1、第28练直线与圆题型分析高考展望直线与圆是解析几何的基础，在高考中，除对本部分知识单独考查外，更多是在与圆锥曲线结合的综合题中对相关知识进行考查单独考查时，一般为填空题，难度不大，属低中档题直线的方程，圆的方程的求法及位置关系的判断与应用是本部分的重点体验高考1(2015广东改编)平行于直线2xy10且与圆x2y25相切的直线的方程是_答案2xy50或2xy50解析设所求直线方程为2xyc0，依题意有，解得c5，所以所求直线方程为2xy50或2xy50.2(2015课标全国改编)过三点A(1,3)，B(4,2)，C(1，7)的圆交y轴于M、N两点，则MN_.答案4解析由已知，得(3，1)，(3
2、，9)，则3(3)(1)(9)0，所以，即ABBC，故过三点A，B，C的圆以AC为直径，得其方程为(x1)2(y2)225，令x0得(y2)224，解得y122，y222，所以MN|y1y2|4.3(2015山东改编)一条光线从点(2，3)射出，经y轴反射后与圆(x3)2(y2)21相切，则反射光线所在直线的斜率为_答案或解析由已知，得点(2，3)关于y轴的对称点为(2，3)，由入射光线与反射光线的对称性，知反射光线一定过点(2，3)设反射光线所在直线的斜率为k，则反射光线所在直线的方程为y3k(x2)，即kxy2k30.由反射光线与圆相切，则有d1，解得k或k.4(2016上海)已知平行直线
3、l1：2xy10，l2：2xy10，则l1，l2的距离为_答案解析d.5(2016课标全国丙)已知直线l：mxy3m0与圆x2y212交于A，B两点，过A，B分别作l的垂线与x轴交于C，D两点，若AB2，则CD_.答案4解析设AB的中点为M，由题意知，圆的半径R2，AB2，所以OM3，解得m，由解得A(3，)，B(0,2)，则AC的直线方程为y(x3)，BD的直线方程为y2x，令y0，解得C(2,0)，D(2,0)，所以CD4.高考必会题型题型一直线方程的求法与应用例1(1)若点P(1,1)为圆C(x3)2y29的弦MN的中点，则弦MN所在直线的方程为_答案2xy10解析由题意知圆心C(3,0
4、)，kCP.由kCPkMN1，得kMN2，所以弦MN所在直线的方程是2xy10.(2)已知ABC的顶点A(3，1)，AB边上的中线所在直线方程为6x10y590，B的平分线所在直线方程为x4y100，求BC边所在直线的方程解设B(4y110，y1)，由AB中点在6x10y590上，可得：610590，y15，B(10,5)设A点关于x4y100的对称点为A(x，y)，则有A(1,7)，点A(1,7)，B(10,5)在直线BC上，故BC边所在直线的方程是2x9y650.点评(1)两条直线平行与垂直的判定若两条不重合的直线l1，l2的斜率k1，k2存在，则l1l2k1k2，l1l2k1k21；判定
5、两直线平行与垂直的关系时，如果给出的直线方程中存在字母系数，不仅要考虑斜率存在的情况，还要考虑斜率不存在的情况(2)求直线方程的常用方法直接法：直接选用恰当的直线方程的形式，写出结果；待定系数法：先由直线满足的一个条件设出直线方程，使方程中含有一个待定系数，再由题给的另一条件求出待定系数变式训练1(2016广州执信中学高一上学期期末)已知直线l经过直线3x4y20与直线2xy20的交点P，且垂直于直线x2y10.(1)求直线l的方程；(2)求直线l关于原点O对称的直线方程解(1)由解得所以点P的坐标是(2,2)，又因为直线x2y10，即yx的斜率为k，由直线l与x2y10垂直可得kl2，故直线
6、l的方程为：y22(x2)，即2xy20.(2)直线l的方程2xy20在x轴、y轴上的截距分别是1与2，则直线l关于原点对称的直线在x轴、y轴上的截距分别是1与2，所求直线方程为1，即2xy20.题型二圆的方程例2(1)(2015湖北)如图，已知圆C与x轴相切于点T(1,0)，与y轴正半轴交于两点A，B(B在A的上方)，且AB2.圆C的标准方程为_圆C在点B处的切线在x轴上的截距为_答案(x1)2(y)221解析由题意，设圆心C(1，r)(r为圆C的半径)，则r22122，解得r.所以圆C的方程为(x1)2(y)22.方法一令x0，得y1，所以点B(0, 1)又点C(1, )，所以直线BC的斜
