1、第2讲空间中的平行与垂直1(2016课标全国甲)，是两个平面，m，n是两条直线，有下列四个命题：如果mn，m，n，那么.如果m，n，那么mn.如果，m，那么m.如果mn，那么m与所成的角和n与所成的角相等其中正确的命题有_(填写所有正确命题的编号)答案解析当mn，m，n时，两个平面的位置关系不确定，故错误，经判断知均正确，故正确答案为.2(2016江苏)如图，在直三棱柱ABCA-1B1C1中，D，E分别为AB，BC的中点，点F在侧棱B1B上，且B1DA1F，A1C1A1B1.求证：(1)直线DE平面A1C1F；(2)平面B1DE平面A1C1F.证明(1)由已知，DE为ABC的中位线，DEAC，
2、又由三棱柱的性质可得ACA1C1，DEA1C1，且DE平面A1C1F，A1C1平面A1C1F，DE平面A1C1F.(2)在直三棱柱ABCA1B1C1中，AA1平面A1B1C1，AA1A1C1，又A1B1A1C1，且A1B1AA1A1，A1C1平面ABB1A1，B1D平面ABB1A1，A1C1B1D，又A1FB1D，且A1FA1C1A1，B1D平面A1C1F，又B1D平面B1DE，平面B1DE平面A1C1F.1.以填空题的形式考查，主要利用平面的基本性质及线线、线面和面面的判定与性质定理对命题的真假进行判断，属基础题.2.以解答题的形式考查，主要是对线线、线面与面面平行和垂直关系交汇综合命题，且
3、多以棱柱、棱锥、棱台或其简单组合体为载体进行考查，难度中等.热点一空间线面位置关系的判定空间线面位置关系判断的常用方法(1)根据空间线面平行、垂直关系的判定定理和性质定理逐项判断来解决问题；(2)必要时可以借助空间几何模型，如从长方体、四面体等模型中观察线面位置关系，并结合有关定理来进行判断例1(1)已知l是直线，、是两个不同的平面，下列命题中的真命题是_(填所有真命题的序号) 若l，l，则；若，l，则l；若l，则l；若l，l，则 .(2)关于空间两条直线a、b和平面，给出以下四个命题，其中正确的是_若ab，b，则a；若a，b，则ab；若a，b，则ab；若a，b，则ab.答案(1)(2)解析(
4、1)若l，l，则l可平行两平面的交线，所以为假命题；若，l，则l可平行两平面的交线，所以为假命题；若l，则l可在平面内，所以为假命题；若l，l，则l必平行平面内一直线m，所以m，因而为真命题(2)线面平行的判定定理中的条件要求a，故错；对于线面平行，这条直线与面内的直线的位置关系可以平行，也可以异面，故错；平行于同一个平面的两条直线的位置关系：平行、相交、异面都有可能，故错；垂直于同一个平面的两条直线是平行的，故正确思维升华解决空间点、线、面位置关系的组合判断题，主要是根据平面的基本性质、空间位置关系的各种情况，以及空间线面垂直、平行关系的判定定理和性质定理进行判断，必要时可以利用正方体、长方
5、体、棱锥等几何模型辅助判断，同时要注意平面几何中的结论不能完全引用到立体几何中跟踪演练1设m，n是两条不同的直线，是两个不同的平面，给出下列四个命题：若mn，m，则n；若m，m，则；若mn，m，则n；若m，m，则.其中真命题的个数为_答案解析因为“如果两条平行线中的一条垂直于一个平面，那么另一条也垂直于这个平面”，所以正确；当m平行于两个相交平面，的交线l时，也有m，m，所以错误；若mn，m，则n或n，所以错误；平面，与直线m的关系如图所示，必有，故正确热点二空间平行、垂直关系的证明空间平行、垂直关系证明的主要思想是转化，即通过判定、性质定理将线线、线面、面面之间的平行、垂直关系相互转化面面平
6、行的判定例2如图，已知PAO所在的平面，AB是O的直径，AB2，点C是O上一点，且ACBC，PCA45，点E是PC的中点，点F是PB的中点，点G为线段PA上(除点P外)的一个动点(1)求证：BC平面GEF；(2)求证：BCGE；(3)求三棱锥BPAC的体积(1)证明点E是PC的中点，点F是PB的中点，EFCB.EF平面GEF，点G不与点P重合，CB平面GEF，BC平面GEF.(2)证明PAO所在的平面，BCO所在的平面，BCPA.又AB是O的直径，BCAC.PAACA，AC面PAC，PA面PAC，BC平面PAC.GE平面PAC，BCGE.(3)解在RtABC中，AB2，ACBC，ACBC，SA
