1、6 距离的计算课时目标 掌握向量长度计算公式，会用向量方法求两点间的距离、点到直线的距离和点到平面的距离1两点间的距离的求法设 a(a1，a2，a3)，则|a|_，若 A(x1，y1，z1)，B(x2，y2，z2)，则 dAB|AB|_.2点到直线距离的求法设 l 是过点 P 平行于向量 s 的直线，A 是直线 l 外定点作 AAl，垂足为 A，则点 A 到直线 l 的距离 d 等于线段 AA的长度，而向量PA在s 上的投影的大小|PAs0|等于线段 PA的长度，所以根据勾股定理有点 A 到直线 l 的距离d|PA|2|PAs0|2.3点到平面的距离的求法设 是过点 P 垂直于向量 n 的平面
2、，A 是平面 外一定点作 AA，垂足为 A，则点 A 到平面 的距离 d 等于线段 AA的长度，而向量PA在 n 上的投影的大小|PAn0|等于线段 AA的长度，所以点 A 到平面 的距离 d|PAn0|.一、选择题1若 O 为坐标原点，OA(1,1，2)，OB(3,2,8)，OC(0,1,0)，则线段 AB 的中点 P到点 C 的距离为()A.1652B2 14C.53D.5322在直角坐标系中，设 A(2,3)，B(3，2)，沿 x 轴把直角坐标平面折成 120的二面角后，则 A、B 两点间的距离为()A2 11B.11C.22D3 113已知正方体 ABCDA1B1C1D1 的棱长为 2
3、，点 E 是 A1B1 的中点，则点 A 到直线 BE的距离是()A.6 55B.4 55C.2 55D.554.如图所示，在直二面角 DABE 中，四边形 ABCD 是边长为 2 的正方形，AEB 是等腰直角三角形，其中AEB90，则点 D 到平面 ACE 的距离为()A.33B.2 33C.3D2 35.如图，正方体 ABCDA1B1C1D1 的棱长为 1，O 是底面 A1B1C1D1 的中心，则 O 到平面ABC1D1 的距离是()A.12B.24C.22D.326若正四棱柱 ABCDA1B1C1D1 的底面边长为 1，AB1 与底面 ABCD 成 60角，则 A1C1到底面 ABCD
4、的距离为()A.33B1C.2D.3题 号123456答 案二、填空题7已知夹在两平行平面、间的斜线段 AB8 cm，CD12 cm，AB 和 CD 在 内的射影长的比为 35，则 和 的距离为_8已知 A(2,3,1)，B(4,1,2)，C(6,3,7)，D(5，4,8)，则点 D 到平面 ABC 的距离为_9棱长为 1 的正方体 ABCDA1B1C1D1 中，M、N 分别是线段 BB1，B1C1 的中点，则直线 MN 到平面 ACD1 的距离为_三、解答题10已知正方形 ABCD 的边长为 4，E、F 分别是 AB、AD 的中点，GC平面 ABCD，且 GC2，求点 B 到平面 EFG 的
5、距离11在正方体 ABCDA1B1C1D1 中棱长为 1，利用向量法求点 C1 到 A1C 的距离能力提升12如图所示，正方形 ABCD，ABEF 的边长都是 1，而且平面 ABCD平面 ABEF，点 M 在 AC 上移动，点 N 在 BF 上移动，若 CMBNa(0a2)(1)求 MN 的长；(2)当 a 为何值时，MN 的长最小13.如图，四棱锥 PABCD 中，底面 ABCD 为矩形，PA底面 ABCD，PAAB 6，点E 是棱 PB 的中点求直线 AD 与平面 PBC 的距离1点到直线的距离可以通过作垂线转化为两点间的距离，也可以利用向量形式的点到直线的距离公式计算2求点到平面的距离的
6、三种方法：(1)定义法：这是常规方法，首先过点向平面作垂线，确定垂足的位置，然后把该垂线段归结到一个直角三角形中，解三角形求得(2)等体积法：把点到平面的距离视为一个三棱锥底面的高，利用三棱锥转换底面求体积，进而求得距离(3)向量法：这是我们常用到的方法，利用向量法求点到平面的距离的一般步骤为：求出该平面的一个法向量；找出从该点出发的平面任一条斜线段对应的向量；求出法向量与斜线段向量的数量积的绝对值，再除以法向量的模，即可求出点到平面的距离6 距离的计算知识梳理1.a21a22a23x1x22y1y22z1z22作业设计1D 由题意OP 12(OA OB)(2，32，3)，PCOC OP(2，