7、率为kBC1，所以过点B的切线方程为y(1)x0，即yx(1)令y0，得切线在x轴上的截距为1.方法二令x0，得y1，所以点B(0，1)又点C(1，)，设过点B的切线方程为y(1)kx，即kxy(1)0.由题意，得圆心C(1，)到直线kxy(1)0的距离dr，解得k1.故切线方程为xy(1)0.令y0，得切线在x轴上的截距为1.(2)已知圆C经过点A(2，1)，并且圆心在直线l1：y2x上，且该圆与直线l2：yx1相切求圆C的方程；求以圆C内一点B为中点的弦所在直线l3的方程解设圆的标准方程为(xa)2(yb)2r2，则解得故圆C的方程为(x1)2(y2)22.由知圆心C的坐标为(1，2)，则
8、kCB.设直线l3的斜率为k3，由k3kCB1，可得k32.故直线l3的方程为y2(x2)，即4x2y130.点评求圆的方程的两种方法(1)几何法：通过研究圆的性质、直线和圆、圆与圆的位置关系，进而求得圆的基本量和方程(2)代数法：用待定系数法先设出圆的方程，再由条件求得各系数变式训练2已知圆x2y24上一定点A(2,0)，B(1,1)为圆内一点，P，Q为圆上的动点(1)求线段AP中点的轨迹方程；(2)若PBQ90，求线段PQ中点的轨迹方程解(1)设AP的中点为M(x，y)，由中点坐标公式可知，P点坐标为(2x2,2y)因为P点在圆x2y24上，所以(2x2)2(2y)24，故线段AP中点的轨
9、迹方程为(x1)2y21.(2)设PQ的中点为N(x，y)，连结BN.在RtPBQ中，PNBN.设O为坐标原点，连结ON，则ONPQ，所以OP2ON2PN2ON2BN2，所以x2y2(x1)2(y1)24.故线段PQ中点的轨迹方程为x2y2xy10.题型三直线与圆的位置关系、弦长问题例3(1)(2015重庆改编)已知直线l：xay10(aR)是圆C：x2y24x2y10的对称轴，过点A(4，a)作圆C的一条切线，切点为B，则AB_.答案6解析根据直线与圆的位置关系求解由于直线xay10是圆C：x2y24x2y10的对称轴，圆心C(2,1)在直线xay10上，2a10，a1，A(4，1)AC23
10、6440.又r2，AB240436.AB6.(2)(2016湖南师大附中高二上学期期中)已知圆C：x2y22x4y40.写出圆C的标准方程，并指出圆心坐标和半径大小；是否存在斜率为1的直线m，使m被圆C截得的弦为AB，且OAOB(O为坐标原点)若存在，求出直线m的方程；若不存在，请说明理由解(1)圆C的标准方程为(x1)2(y2)29，则圆心C的坐标为(1，2)，半径为3.(2)假设存在这样的直线m，根据题意可设直线m：yxb.设A(x1，y1)，B(x2，y2)联立直线与圆的方程得2x22(b1)xb24b40，因为直线与圆相交，所以0，即b26b90，且满足x1x2b1，x1x2，则y1x
11、1b，y2x2b，由OAOB得x1x2y1y20，所以x1x2(x1b)(x2b)2x1x2b(x1x2)b20，即b23b40得b4或b1，且均满足b26b90，故所求的直线m存在，方程为yx4或yx1.点评研究直线与圆位置关系的方法(1)研究直线与圆的位置关系的最基本的解题方法为代数法，将几何问题代数化，利用函数与方程思想解题(2)与弦长有关的问题常用几何法，即利用圆的半径r，圆心到直线的距离d及半弦长，构成直角三角形的三边，利用其关系来处理变式训练3已知以点C(t，)(tR，t0)为圆心的圆与x轴交于点O，A，与y轴交于点O，B，其中O为原点(1)求证：OAB的面积为定值；(2)设直线y
12、2x4与圆C交于点M，N，若OMON，求圆C的方程(1)证明圆C过原点O，且OC2t2.圆C的方程是(xt)2(y)2t2，令x0，得y10，y2；令y0，得x10，x22t，SOABOAOB|2t|4，即OAB的面积为定值(2)解OMON，CMCN，OC垂直平分线段MN.kMN2，kOC.t，解得t2或t2.当t2时，圆心C的坐标为(2,1)，OC，此时C到直线y2x4的距离d.圆C与直线y2x4不相交，t2不符合题意，舍去圆C的方程为(x2)2(y1)25.高考题型精练1已知x，y满足x2y50，则(x1)2(y1)2的最小值为_答案解析(x1)2(y1)2表示点P(x，y)到点Q(1,1
13、)的距离的平方由已知可得点P在直线l：x2y50上，所以PQ的最小值为点Q到直线l的距离，即d，所以(x1)2(y1)2的最小值为d2.2“m3”是“直线l1：2(m1)x(m3)y75m0与直线l2：(m3)x2y50垂直”的_条件(填“充分不必要”“必要不充分”“充要”或“既不充分也不必要”)答案充分不必要解析由l1l2得2(m1)(m3)2(m3)0，m3或m2.m3是l1l2的充分不必要条件3若动点A，B分别在直线l1：xy70和l2：xy50上移动，则AB的中点M到原点的距离的最小值为_答案3解析依题意知AB的中点M的集合是与直线l1：xy70和l2：xy50的距离都相等的直线，则点