7、BC1.PA平面ABC，AC平面ABC，PAAC.PCA45，PA.VBPACVPABCSABCPA.思维升华垂直、平行关系的基础是线线垂直和线线平行，常用方法如下：(1)证明线线平行常用的方法：一是利用平行公理，即证两直线同时和第三条直线平行；二是利用平行四边形进行平行转换；三是利用三角形的中位线定理证线线平行；四是利用线面平行、面面平行的性质定理进行平行转换(2)证明线线垂直常用的方法：利用等腰三角形底边中线即高线的性质；勾股定理；线面垂直的性质：即要证两线垂直，只需证明一线垂直于另一线所在的平面即可，l，ala.跟踪演练2如图，在四棱锥PABCD中，ADBC，且BC2AD，ADCD，PB
8、CD，点E在棱PD上，且PE2ED.(1)求证：平面PCD平面PBC；(2)求证：PB平面AEC.证明(1)因为ADCD，ADBC，所以CDBC，又PBCD，PBBCB，PB平面PBC，BC平面PBC，所以CD平面PBC，又CD平面PCD，所以平面PCD平面PBC.(2)连结BD交AC于点O，连结OE.因为ADBC，所以ADOCBO，所以DOOBADBC12，又PE2ED，所以OEPB，又OE平面AEC，PB平面AEC，所以PB平面AEC.热点三平面图形的折叠问题平面图形经过翻折成为空间图形后，原有的性质有的发生变化、有的没有发生变化，这些发生变化和没有发生变化的性质是解决问题的关键一般地，在
9、翻折后还在一个平面上的性质不发生变化，不在同一个平面上的性质发生变化，解决这类问题就是要根据这些变与不变，去研究翻折以后的空间图形中的线面关系和各类几何量的度量值，这是化解翻折问题的主要方法例3如图，在边长为4的菱形ABCD中，DAB60，点E，F分别是边CD，CB的中点，ACEFO，沿EF将CEF翻折到PEF，连结PA，PB，PD，得到如图的五棱锥PABFED，且PB.(1)求证：BDPA；(2)求四棱锥PBFED的体积(1)证明点E，F分别是边CD，CE的中点，BDEF.菱形ABCD的对角线互相垂直，BDAC.EFAC.EFAO，EFPO，AO平面POA，PO平面POA，AOPOO，EF平
10、面POA，BD平面POA，又PA平面POA，BDPA.(2)解设AOBDH.连结BO，DAB60，ABD为等边三角形，BD4，BH2，HA2，HOPO，在RtBHO中，BO，在PBO中，BO2PO210PB2，POBO.POEF，EFBOO，EF平面BFED，BO平面BFED，PO平面BFED，梯形BFED的面积S(EFBD)HO3，四棱锥PBFED的体积VSPO33.思维升华(1)折叠问题中不变的数量和位置关系是解题的突破口；(2)存在探索性问题可先假设存在，然后在此前提下进行逻辑推理，得出矛盾或肯定结论跟踪演练3如图(1)，四边形ABCD为矩形，PD平面ABCD，AB1，BCPC2，作如图
11、(2)折叠，折痕EFDC.其中点E，F分别在线段PD，PC上，沿EF折叠后点P叠在线段AD上的点记为M，并且MFCF.(1)证明：CF平面MDF；(2)求三棱锥MCDE的体积(1)证明因为PD平面ABCD，AD平面ABCD，所以PDAD.又因为ABCD是矩形，CDAD，PD与CD交于点D，所以AD平面PCD.又CF平面PCD，所以ADCF，即MDCF.又MFCF，MDMFM，所以CF平面MDF.(2)解因为PDDC，BC2，CD1，PCD60，所以PD，由(1)知FDCF，在直角三角形DCF中，CFCD.过点F作FGCD交CD于点G，得FGFCsin 60，所以DEFG，故MEPE，所以MD
12、.SCDEDEDC1.故VMCDEMDSCDE.1不重合的两条直线m，n分别在不重合的两个平面，内，给出以下四个命题，其中正确的是_mnm mnm mn押题依据空间两条直线、两个平面之间的平行与垂直的判定是立体几何的重点内容，也是高考命题的热点此类题常与命题的真假性、充分条件和必要条件等知识相交汇，意在考查考生的空间想象能力、逻辑推理能力答案解析构造长方体，如图所示因为A1C1AA1，A1C1平面AA1C1C，AA1平面AA1B1B，但A1C1与平面AA1B1B不垂直，平面AA1C1C与平面AA1B1B不垂直所以，都是假命题CC1AA1，但平面AA1C1C与平面AA1B1B相交而不平行，所以为
