1、基础诊断考点突破课堂总结第1讲 函数的概念及其表示基础诊断考点突破课堂总结考试要求 1.映射、函数的概念，求简单函数的定义域和值域，B级要求；2.选择恰当的方法(如图象法、列表法、解析法)表示函数，B级要求；3.简单的分段函数及应用，A级要求基础诊断考点突破课堂总结知 识 梳 理1函数的基本概念(1)函数的定义设A，B是两个非空的，如果按某种对应法则f，对于集合A中的每一个元素x，在集合B中都有元素y和它对应，那么这样的对应叫做从A到B的一个函数，记作.唯一yf(x)，xA 数集基础诊断考点突破课堂总结(2)函数的定义域、值域在函数yf(x)，xA中，其中所有的输入值x组成的集合A称为函数yf
2、(x)的；将所有输出值y组成的集合叫做函数的(3)函数的三要素：、和(4)函数的表示法表示函数的常用方法有、和定义域值域定义域对应法则值域解析法图象法列表法基础诊断考点突破课堂总结(5)分段函数在函数的定义域内，对于自变量x的不同取值区间，有着不同的，这种函数称为分段函数分段函数是一个函数，分段函数的定义域是各段定义域的，值域是各段值域的2映射的概念设A，B是两个非空集合，如果按某种对应法则f，对于A中的每一个元素，在B中都有的元素与之对应，那么这样的单值对应叫做从集合A到集合B的一个对应法则并集并集唯一映射基础诊断考点突破课堂总结3函数定义域的求法类型x 满足的条件2n fx，nN*f(x)
3、01fx与f(x)0logaf(x)四则运算组成的函数各个函数定义域的交集实际问题使实际问题有意义f(x)0 f(x)0 基础诊断考点突破课堂总结诊 断 自 测1思考辨析(在括号内打“”或“”)(1)f(x)与g(x)x是同一个函数()(2)若两个函数的定义域与值域相同，则这两个函数相等()(3)函数是特殊的映射()(4)分段函数是由两个或几个函数组成的()基础诊断考点突破课堂总结2给出下列函数：f(x)|x|；f(x)x|x|；f(x)x1；f(x)x.其中满足f(2x)2f(x)的是_(填序号)解析 将f(2x)表示出来，看与2f(x)是否相等对于，f(2x)|2x|2|x|2f(x)；对
4、于，f(2x)2x|2x|2(x|x|)2f(x)；对于，f(2x)2x12f(x)；对于，f(2x)2x2f(x)，故只有不满足f(2x)2f(x)答案 基础诊断考点突破课堂总结3(2014山东卷改编)函数 f(x)1log2x1的定义域为_解析 由题意知log2x10，x0，解得 x2.答案(2，)基础诊断考点突破课堂总结4已知f(2x1)3x4，f(a)4，则a_.解析 令 2x1a，则 xa12，则 f(2x1)3x4 可化为 f(a)3a124，因为 f(a)4，所以3a1244，解得 a193.答案 193基础诊断考点突破课堂总结5(苏教版必修 1P52T6 改编)设 f(x)1，
5、x0，0，x0，1，x0，g(x)1，x为有理数，0，x为无理数，则 f(g()的值为_解析 g()0，f(g()f(0)0.答案 0基础诊断考点突破课堂总结考点一 求函数的定义域 【例 1】(1)(2015苏北四市模拟)函数 f(x)12x1x3的定义域为_(2)函数 f(x)lgx1x1 的定义域是_基础诊断考点突破课堂总结解析(1)由题意知12x0，x30，解得3x0，所以函数 f(x)的定义域为(3,0(2)要使函数 f(x)lgx1x1 有意义，需满足 x10 且 x10，得x1 且 x1.答案(1)(3,0(2)(1,1)(1，)基础诊断考点突破课堂总结规律方法(1)给出解析式的函
6、数的定义域是使解析式中各个部分都有意义的自变量的取值集合，在求解时，要把各个部分自变量的限制条件列成一个不等式(组)，这个不等式(组)的解集就是这个函数的定义域，函数的定义域要写成集合或者区间的形式(2)对于实际问题中求得的函数解析式，在确定定义域时，除了要考虑函数解析式有意义外，还要使实际问题有意义基础诊断考点突破课堂总结【训练 1】(1)函数 f(x)1log2x2的定义域为_(2)函数 f(x)ln11x 1x2的定义域为_解析(1)由题意知log2x20，x20，解得x3，x2，所以函数f(x)的定义域为(2,3)(3，)(2)由条件知11x0，x0，1x20 x1或x0，x0，1x1
7、x(0,1答案(1)(2,3)(3，)(2)(0,1 基础诊断考点突破课堂总结考点二 求函数的解析式 【例 2】(1)如果 f 1x x1x，则当 x0 且 x1 时，f(x)_.(2)已知 f(x)是一次函数，且满足 3f(x1)2f(x1)2x17，则 f(x)_.(3)已知 f(x)满足 2f(x)f 1x 3x，则 f(x)_.解析(1)令 t1x，得 x1t，f(t)1t11t 1t1，f(x)1x1.基础诊断考点突破课堂总结(2)设 f(x)axb(a0)，则 3f(x1)2f(x1)3ax3a3b2ax2a2bax5ab，即 ax5ab2x17 不论 x 为何值都成立，a2，b5
