1、基础诊断考点突破课堂总结第4讲 二次函数与幂函数 基础诊断考点突破课堂总结考试要求 1.二次函数的图象与性质及应用，B 级要求；2.幂函数的概念，函数 yx，yx2，yx3，y1x，yx的图象与性质，A 级要求基础诊断考点突破课堂总结知 识 梳 理1二次函数(1)二次函数解析式的三种形式 一般式：f(x)顶点式：f(x)a(xm)2n(a0)零点式：f(x)a(xx1)(xx2)(a0)ax2bxc(a0)基础诊断考点突破课堂总结(2)二次函数的图象和性质解析式f(x)ax2bxc(a0)f(x)ax2bxc(a0)图象基础诊断考点突破课堂总结续表定义域(，)(，)值域 单调性在 x，b2a
2、上单调递减；在 x 上单调递增在 x 上单调递增；在 x b2a，上单调递减对称性函数的图象关于 x b2a对称4acb24a，4acb24a b2a，b2a基础诊断考点突破课堂总结2.幂函数(1)幂函数的定义一般地，形如的函数称为幂函数，其中x是自变量，为常数yx(2)常见的5种幂函数的图象基础诊断考点突破课堂总结(3)常见的5种幂函数的性质函数特征性质yxyx2yx3yx1定义域RRRx|xR，且x0值域R0，)R奇偶性奇偶奇非奇非偶奇单调性增(，0减，0，)增增增(，0)减，(0，)减定点(0,0)，(1,1)(1,1)yx0，)0，)y|yR，且y0基础诊断考点突破课堂总结诊 断 自
3、测 1思考辨析(在括号内打“”或“”)(1)幂函数的图象都经过点(1,1)和(0,0)()(2)幂函数的图象不经过第四象限()(3)二次函数 yax2bxc，xR，不可能是偶函数()(4)二次函数 yax2bxc，xa，b的最值一定是4acb24a.()基础诊断考点突破课堂总结2(2015湛江二模)若关于 x 的方程 x2mx140 有两个不相等的实数根，则实数 m 的取值范围是_解析 因为关于 x 的方程 x2mx140 有两个不相等的实数根，所以 m241410，即 m21，解得 m1 或 m1.答案(，1)(1，)基础诊断考点突破课堂总结3.3aa6(6a3)的最大值为_解析 因为 3a
4、a6 183aa2a322814，由于6a3，所以当 a32时，3aa6有最大值92.答案 92基础诊断考点突破课堂总结4已知幂函数 f(x)x 的图象经过点2，22，则 f(4)_.解析 f(2)2 22，12，即 f(x)x，f(4)4 12.答案 12基础诊断考点突破课堂总结5(2014苏州调研)已知二次函数yx22ax1在区间(2,3)内是单调函数，则实数a的取值范围是_解析 由于二次函数的图象开口向上，对称轴为xa，若使其在区间(2,3)内是单调函数，则需所给区间在对称轴的同一侧，即a2或a3.答案(，23，)基础诊断考点突破课堂总结考点一 幂函数的图象和性质【例 1】(1)(201
5、4无锡质检)已知点33，3 在幂函数 f(x)的图象上，则 f(x)_.(2)1.1，0.9，1 的大小关系为_基础诊断考点突破课堂总结解析(1)设 f(x)x，由已知得33 3，解得 1，因此f(x)x1.(2)把 1 看作 1，幂函数 yx 在(0，)上是增函数00.911.1，0.9 1 1.1.即 0.9 11.1.答案(1)x1(2)0.9 11.1基础诊断考点突破课堂总结规律方法(1)幂函数解析式一定要设为yx(为常数)的形式(2)可以借助幂函数的图象理解函数的对称性、单调性(3)在比较幂值的大小时，必须结合幂值的特点，选择适当的函数，借助其单调性进行比较，准确掌握各个幂函数的图象
6、和性质是解题的关键基础诊断考点突破课堂总结【训练 1】(1)已知幂函数 f(x)(t2t1)x(tN)是偶函数，则实数 t 的值为_(2)(2014潍坊模拟)当 0 x1 时，函数 f(x)x1.1，g(x)x0.9，h(x)x2 的大小关系是_解析(1)因为函数为幂函数，所以 t2t11，即 t2t0，所以 t0 或 t1.当 t0 时，函数为 f(x)x 为奇函数，不满足条件当 t1 时，f(x)x 为偶函数，所以 t1.(2)如图所示为函数 f(x)，g(x)，h(x)在(0,1)上的图象，由此可知，h(x)g(x)f(x)答案(1)1(2)h(x)g(x)f(x)基础诊断考点突破课堂总