14、M到原点的距离的最小值为原点到该直线的距离，设点M所在直线的方程为l：xym0，根据平行线间的距离公式得|m7|m5|m6，即l：xy60，根据点到直线的距离公式，得点M到原点的距离的最小值为3.4(2016山东改编)已知圆M：x2y22ay0(a0)截直线xy0所得线段的长度是2，则圆M与圆N：(x1)2(y1)21的位置关系是_答案相交解析圆M：x2(ya)2a2，圆心坐标为M(0，a)，半径r1a，圆心M到直线xy0的距离d，由几何知识得2()2a2，解得a2.M(0,2)，r12.又圆N的圆心坐标N(1,1)，半径r21，MN，r1r23，r1r21.r1r2MNr1r2，两圆相交5设
15、直线l1：mx(m1)y10(mR)，则直线l1恒过定点_；若直线l1为圆x2y22y30的一条对称轴，则实数m_.答案(1,1)2解析直线l1：mx(m1)y10(mR)，(xy)my10，由，解得x1，y1，直线l1恒过定点(1,1)直线l1：mx(m1)y10(mR)为圆x2y22y30的一条对称轴，直线l1：mx(m1)y10(mR)经过圆x2y22y30的圆心(0，1)，m0(m1)(1)10，解得m2.6如图，已知点A为圆O：x2y29与圆C：(x5)2y216在第一象限内的交点过点A的直线l被圆O和圆C所截得的弦分别为NA，MA(M，N不重合)若NAMA，则直线l的方程是_答案7
16、x24y450解析由点A为圆O：x2y29与圆C：(x5)2y216在第一象限内的交点，可得A(，)，设直线l的方程是yk(x)，即5kx5y129k0，NAMA，916，k.直线l的方程为7x24y450.7(2016山东)在1,1上随机地取一个数k，则事件“直线ykx与圆(x5)2y29相交”发生的概率为_答案解析由已知得，圆心(5,0)到直线ykx的距离小于半径，3，解得k，由几何概型得P.8在平面直角坐标系xOy中，圆C的方程为x2y28x150，若直线ykx2上至少存在一点，使得以该点为圆心，1为半径的圆与圆C有公共点，则k的最大值是_答案解析圆C的标准方程为(x4)2y21，圆心为
17、(4,0)由题意知(4,0)到kxy20的距离应不大于2，即2.整理，得3k24k0.解得0k.故k的最大值是.9在平面直角坐标系xOy中，已知圆x2y24上有且仅有三个点到直线12x5yc0的距离为1，则实数c的值为_答案13解析因为圆心到直线12x5yc0的距离为，所以由题意得1，c13.10已知直线l过点(2,0)，当直线l与圆x2y22x有两个交点时，其斜率k的取值范围是_答案(，)解析因为已知直线过点(2,0)，那么圆的方程x2y22x配方为(x1)2y21，表示的是圆心为(1,0)，半径为1的圆，设过点(2,0)的直线的斜率为k，则直线方程为yk(x2)，则点到直线距离等于圆的半径
18、1，有d1，化简得8k21，所以k，然后可知此时有一个交点，那么当满足题意时，可知斜率的取值范围是(，)11已知过点A(0,1)，且方向向量为a(1，k)的直线l与圆C：(x2)2(y3)21相交于M，N两点(1)求实数k的取值范围；(2)若O为坐标原点，且12，求k的值解(1)直线l过点A(0,1)且方向向量为a(1，k)，直线l的方程为ykx1.由1，得k.(2)设M(x1，y1)，N(x2，y2)，将ykx1代入方程(x2)2(y3)21，得(1k2)x24(1k)x70，x1x2，x1x2，x1x2y1y2(1k2)x1x2k(x1x2)1812，4，解得k1.12已知圆Mx2(y2)21，Q是x轴上的动点，QA，QB分别切圆M于A，B两点(1)若Q(1,0)，求切线QA，QB的方程；(2)求四边形QAMB面积的最小值；(3)若AB，求直线MQ的方程解(1)设过点Q的圆M的切线方程为xmy1，则圆心M到切线的距离为1，1，m或0，切线QA，QB的方程分别为3x4y30和x1.(2)MAAQ，S四边形MAQBMAQAQA.四边形QAMB面积的最小值为.(3)设AB与MQ交于点P，则MPAB.MBBQ，MP .在RtMBQ中，MB2MPMQ，即1MQ，MQ3.设Q(x,0)，则x2229，x，Q(，0)，直线MQ的方程为2xy20或2xy20.