8、a17，解得a2，b7，f(x)2x7.基础诊断考点突破课堂总结(3)2f(x)f 1x 3x，把中的 x 换成1x，得2f 1x f(x)3x.2得 3f(x)6x3x，f(x)2x1x(x0)答案(1)1x1(2)2x7(3)2x1x(x0)基础诊断考点突破课堂总结规律方法 求函数解析式的常用方法：(1)待定系数法，若已知函数的类型(如一次函数、二次函数)，可用待定系数法；(2)换元法，已知复合函数 f(g(x)的解析式，可用换元法，此时要注意新元的取值范围；(3)配凑法，由已知条件 f(g(x)F(x)，可将 F(x)改写成关于 g(x)的表达式，然后以 x 替代 g(x)，便得 f(x
9、)的解析式；(4)方程法，已知关于 f(x)与 f1x 或 f(x)的表达式，可根据已知条件再构造出另外一个等式组成方程组，通过解方程组求出 f(x)基础诊断考点突破课堂总结【训练 2】(1)已知 f x1x x21x2，则 f(x)_.(2)已知函数 f(x)的定义域为(0，)，且 f(x)2f 1x x1，则 f(x)_.解析(1)f x1x x21x2x1x22，且 x1x2 或 x1x2，f(x)x22(x2 或 x2)基础诊断考点突破课堂总结(2)在 f(x)2f 1xx1 中，用1x代替 x，得 f 1x 2f(x)1x1，将 f 1x 2fxx 1 代入 f(x)2f 1xx1
10、中，可求得 f(x)23 x13.答案(1)x22(x2 或 x2)(2)23 x13基础诊断考点突破课堂总结考点三 分段函数【例 3】(1)(2014苏、锡、常、镇模拟)定义在 R 上的函数 f(x)满足 f(x)log28x，x0，fx1fx2，x0，则 f(3)的值为_(2)(2014新课标全国卷)设函数 f(x)ex1，x1，x，x1，则使得f(x)2 成立的 x 的取值范围是_基础诊断考点突破课堂总结解析(1)f(3)f(2)f(1)f(1)f(0)f(1)f(0)log283.(2)当 x1 时，ex12 成立，解得 x1ln 2，x1.当 x1 时，x 2，解得 x8，1x8.综
11、上可知 x(，8答案(1)3(2)(，8 基础诊断考点突破课堂总结规律方法(1)求分段函数的函数值，要先确定要求值的自变量属于哪一段区间，然后代入该段的解析式求值，当出现f(f(a)的形式时，应从内到外依次求值(2)求某条件下自变量的值，先假设所求的值在分段函数定义区间的各段上，然后求出相应自变量的值，切记代入检验，看所求的自变量的值是否满足相应段自变量的取值范围基础诊断考点突破课堂总结【训练 3】(2014浙江卷)设函数 f(x)x22x2，x0，x2，x0.若f(f(a)2，则 a_.解析 当 a0 时，f(a)a20，f(f(a)a42a222，解得 a2(a0 与 a 2舍去)当 a0
12、 时，f(a)a22a2(a1)210，f(f(a)(a22a2)22，此方程无解答案 2基础诊断考点突破课堂总结微型专题 抽象函数的定义域问题抽象函数是指没有明确给出具体解析式的函数，其有关问题对同学们来说具有一定难度，特别是求其定义域时，许多同学解答起来总感觉棘手，在高考中一般不会单独考查，但从提升能力方面考虑，还应有所涉及基础诊断考点突破课堂总结【例 4】若函数 yf(x)的定义域是1,2 015，则函数 g(x)fx1x1的定义域是_点拨 先利用换元法求出函数f(x1)的定义域，则函数g(x)的定义域为f(x1)的定义域与不等式x10的解集的交集 基础诊断考点突破课堂总结解析 要使函数
13、 f(x1)有意义，则有 1x12 015，解得0 x2 014，故函数 f(x1)的定义域为0,2 014所以使函数 g(x)有意义的条件是0 x2 014，x10，解得 0 x1 或1x2 014.故函数 g(x)的定义域为0,1)(1,2 014答案 0,1)(1,2 014 基础诊断考点突破课堂总结点评 函数的定义域是函数解析式中自变量的取值范围，即f(x)与f(g(x)的定义域都是自变量x的取值范围，常见有如下两种类型：(1)已知函数f(x)的定义域为D，则函数f(g(x)的定义域就是不等式g(x)D的解集；(2)已知函数f(g(x)的定义域为D，则函数f(x)的定义域就是函数yg(
14、x)(xD)的值域.基础诊断考点突破课堂总结思想方法1在判断两个函数是否为同一函数时，要紧扣两点：一是定义域是否相同；二是对应法则是否相同2函数的定义域是函数的灵魂，它决定了函数的值域，并且它是研究函数性质和图象的基础因此，我们一定要树立函数定义域优先意识3函数解析式的几种常用求法：待定系数法、换元法、配凑法、方程法基础诊断考点突破课堂总结易错防范1求函数的解析式时要充分根据题目的类型选取相应的方法，同时要注意函数的定义域，如已知 f(x)x1，求函数 f(x)的解析式时，通过换元的方法可得 f(x)x21，这个函数的定义域是0，)，而不是(，)2求分段函数应注意的问题：在求分段函数的值 f(x0)时，首先要判断 x0 属于定义域的哪个子集，然后再代入相应的关系式；分段函数的值域应是其定义域内不同子集上各关系式的取值范围的并集.