13、假命题“若两平面平行，则一个平面内任何一条直线必平行于另一个平面”是真命题2如图，在直四棱柱ABCDA1B1C1D1中，已知DCDD12AD2AB，ADDC，ABDC.(1)求证：D1CAC1；(2)问在棱CD上是否存在点E，使D1E平面A1BD.若存在，确定点E位置；若不存在，请说明理由押题依据空间直线和平面的平行、垂直关系是立体几何的重点内容，也是高考解答题的热点，结合探索性问题考查考生的空间想象能力、推理论证能力，是命题的常见形式(1)证明在直四棱柱ABCDA1B1C1D1中，连结C1D，DCDD1，四边形DCC1D1是正方形，DC1D1C.又ADDC，ADDD1，DCDD1D，AD平面
14、DCC1D1，又D1C平面DCC1D1，ADD1C.AD平面ADC1，DC1平面ADC1，且ADDC1D，D1C平面ADC1，又AC1平面ADC1，D1CAC1.(2)解假设存在点E，使D1E平面A1BD.连结AD1，AE，D1E，设AD1A1DM，BDAEN，连结MN，平面AD1E平面A1BDMN，要使D1E平面A1BD，可使MND1E，又M是AD1的中点，则N是AE的中点又易知ABNEDN，ABDE.即E是DC的中点综上所述，当E是DC的中点时，可使D1E平面A1BD.A组专题通关1如图是正方形的平面展开图，在这个正方体中：BM与DE平行；CN与BE是异面直线；BM与CN成60角；DM与B
15、N是异面直线以上四个命题中，正确命题的序号是_答案解析展开图复原的正方体如图，不难看出：BM与ED平行；错误的，是异面直线；CN与BE是异面直线，错误，是平行线；CN与BM成60角；正确；DM与BN是异面直线正确判断正确的答案为.2设a，b是平面内两条不同的直线，l是平面外的一条直线，则“la，lb”是“l”的_条件(填“充分不必要”“必要不充分”“充要”或“既不充分也不必要”)答案必要不充分解析若a，b是平面内两条不同的直线，l是平面外的一条直线，la，lb，ab，则l可以与平面斜交，推不出l.若l，a，b是平面内两条不同的直线，l是平面外的一条直线，则la，lb.“la，lb”是“l”的必
16、要不充分条件3已知，是两个不同的平面，l，m是两条不同直线，l，m.给出下列命题：lm；lm；ml；lm.其中正确的命题是_. (填写所有正确命题的序号)答案解析，lllm，命题正确；，ll、m可平行，可相交，可异面，命题错误；m，llml与可平行，l可在内，l可与相交，命题错误； l、lm，命题正确4已知立方体ABCDABCD，E，F，G，H分别是棱AD，BB，BC，DD的中点，从中任取两点确定的直线中，与平面ABD平行的有_条答案6解析连结EG，EH，FG，EH綊FG，EFGH四点共面，由EGAB，EHAD，EGEHE，ABADA，可得平面EFGH与平面ABD平行，符合条件的共6条5在正方
17、体上任意选择4个顶点，由这4个顶点可能构成如下几何体：有三个面为全等的等腰直角三角形，有一个面为等边三角形的四面体；每个面都是等边三角形的四面体；每个面都是直角三角形的四面体；有三个面为不全等的直角三角形，有一个面为等边三角形的四面体以上结论其中正确的是_(写出所有正确结论的编号)答案解析在正方体上任意选择4个顶点，由这4个顶点可能构成如下几何体：有三个面为全等的等腰直角三角形，有一个面为等边三角形的四面体，去掉4个角的正四面体即可，正确；每个面都是等边三角形的四面体，去掉4个角的正四面体即可，正确；每个面都是直角三角形的四面体，侧棱垂直底面直角三角形的锐角的四面体即可，正确；有三个面为不全等
18、的直角三角形，有一个面为等边三角形的四面体，如图中ABCD即可，正确故答案为.6如图，在空间四边形ABCD中，点MAB，点NAD，若，则直线MN与平面BDC的位置关系是_答案平行解析由，得MNBD.而BD平面BDC，MN平面BDC，所以MN平面BDC.7正方体ABCDA1B1C1D1中，E为线段B1D1上的一个动点，则下列结论中正确的是_(填序号)ACBE；B1E平面ABCD；三棱锥EABC的体积为定值；直线B1E直线BC1.答案解析因AC平面BDD1B1，故正确；因B1D1平面ABCD，故正确；记正方体的体积为V，则VEABCV，为定值，故正确；B1E与BC1不垂直，故错误8.如图所示，AB
19、CDA1B1C1D1是棱长为a的正方体，M、N分别是下底面的棱A1B1、B1C1的中点，P是上底面的棱AD上的一点，AP，过P、M、N的平面交上底面于PQ，Q在CD上，则PQ_.答案a解析平面ABCD平面A1B1C1D1，MNPQ.M、N分别是A1B1、B1C1的中点，AP，CQ，从而DPDQ，PQa.9如图，在正方体ABCDA1B1C1D1中，点M，N，P分别为棱AB，BC，C1D1的中点求证：(1)AP平面C1MN；(2)平面B1BDD1平面C1MN.证明(1)在正方体ABCDA1B1C1D1中，因为点M，P分别为棱AB，C1D1的中点，所以AMPC1.又AMCD，PC1CD，故AMPC1