7、结考点二 二次函数的图象及应用 【例2】(1)设abc0，二次函数f(x)ax2bxc的图象可能是_(填序号)(2)已知函数f(x)x22(a2)xa2，g(x)x22(a2)xa2 8.设 H1(x)maxf(x)，g(x)，H2(x)minf(x)，g(x)(maxp，q表示p，q中的较大值，minp，q表示p，q中的较小值)记H1(x)的最小值为A，H2(x)的最大值为B，则AB_.基础诊断考点突破课堂总结解析(1)由知，f(0)c0.abc0，ab0，对称轴 x b2a0，知，错误，符合要求由知 f(0)c0，ab0，x b2a0，错误基础诊断考点突破课堂总结(2)令f(x)g(x)，
8、即x22(a2)xa2x22(a2)xa28，即x22axa240，解得xa2或xa2.f(x)与g(x)的图象如图由图象及H1(x)的定义知H1(x)的最小值是f(a2)，H2(x)的最大值为g(a2)，ABf(a2)g(a2)(a2)22(a2)2a2(a2)22(a2)(a2)a2816.答案(1)(2)16 基础诊断考点突破课堂总结规律方法(1)识别二次函数的图象主要从开口方向、对称轴、特殊点对应的函数值这几个方面入手(2)而用数形结合法解决与二次函数图象有关的问题时，要尽量规范作图，尤其是图象的开口方向、顶点、对称轴及与两坐标的交点要标清楚，这样在解题时才不易出错基础诊断考点突破课堂
9、总结【训练2】(2014杭州模拟)如图是二次函数yax2bxc图象的一部分，图象过点A(3,0)，对称轴为x1.给出下面四个结论：b24ac；2ab1；abc0；5ab.其中正确的是_(填序号)基础诊断考点突破课堂总结解析 因为图象与 x 轴交于两点，所以 b24ac0，即 b24ac，正确；对称轴为 x1，即 b2a1,2ab0，错误；结合图象，当 x1 时，y0，即 abc0，错误；由对称轴为 x1 知，b2a.又函数图象开口向下，所以 a0，所以 5a2a，即 5ab，正确答案 基础诊断考点突破课堂总结考点三 二次函数在给定区间上的最值问题【例3】已知f(x)ax22x(0 x1)，求f
10、(x)的最小值深度思考 本题是对称轴动而区间不动，你应该考虑对称轴 x1a与区间0,1的位置关系，结合图形分析确定分类讨论的标准解 当 a0 时，f(x)2x 在0,1上递减，f(x)minf(1)2.基础诊断考点突破课堂总结当 a0 时，f(x)ax22x 的图象的开口方向向上，且对称轴为x1a.当1a1，即 a1 时，f(x)ax22x 的图象的对称轴在0,1内，f(x)在0，1a 上递减，在1a，1 上递增f(x)minf1a 1a2a1a.当1a1，即 0a1 时，f(x)ax22x 的图象的对称轴在0,1的右侧，f(x)在0,1上递减f(x)minf(1)a2.基础诊断考点突破课堂总
11、结当 a0 时，f(x)ax22x 的图象的开口方向向下，且对称轴 x1a0，在 y 轴的左侧，f(x)ax22x 在0,1上递减f(x)minf(1)a2.综上所述，f(x)mina2，a1，1a，a1.基础诊断考点突破课堂总结规律方法(1)二次函数在闭区间上的最值主要有三种类型：轴定区间定、轴动区间定、轴定区间动，不论哪种类型，解决的关键是考查对称轴与区间的关系，当含有参数时，要依据对称轴与区间的关系进行分类讨论(2)二次函数的单调性问题则主要依据二次函数图象的对称轴进行分析讨论求解基础诊断考点突破课堂总结【训练3】若将例3中的函数改为f(x)x22ax，其他不变，应如何求解？解 f(x)
12、x22ax(xa)2a2，对称轴为 xa.当 a0 时，f(x)在0,1上是增函数，f(x)minf(0)0.当 0a1 时，f(x)minf(a)a2.当 a1 时，f(x)在0,1上是减函数，f(x)minf(1)12a，综上所述，f(x)min0，a0，a2，0a1，12a，a1.基础诊断考点突破课堂总结思想方法1幂函数yx(R)图象的特征0时，图象过原点和(1,1)点，在第一象限的部分“上升”；0时，图象不过原点，经过(1,1)点在第一象限的部分“下降”，反之也成立基础诊断考点突破课堂总结2二次函数、二次方程、二次不等式间相互转化的一般规律(1)在研究一元二次方程根的分布问题时，常借助于二次函数的图象数形结合来解，一般从：开口方向；对称轴位置；判别式；端点函数值符号四个方面分析(2)在研究一元二次不等式的有关问题时，一般需借助于二次函数的图象和性质求解基础诊断考点突破课堂总结易错防范1幂函数的图象一定会出现在第一象限内，一定不会出现在第四象限，至于是否出现在第二、三象限内，要看函数的奇偶性；幂函数的图象最多只能同时出现在两个象限内；如果幂函数图象与坐标轴相交，则交点一定是原点2对于函数yax2bxc，要认为它是二次函数，就必须满足a0，当题目条件中未说明a0时，就要讨论a0和a0两种情况.
