1、第二讲空间中的平行与垂直研热点（聚焦突破）类型一 空间线线、线面位置关系1线面平行的判定定理：a，b，aba.2线面平行的性质定理：a，a，bab.3线面垂直的判定定理：m，n，mnP，lm，lnl.4线面垂直的性质定理：a，b ab.例1(2012年高考山东卷)在如图所示的几何体中，四边形ABCD是等腰梯形，ABCD，DAB60，FC平面ABCD，AEBD，CBCDCF.(1)求证：BD平面AED；(2)求二面角FBDC的余弦值解析(1)证明：因为四边形ABCD是等腰梯形，ABCD，DAB60，所以ADCBCD120.又CBCD，所以CDB30，因此ADB90，即ADBD.又AEBD，且AE
2、ADA，AE，AD平面AED，所以BD平面AED.(2)解法一由(1)知ADBD，所以ACBC.又FC平面ABCD，因此CA，CB，CF两两垂直以C为坐标原点，分别以CA，CB，CF所在的直线为x轴，y轴，z轴，建立如图(1)所示的空间直角坐标系不妨设CB1，则C(0，0，0)，B(0，1，0)，D(，0)，F(0，0，1)(1)因此(，0)，(0，1，1)设平面BDF的一个法向量为m(x，y，z)，则m0，m0，所以xyz，取z1，则m(，1，1)由于(0，0，1)是平面BDC的一个法向量，则cosm，所以二面角FBDC的余弦值为.解法二如图(2)，取BD的中点G，连接CG，FG，由于CBC
3、D，因此CGBD.又FC平面ABCD，BD平面ABCD，所以FCBD.由于FCCGC，FC，CG平面FCG，所以BD平面FCG，故BDFG，所以FGC为二面角FBDC的平面角(2)在等腰三角形BCD中，由于BCD120，因此CGCB.又CBCF，所以CFCG，故cosFGC，因此二面角FBDC的余弦值为.跟踪训练(2012年济南摸底)如图，在正三棱柱ABCA1B1C1中，底面ABC为正三角形，M、N、G分别是棱CC1、AB、BC的中点且CC1AC.(1)求证：CN平面AMB1；(2)求证：B1M平面AMG.证明：(1)设线段AB1的中点为P，连接NP、MP，CMAA1，NPAA1，CMNP，四
4、边形CNPM是平行四边形，CNMP，CN平面AMB1，MP平面AMB1，CN平面AMB1.(2)CC1平面ABC，平面CC1B1B平面ABC，AGBC，AG平面CC1B1B，B1MAG.CC1平面ABC，平面A1B1C1平面ABC，CC1AC，CC1B1C1，设AC2a，则CC12a，在RtMCA中，AM a，在RtB1C1M中，B1M a.BB1CC1，BB1平面ABC，BB1AB，AB12a，注意到AM2B1M2AB，B1MAM，类型二 空间面面位置关系1面面垂直的判定定理：a，a.2面面垂直的性质定理：，l，a，al .3面面平行的判定定理：a，b，abA，a，b.4面面平行的性质定理：
5、，a，bb.5面面平行的证明还有其它方法(2)例2(2012年高考江苏卷)如图，在直三棱柱ABC-A1B1C1中，A1B1A1C1，D，E分别是棱BC，CC1上的点(点D不同于点C)，且ADDE，F为B1C1的中点求证：(1)平面ADE平面BCC1B1；(2)直线A1F平面ADE.证明(1)因为ABCA1B1C1是直三棱柱，所以CC1平面ABC.又AD平面ABC，所以CC1AD.又因为ADDE，CC1，DE平面BCC1B1，CC1DEE，所以AD平面BCC1B1.又AD平面ADE，所以平面ADE平面BCC1B1.(2)因为A1B1A1C1，F为B1C1的中点，所以A1FB1C1.因为CC1平面
6、A1B1C1，且A1F平面A1B1C1，所以CC1A1F.又因为CC1，B1C1平面BCC1B1，CC1B1C1C1，所以A1F平面BCC1B1.由(1)知AD平面BCC1B1，所以A1FAD.又AD平面ADE，A1F平面ADE，所以A1F平面ADE.跟踪训练(2012年大同模拟)如图，菱形ABCD的边长为6，BAD60，ACBDO.将菱形ABCD沿对角线AC折起，得到三棱锥，点M是棱BC的中点，DM3.(1)求证：平面ABC平面MDO；(2)求三棱锥M-ABD的体积解析：(1)证明：由题意得OMOD3，因为DM3，所以DOM90，ODOM.又因为四边形ABCD为菱形，所以ODAC.因为OMA