20、，所以四边形AMC1P为平行四边形从而APC1M，又AP平面C1MN，C1M平面C1MN，所以AP平面C1MN.(2)连结AC，在正方形ABCD中，ACBD.又点M，N分别为棱AB，BC的中点，故MNAC.所以MNBD.在正方体ABCDA1B1C1D1中，DD1平面ABCD，又MN平面ABCD，所以DD1MN，而DD1DBD，DD1，DB平面B1BDD1，所以MN平面B1BDD1，又MN平面C1MN，所以平面B1BDD1平面C1MN.10.如图，三棱柱ABCA1B1C1中，BB1C1C为菱形，B1C的中点为O，且AO平面BB1C1C.(1)证明：B1CAB；(2)若ACAB1，CBB160，B
21、C1，求三棱柱ABCA1B1C1的高(1)证明如图，连结BC1，则O为B1C与BC1的交点因为四边形BB1C1C为菱形，所以B1CBC1.又AO平面BB1C1C，所以B1CAO，又AOBC1O，故B1C平面ABO.由于AB平面ABO，故B1CAB.(2)解如图，在平面BB1C1C内作ODBC，垂足为D，连结AD.在平面AOD内作OHAD，垂足为H.由于BCAO，BCOD，AOODD，故BC平面AOD，又OH平面AOD，所以OHBC.又OHAD，ADBCD，所以OH平面ABC.因为CBB160，所以CBB1为等边三角形又BC1，可得OD.由于ACAB1，所以OAB1C.由OHADODOA，且AD
22、，得OH.又O为B1C的中点，所以点B1到平面ABC的距离为，故三棱柱ABCA1B1C1的高为.B组能力提高11，是两平面，AB，CD是两条线段，已知EF，AB于B，CD于D，若增加一个条件，就能得出BDEF，现有下列条件：AC；AC与CD在内的射影在同一条直线上；ACEF.其中能成为增加条件的序号是_答案解析由题意得，ABCD，A，B，C，D四点共面，：AC，EF，ACEF，又AB，EF，ABEF，ABACA，EF面ABCD，又BD面ABCD，BDEF，故正确；：由AC与CD在内的射影在同一条直线上可知面EFAC，由可知正确；错误，故填：.12.如图，在棱长为1的正四面体ABCD中，平面与棱
23、AB，AD，CD，BC分别交于点E，F，G，H，则四边形EFGH周长的最小值为_答案2解析把面ADC沿着AD翻折到与面ADB共面上来，此时C的位置为C1，G的位置为G1，再把面DCB沿着BC翻折到面ABC中，再把这个面沿着AB翻折到面ADB中来(其实就是得到四面体的展开图)，这样，EFGH的周长为图中线段的和，然后根据三角形的边长关系得到最小值为2.13.如图，在三棱柱ABCA1B1C1中，侧棱AA1底面ABC，底面是以ABC为直角的等腰直角三角形，AC2a，BB13a，点D是A1C1的中点，点F在线段AA1上，当AF_时，CF平面B1DF.答案a或2a解析由题意易知，B1D平面ACC1A1，
24、所以B1DCF.要使CF平面B1DF，只需CFDF即可令CFDF，设AFx，则A1F3ax.易知RtCAFRtFA1D，得，即，整理得x23ax2a20，解得xa或x2a.14如图，在直三棱柱ABCA1B1C1中，ABC90，ABBCBB1，点D，E分别为BC，CC1的中点(1)求证：B1D平面ABE；(2)若点P是线段B1D上一点且满足，求证：A1P平面ADE.证明(1)在直三棱柱ABCA1B1C1中，BB1平面ABC，AB平面ABC，所以BB1AB，因为ABC90，所以BCAB，又BCBB1B，所以AB平面BCC1B1，因为DB1平面BCC1B1，所以ABDB1，因为在平面BCC1B1中，BCBB1，所以四边形BCC1B1为正方形，因为点D，E分别为BC，CC1的中点，所以BCEB1BD，所以CBEBB1D，所以CBEB1DB90，即B1DBE，又因为BABEB，所以B1D面ABE.(2)连结PC交DE于点F，连结A1C交AE于点G，连结FG，在正方形BCC1B1中利用及平面几何知识可得2，在正方形ACC1A1中利用CEAA1且CEAA1可得2，所以在CA1P中，2，所以A1PGF，又A1P平面ADE，GF平面ADE，所以A1P平面ADE.