x)2xex2e0，即g(x)1在1，)上恒成立，只需2ag(x)max1e，a，即实数a的取值范围是.角度3不等式存在性成立问题3.已知函数f(x)x(a1)ln x(aR)，g(x)x2exxex.(1
6、)当x1，e时，求f(x)的最小值；(2)当a1时，若存在x1e，e2，使得对任意的x22,0，f(x1)g(x2)恒成立，求a的取值范围解(1)f(x)的定义域为(0，)，f(x).当a1时，x1，e，f(x)0，f(x)为增函数，f(x)minf(1)1a.当1ae时，x1，a时，f(x)0，f(x)为减函数；xa，e时，f(x)0，f(x)为增函数所以f(x)minf(a)a(a1)ln a1.当ae时，x1，e时，f(x)0，f(x)在1，e上为减函数f(x)minf(e)e(a1).综上，当a1时，f(x)min1a；当1ae时，f(x)mina(a1)ln a1；当ae时，f(x)
7、mine(a1).(2)由题意知f(x)(xe，e2)的最小值小于g(x)(x2,0)的最小值由(1)知当a1时，f(x)在e，e2上单调递增，f(x)minf(e)e(a1).g(x)(1ex)x.当x2,0时，g(x)0，g(x)为减函数g(x)ming(0)1.所以e(a1)，所以a的取值范围为.1.利用导数证明不等式成立问题的常用方法(1)直接将不等式转化成某个函数最值问题若证明f(x)g(x)，x(a，b)，可以构造函数F(x)f(x)g(x)，如果F(x)0，则F(x)在(a，b)上是减函数，同时若F(a)0，由减函数的定义可知，x(a，b)时，有F(x)0，即证明了f(x)g(x
8、)恒成立F(x)min0.(4)任意x1M，任意x2N，f(x1)g(x2)f(x1)ming(x2)max；任意x1M，存在x2N，f(x1)g(x2)f(x1)ming(x2)min；存在x1M，存在x2N，f(x1)g(x2)f(x1)maxg(x2)min；存在x1M，任意x2N，f(x1)g(x2)f(x1)maxg(x2)max.1.(2019渭南模拟)设函数f(x)(xa)2(3ln x3a)2，若存在x0，使f(x0)，则实数a的值为()A. B. C. D1答案A解析分别令g(x)3ln x，h(x)3x，设过点P(x0,3ln x0)的函数g(x)的切线l平行于直线y3x.
9、g(x)，由3，解得x01.切点P(1,0)点P到直线y3x的距离d .存在x01，使f(x0)，过点P且与直线y3x垂直的直线方程为y(x1)联立解得x，y.则实数a.故选A.2.(2018兰州双基测试)定义在实数集上的函数f(x)x2x，g(x)x32xm.(1)求函数f(x)的图象在x1处的切线方程；(2)若f(x)g(x)对任意的x4,4恒成立，求实数m的取值范围解(1)f(x)x2x，f(1)2.f(x)2x1，f(1)3.所求切线方程为y23(x1)，即3xy10.(2)令h(x)g(x)f(x)x3x23xm，则h(x)(x3)(x1)当4x1时，h(x)0；当1x3时，h(x)
10、0；当30.要使f(x)g(x)恒成立，即h(x)max0，由上知h(x)的最大值在x1或x4处取得，而h(1)m，h(4)m，h(x)的最大值为m，m0，即m.实数m的取值范围为.3.(2018乐山模拟)已知函数f(x)x2(a2)xaln x(aR) (1)求函数yf(x)的单调区间；(2)当a1时，证明：对任意的x0，f(x)exx2x2.解(1)函数f(x)的定义域是(0，)，f(x)2x(a2)，当a0时，f(x)0对任意x(0，)恒成立，所以，函数f(x)在区间(0，)上单调递增；当a0时，由f(x)0得x，由f(x)0，得0xx2x2，只需证明exln x20，设g(x)exln
11、 x2，则问题转化为证明对任意的x0，g(x)0，令g(x)ex0，得ex，容易知道该方程有唯一解，不妨设为x0，则x0满足ex0，当x变化时，g(x)和g(x)变化情况如下表：g(x)ming(x0)e x0ln x02x02，因为x00，且x01，所以g(x)min220，因此不等式得证.题型 利用导数求解生活中的优化问题(2018徐州模拟)如图1是一个仿古的首饰盒，其横截面是由一个半径为r分米的半圆，及矩形ABCD组成，其中AD长为a分米，如图2为了美观，要求ra2r.已知该首饰盒的长为4r分米，容积为4立方分米(不计厚度)，假设该首饰盒的制作费用只与其表面积有关，下半部分(箱体)的制作
12、费用为每平方分米1百元，上半部分(箱盖)制作费用为每平方分米2百元，设该首饰盒的制作费用为y百元(1)写出y关于r的函数表达式，并求该函数的定义域；(2)当r为何值时，该首饰盒的制作费用最低？解(1)由题意可知，44r2r38ar2，所以a.又因为ra2r，得 r .所以y4r(2a2r)4ar2(r4rr2)12ar8r210r212r8r210r2(87)r2，定义域为.(2)令f(r)(87)r2，所以f(r)(1614)r，令f(r)0，即(1614)r，解之得r，当r 时，f(r)0，函数yf(r)为增函数；当r 时，f(r)0，函数yf(r)为减函数又因为 r ，所以函数yf(r)
13、在上为增函数，所以当r时，首饰盒制作费用最低答：当r时，该首饰的盒制作费用最低.1.利用导数解决生活中的实际应用问题的四步骤2利用导数解决生活中优化问题的方法求实际问题中的最大值或最小值时，一般是先设自变量、因变量，建立函数关系式，并确定其定义域，然后利用求函数最值的方法求解，注意结果应与实际情况相结合.某商场销售某种商品的经验表明，该商品每日的销售量y(单位：千克)与销售价格x(单位：元/千克)满足关系式y10(x6)2，其中3x6，a为常数已知销售价格为5元/千克时，每日可售出该商品11千克(1)求a的值；(2)若该商品的成本为3元/千克，试确定销售价格x的值，使商场每日销售该商品所获得的利润最大解(1)因为当x5时，y11，所以1011，解得a2.(2)由(1)可知，该商品每日的销售量为y10(x6)2.所以商场每日销售该商品所获得的利润为f(x)(x3)210(x3)(x6)2,3x6.则f(x)10(x6)22(x3)(x6)30(x4)(x6)于是，当x变化时，f(x)，f(x)的变化情况如下表：由上表可得，当x4时，函数f(x)取得极大值，也是最大值所以当x4时，函数f(x)取得最大值且最大值等于42.答：当销售价格为4元/千克时，商场每日销售该商品所获得的利润最大