7、CO，所以OD平面ABC，因为OD平面MDO，所以平面ABC平面MDO.(2)三棱锥MABD的体积等于三棱锥DABM的体积由(1)知，OD平面ABC，所以OD为三棱锥DABM的高又ABM的面积为BABMsin 12063，所以M-ABD的体积等于SABMOD.类型三 折叠中的位置关系将平面图形沿其中一条或几条线段折起，使其成为空间图形，这类问题称之为平面图形翻折问题平面图形经过翻折成为空间图形后，原有的性质有的发生了变化、有的没有发生变化，弄清它们是解决问题的关键一般地，翻折后还在同一个平面上的性质不发生变化，不在同一个平面上的性质发生变化例3(2012年高考浙江卷)已知矩形ABCD，AB1，
8、BC，将ABD沿矩形的对角线BD所在的直线进行翻折，在翻折过程中()A存在某个位置，使得直线AC与直线BD垂直B存在某个位置，使得直线AB与直线CD垂直C存在某个位置，使得直线AD与直线BC垂直D对任意位置，三对直线“AC与BD”，“AB与CD”，“AD与BC”均不垂直解析找出图形在翻折过程中变化的量与不变的量对于选项A，过点A作AEBD，垂足为E，过点C作CFBD，垂足为F，在图(1)中，由边AB，BC不相等可知点E，F不重合在图(2)中，连接CE，若直线AC与直线BD垂直，又ACAEA，BD面ACE，BDCE，与点E，F不重合相矛盾，故A错误对于选项B，若ABCD，又ABAD，ADCDD，
9、AB面ADC，ABAC，由ABAB，不存在这样的直角三角形C错误由上可知D错误，故选B.答案B跟踪训练如图1，直角梯形ABCD中，ADBC，ABC90，E，F分别为边AD和BC上的点，且EFAB，AD2AE2AB4FC4.将四边形EFCD沿EF折起成如图2的形状，使ADAE.(1)求证：BC平面DAE；(2)求四棱锥DAEFB的体积解析：(1)证明：BFAE，CFDE，BFCFF，AEDEE.平面CBF平面DAE，又BC平面CBF，BC平面DAE.(2)取AE的中点H，连接DH.EFDE，EFEA，EF平面DAE.又DH平面DAE，EFDH.AEDEAD2，DHAE，DH.DH平面AEFB.四
10、棱锥DAEFB的体积V22.析典题（预测高考）高考真题【真题】(2012年高考陕西卷)(1)如图所示，证明命题“a是平面内的一条直线，b是外的一条直线(b不垂直于)，c是直线b在上的投影，若ab，则ac”为真；(2)写出上述命题的逆命题，并判断其真假(不需证明)【解析】(1)证明：证法一如图(1)，过直线b上任一点作平面的垂线n，设直线a，b，c，n的方向向量分别是a，b，c，n，则b，c，n共面根据平面向量基本定理，存在实数，使得cbn，则aca(bn)(ab)(an)因为ab，所以ab0.又因为a，n，所以an0.故ac0，从而ac.证法二如图(2)，记cbA，P为直线b上异于点A的任意一
11、点，过P作PO，垂足为O，则Oc.因为PO，a，所以直线POa.又ab，b平面PAO，PObP，所以a平面PAO.又c平面PAO，所以ac.(2)逆命题为：a是平面内的一条直线，b是外的一条直线(b不垂直于)，c是直线b在上的投影，若ac，则ab.逆命题为真命题【名师点睛】本题实际上考查了三垂线定理逆定理的证明，命题创意新颖，改变了多数高考命题以空间几何体为载体考查线面位置关系的证明着重考查推理论证能力考情展望名师押题【押题】一个空间几何体的三视图及部分数据如图所示，其正视图、俯视图均为矩形，侧视图为直角三角形(1)请画出该几何体的直观图，并求出它的体积；(2)证明：A1C平面AB1C1；(3
12、)若D是棱CC1的中点，E是棱AB的中点，判断DE是否平行于平面AB1C1，并证明你的结论【解析】(1)几何体的直观图如图所示，四边形BB1C1C是矩形，BB1CC1，BCB1C11，四边形AA1C1C是边长为的正方形，且平面AA1C1C垂直于底面BB1C1C，故该几何体是直三棱柱，其体积VSABCBB11.(2)证明：由(1)知平面AA1C1C平面BB1C1C且B1C1CC1，所以B1C1平面ACC1A1，所以B1C1A1C.因为四边形ACC1A1为正方形，所以A1CAC1，而B1C1AC1C1，所以A1C平面AB1C1.(3)DE平面AB1C1，证明如下：如图，取BB1的中点F，连接EF，DF，DE.因为D，E，F分别为CC1，AB，BB1的中点，所以EFAB1，DFB1C1.又AB1平面AB1C1，EF平面AB1C1，所以EF平面AB1C1.同理，DF平面AB1C1，又EFDFF，则平面DEF平面AB1C1.而DE平面DEF，所以DE平面AB1C1.