7、12，3)，PC|PC|4149 532.2A 作 AEx 轴交 x 轴于点 E，BFx 轴交 x 轴于点 F，则ABAEEFFB，AB 2AE 2EF 2FB 22AEEF2AEFB2EFFBAE 2EF 2FB 22AEFB92542321244，|AB|2 11.3B 建立如图所示坐标系，则BA(2,0,0)，BE(1,0,2)，cos|BABE|BA|BE|22 5 55，sin 1cos22 55，A 到直线 BE 的距离 d|AB|sin 22 55 4 55.4B 建立如图所示的空间直角坐标系，则 A(0，1，0)，E(1,0,0)，D(0，1，2)，C(0,1,2).AD(0,
8、0,2)，AE(1,1,0)，AC(0,2,2)，设平面 ACE 的法向量 n(x，y，z)，则nAE0，nAC0.即xy0；2y2z0.令 y1，n(1,1，1)故点 D 到平面 ACE 的距离dAD n|n|23 2 33.5B 以 D 为坐标原点，以 DA，DC，DD1 所在直线分别为 x，y，z 轴建立空间直角坐标系，则有D1(0,0,1)，D(0,0,0)，A(1,0,0)，B(1,1,0)，A1(1,0,1)，C1(0,1,1)因 O 为 A1C1 的中点，所以 O(12，12，1)，C1O(12，12，0)，设平面 ABC1D1 的法向量为 n(x，y，z)，则有nAD1 0，n
9、AB0，即xz0，y0，取 x1，则 n(1,0,1)O 到平面 ABC1D1 的距离为d|C1O n|n|122 24.6D 如图所示，直线 AB1 与底面 ABCD 所成的角为B1AB，而 A1C1 到底面 ABCD 的距离为AA1，在 RtABB1 中，B1BABtan 60 3.所以 AA1BB1 3.7.19 cm8.49 1717解析 设平面 ABC 的法向量为 n(x，y，z)，则nAB0，nAC0，即x，y，z2，2，10，x，y，z4，0，60.可取 n32，1，1，又AD(7，7,7)点 D 到平面 ABC 的距离 d|AD n|n|49 1717.9.32解析 如图，以
10、D 为坐标原点，以 DA，DC，DD1 为 x、y、z 轴建立空间直角坐标系则平面ACD1 的一个法向量为(1,1,1)，M1，1，12，A(1,0,0)，AM(0,1，12)，点 M 到平面 ACD1 的距离为d0，1，12 1，1，13 32.又MN12AD1，MN 平面 ACD1.故 MN平面 ACD1，故 MN 到平面 ACD1 的距离也为 d 32.10解 如图所示，以 C 为原点，CB、CD、CG 所在直线分别为 x、y、z 轴建立空间直角坐标系由题意知 C(0,0,0)，A(4,4,0)，B(4,0,0)，D(0,4,0)，E(4,2,0)，F(2,4,0)，G(0,0,2)BE
11、(0,2,0)，GE(4,2，2)，EF(2,2,0)设平面 GEF 的法向量为 n(x，y，z)，则有nGE 0，nEF0，即2xyz0，xy0.令 x1，则 y1，z3，n(1,1,3)点 B 到平面 EFG 的距离为d|BE|cosBE，n|BEn|n|0，2，01，1，3112 1111.11解 如图，以 AB、AD、AA1 所在直线分别为 x 轴、y 轴、z 轴，建立空间直角坐标系，则 A1(0,0,1)，C(1,1,0)，C1(1,1,1)直线 A1C 的方向向量A1C(1,1，1)点 C1 与直线 A1C 上一点 C(1,1,0)的向量CC1(0,0,1)CC1 在A1C 上的投
12、影CC1 A1C|A1C|13.点 C1 到直线 A1C 的距离d|CC1|2CC1 A1C|A1C|2113 63.12解(1)建立如图所示的空间直角坐标系，则 A(1,0,0)，F(1,1,0)，C(0,0,1)，CMBNa(0a 2)，且四边形 ABCD、ABEF 为正方形，M(22 a,0,1 22 a)，N(22 a，22 a,0)，MN(0，22 a，22 a1)，|MN|a2 2a1.(2)由(1)知|MN|a 22 212，所以，当 a 22 时，|MN|22.即 M、N 分别移到 AC、BF 的中点时，|MN|的长最小，最小值为 22.13解 如图，以 A 为坐标原点，射线 AB、AD、AP 分别为 x 轴、y 轴、z 轴正半轴，建立空间直角坐标系设 D(0，a,0)，则 B(6，0,0)，C(6，a,0)，P(0,0，6)，E(62，0，62)因此AE(62，0，62)，BC(0，a,0)，PC(6，a，6)，AEBC0，AEPC0，所以AEBC，AEPC，即 AEBC，AEDC.又BCPCC，AE 平面 PBC，所以 AE平面 PBC.又由 ADBC 知 AD平面 PBC.故直线 AD 与平面 PBC 的距离为点 A 到平面 PBC 的距离，即为|AE|3.
